人教版初中八年级数学上册同步讲义-等边三角形（解析版）.pdf

第 04讲等边三角形学习目标课程标准学习目标1.掌握等边三角形的性质并能够对其熟练应用等边三角形的概念与性质等边三角形的判定 含 3 0 角的直角三角形2.掌握等边三角形的判定方法，能够运用已知条件熟练判定等腰三角形3,掌握含3 0 角的直角三角形的性质并对其熟练应用思维导图三条边三个角的性质三边的三端合一定义判定性质判定30角的直角三角形的性质知识点0 1 等边三角形的概念与性质1.等边三角形的概念:三条边都的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等 腰 三 角 形2.等边三角形的性质：如图等边三角形的三条边都 相等，三个角也 相等，且三个角都等于 60等边三角形三条边都存在 三线合一等边三角形是一个轴对称 图形,它有 3 条对称轴,对称轴的交点叫做中心题型考点：等边三角形的性质求角度与线段即学即练1】1.如图，直线a 人 等边三角形4 8 c 的顶点C 在直线6 上，Z l=40,则/2 的度数为（）A.80 B.70 C.60 D.50【解答】解：直线6,.Z3=Z1=4O,在等边/B C 中，ZA=60,.,.Z2=180-/-N 3 =180-60-40=80,故选：A.【即学即练2】2.如图：等边三角形N 2C中，BD=CE,AD与 BE相交于点尸，则/P E 的度数是（）【解答】解：.等边48C,:./A B D=N C,AB=BC,AB=BC在与2CE 中，ZABD=ZC-,BD=CE:A A B D%ABCE(SAS),：.NBAD=NCBE,V ZABE+ZEBC=60,:./ABE+NBAD=60,，NAPE=/ABE+/BAD =60，：.ZAPE=60.故选：C.【即学即练3】3.如图，ZX/BC中，4。

为角平分线，若/B=/C=6 0 ,A B=8,则 CD 的 长 度 为 4【解答】解 N B=N C=60,A Z C=180-60-60=60,:A A B C 为等边三角形，：4B=8,:BC=AB=8,2为角平分线，：.BD=CD,：.CD=4,故答案为：4.【即学即练4】4.如图，过边长为4 的等边4 8 C 的边4 5 上一点尸，作尸E L 4 c 于为 BC延长线上一点，当E4=C时，连尸0 交/C 边于则D E 的长为 2.【解答】解：过尸作尸尸 5 C 交 4 C 于足,:PF/BC,45是等边三角形，A ZPFD=ZQCD,尸尸是等边三角形,：AP=PF=AF,*：PELAC,：.AE=EF,:AP=PF,AP=CQ,：.PF=CQ.:在 APFD 和QC0 中，ZPFD=ZQCD,PF=CQ：./P F D/Q C D (AAS),：.FD=CD,;AE=EF,：.EF+FD=AE+CD,：.AE+CD=DE=AC,2AC=4,DEX 4=2,故答案为：2.知识点0 2 含 3 0 角的直角三角形1.3 0 角所对的直角边与斜边的关系：3 0 角所对的直角边等于斜边的 一半。

证明如下：如图，NBC是等边三角形，A D B C o证明2,*/A B C 是等边三角形：.AB=BC=AC,N B A C=/B=/C=60U：ADLBC/平分N胡 C,ABAD=Z CAD=30BD=CD=-BC-2-1：.BD=-ABO-2-题型考点：含 3 0 角的直角三角形的性质即学即练115.如图，在48C 中，/C=9 0 ，/48C=60，BD 平分N A B C,若 4 0 =6,则 CD 等 于（）A.3 B.4 C.5【解答】解：/C=9 0 ,ZABC=6Q,：.ZA=30,:BD 平分/4B C,A ZCBD=ZABD=ZA=30,D.6:.BD=AD=6,.-.C D=-S Z）=6XA=3.2 2故选：A.【即学即练2】6.若等腰三角形的一腰长为a,底角为15,则这个等腰三角形腰上的高为（）A.2a B.a C.-a D.与 a 无关2【解答】解：如图/8=1 5 ,AB=AC,CD为腰N 3上的高，AB=4C=a,：.ZACB=ZB=15,：.ZDAC=ZB+ZACB=30,：CD为 上 的 高，.CD=ACa.2 2故选：C.【即学即练3】7.如图，/A 0P=N B 0P=15,PC/OA,P D L O A,若 P C=4,则尸。

