数的分类和概念.doc

我们把｛0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、・・・｝等全体非负整数组成的数集合称为“自然数”把｛1, 2, 3,…，9, 10｝向前扩充得到正整数｛1, 2, 3,…，9, 10, 11，•…，把它反向扩充得到 负整数｛…，-11, -10, -9,…，-3, -2, -1 ｝，介于正整数和负整数中间的"0"为中性数；把它们合 在一起，得到｛…，-11, -10, -9,…，-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…，9, 10, 11,…｝,叫做整数对整数可以施行加、减、乘、除四种运算,叫做四则运算整数,对加、减、乘运算组成了一个封 闭的数集合,是数学古老分支“数论"研究的对象著名的德国数学家高斯说：“数学是科学的皇后, 数论是数学中的皇冠"德国数学家、数学王子高斯(Gauss, 1777——1855)除法运算，如7/11 = 0.636363…、11/7 = 1.5714285…，不再是整数，也就是说整数对除法运算 是不封闭的为了使数集合对加、减、乘、除四则运算都是封闭的,就必须增加新的数,如 7/11、 11/7, 为两个整数之比,称为可比数、分数,现在通称为有理数。

把数的性质、数和数之间的四则运算在应用过程中的经验进行总结和整理,形成最古老的一门数 学——算术有理数集合,对加、减、乘、除四则运算组成了一个封闭的数集合,看起来似乎已很完备 2500 多 年前,不少人、甚至当时一些数学家也是这样看的公元前5世纪，当时的毕达哥拉斯学派很重视整数，想用它说明一切，“数是万物之本”成了他们的哲学观毕达哥拉斯学派的学生希帕索斯在研究1和2的比例中项x时，由1/x = x/2，得到代数方程x2 =2 （ 1 ）在（1）中引入的X,代表我们暂时还不知道一个数，称为未知数对（1）求解，得到x二旋显然,1< x <2，不是整数；经证明，不能表成两个整数之比，也不是有理数；这就是后来称为“ 无理数”的 数无理数的发现，对以整数为基础的毕氏哲学，是一次致命的打击，数学史上把这件事称为“ 第一次 数学危机”在旋之后，又发现了很多无理数，圆周率n就是其中最重要的一个15世纪意大利著名画家达•芬 奇把它称之为“无理之数”现在，人们把有理数和无理数合并在一起，称为“实数”把方程（1）中 2 换成-2时，得到x2 = -2 （ 2） 由此得到两个解：x二口和x =-圧，它们还是（2）的解吗？如果认为不是，（2）就没有解，12解方程如同走进了死胡同。

为解决这一问题，数学家不得不再次扩大数的范围，引入符号“ ”表示“一1的平方根”，即i二口，称为虚数；再把实数a、b和虚数结合起来，组成z=尬+加形式的数， 称为“复数”在很长一段时间里，人们在实际生活中找不到用虚数和复数表示的量，让人感到有点虚 无缥缈随着科学的发展，虚数在水力学、地图学和航空学上得到了广泛的应用这样，数的家族就进 一步扩大，包括实数和复数两大类，并把加、减、乘、除的四则算术运算扩展到包括乘方和开方的六种 代数运算，形成了数学中一个新的分支“代数”代数进一步向两个方面发展，一是研究未知数更多的一次方程组，引进矩阵、向量、空间等符号和 概念，形成 “线性代数”；另一是研究未知数次数更高的高次方程，形成“多项式代数”这样，代数研究的对象，不仅是数，还包括矩阵、向量、向量空间及其变换等它们都可以进行“运 算”，虽然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律，有时不再有效因此，代数学的内容可以 概括称为带有运算的一些代数结构的集合，如群、环、域等，又含抽象代数、布尔代数、关系代数、计 算机代数等众多分支由于科学技术发展的需要，数的范围不断扩大，从正整数、自然数、整数、实数到复数，再到向量、 张量、矩阵、群、环、域等不断的扩充与发展。

为区别