的长为 2【解答】解：过尸作交OB与点、E,B:NAOP=/BO P,PD1,OA,PE LOB,：.PD=PE,：PC/OA,：.ZCPO=ZPOD,又乙4OP=/BOP=15,：.ZCPO=ZBOP=150,又NECP为0 3 的外角，:./E C P=NCOP+/CPO=30,在直角三角形CE尸中，/E C 尸=30,PC=4,:.PE=LpC=2,2贝 i PD=PE=2.故答案为：2.知识点0 3 等边三角形的判定1.等边三角形的判定：定义判定：三条边都 相等 的三角形是等边三角形判定定理1：三个角 相等 的三角形是等边三角形或 有 两 个 角 是 60 的三角形是等边三角形判定定理2：有一个角是 60 的等腰三角形是等边三角形题型考点：等边三角形判定证明即学即练1】8.下列三角形：有两个角等于60；有一个角等于6 0 的等腰三角形；三 个 外 角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的有（）A.B.C.D.【解答】解：两个角为60度，则第三个角也是60度，则其是等边三角形，故正确；这是等边三角形的判定2,故正确；三个外角相等则三个内角相等，则其是等边三角形，故正确；根据线段的垂直平分线的性质.可以证明三边相等，故正确.所以都正确.故选：D.【即学即练2】9.已知，如图，Z 5=Z C,AB/DE,E C=E D,求证：DEC为等边三角形.【解答】证明：V Z 5=Z C,AB/DE,NDEC=NC,EC=ED,：.ZC=ZE D C,：.ZDEC=ZC=ZEDC=6Q,.OEC为等边三角形.【即学即练3】10.如图，在4BC 中，4C=BC,ZACB=120,CE_L48 于点。

S.D E=D C.求证：CE3 为等边三角形.【解答】证明：于点D,且E=OC,:.BC=BE,:AC=BC,NZCB=120,CE_LAB 于点ZECB=60,.C 3为等边三角形.【即学即练4】11.在4 8 C 中，已知是角平分线.(1)若 B E=A E,求证：NABC=2NN；(2)若求证：/2 C 为等边三角形.【解答】(1)证明：如图所示.:BE 平分 NABC,：.Z =Z2=1-ZABC.2；BE=AE,，N/=N1,ZA=-ZABC,2ZABC=2ZA.（2）解：如图，；N1=/2 =LN/8C,2又；BE_LAC,:.NBEA=NBEC=90.又 BE=BE,：.ABEA 咨 LBEC,：.AB=BC.,:AB=AC,:AB=AC=BC,；.AABC为等边三角形.题型精讲题型0 1 等边三角形的性质计算长度【典例1】如图，C D 是等边A 8 C 的中线，DE1.AC,垂足为点E.若 D E 的长度为3c?，则点到 2 C 的距离为 二【解答】解：过点尸，2 C,垂足为R：C D是等边4 8 C 的中线,:,D E L AC,DFLBC,:,DE=DF=3cm,：.点D到B C的距离为3cm,故答案为：3.【典例2】如图，将边长为4 个单位的等边N3C沿边3 c 向右平移3 个单位得到，B C ,则 夕 C 的长度为【解答】解：由平移得，BB占3,在等边三角形/8 C 中，BC=4,；BC=BC-BB=4-3=1,故答案为：1.【典例3】如图，在等边4 5 C 中，5。

平分N/5交 4 C 于点E_L.BC于点E,且 C E=1.5,则 4 5 的长 为（）A.3B.4.5C.6D.7.5【解答】解：45是等边三角形,；NABC=NC=60 ,A B=B C=A C,:DELBC,，/CDE=30,:EC=15,：.CD=2EC=3,:B D平分N/5 C 交A C于点D,:AD=CD=3,：.A B=A C=A D+C D=6.故选：C.【典例4】如图，等边三角形45是一块边长为20冽的草坪，点尸是草坪内的任意一点，过点尸有三条小路尸PE,P F,且满足PE/5,PF/BC,P D/A C,则三条小路的总长度为（）10A/3 C.20 mD.20yf3m【解答】解：延长尸尸交4 5 于点G,如图所示:A在等边Z5C 中，Z A=Z B=Z C=60,:PD AC,：.ZPD G=ZA=60,9：PF/BC,：.ZPG D=ZB=60,ZAFG=ZC=60,ZDPG=60,:DPG是等边三角形，:,DP=GP,V ZA=ZDGP=ZAFG=6Q,4G/是等边三角形，：.GF=AG,:PEAB,PF/BC,四边形GBEP是平行四边形，:,PE=GB,：.PE+PF+PD=BG+AG=AB,等边三角形45。

是一块边长为20m的草坪,.AB=20m,：.PE+PF+PD=20m,故选：C.题型0 2 等边三角形的性质计算角度【典例1】等边三角形一个内角的平分线与一个外角的平分线相交所成的锐角是 3 0 度.【解答】解：如图：是等边三角形，BE平分/A B C,CE平分NACD,：AAB C 是等边三角形，；.N 4B C=N/C 8=60,：.ZACD=1SO-ZACB=120Q,；BE 平分/A B C,A ZCBE=ZABC=30，2TCF 平分 N/C/.ZAC E=ZAC D=60,2A Z=180-ZC BE-ZACB-ZACE=SO-30-60-60=30.等边三角形一个内角的平分线与一个外角的平分线相交所成的锐角是30典例2】如图，已知ZBC是等边三角形，点 5、D、在同一直线上，且 CG=CQ,D F=D E,则N E 的度数为)【解答】解：4 5 C 是等边三角形，/.ZACB=60.ZACB=ZCGD+ZCDG,：/CGD+/CDG=60.CG=CD,：.ZCGD=ZCDG=30.ZCDG=/DFE+NE,：.ZDFE+ZE=30.:DF=DE,：.ZE=ZD FE=15.故选：c.【典例3】在/B C 中，点 D,E 是 B C 的三等分点，且/)是等边三角形，则NH4C的度数为()A.100 B.110 C.120 D.130【解答】解：点。

E 是 5 C 的三等分点,:BD=DE=CE,A4O E是等边三角形，；AD=AE=DE,ZADE=ZAED=ZDAE=60,:AD=BD,AE=CE,：.ZB =ABAD,/C=/C A E,；/AD E=/B+N B A D,/A E D=/C+/C A E,A ZBAD=30,ZCAE=30,/.ZBAC=ZBAD+ZDAE+ZCAE=30+60+30=120,故选：C.【典例4】如图，ZBC是等腰三角形，在4 5 C 外部分别作等边三角形4D 5 和等边三角形Z C E.若ND4E=N D B C,求4 5 C 三个内角的度数.【解答】解：和4C E都是等边二角形,ZDAB=Z CAE=ZDBA=60 ,ZDAE=ZDAB+ZBAC+Z CAE=60+ZBAC+600=120+NB4C,ZDBC=/DBA+NABC=60+AABC,ZDAE=ZDBC,/.120+ZBAC=60+/ABC,即：ZABC=60+ABAC,9：AB=AC,：.ZABC=ZACB=60+NA4C,设NA4C=x,V ZBAC+2ZABC=1SO,.*x+2(x+60)=180,解得x=20,A ZBAC=20 ,A ZACB=ZABC=60 +ZBAC=60+20=80.45。

三个内角的度数分别为20,80,80.题型0 3 含 3 0 角的直角三角形的计算【典例1】如图，RtzMBC 中，Z A =30 ，且/8=6,贝！|8 C=()B.4C.6D.不确定【解答】解：RtZ4BC 中，/=3 0 ,且 A。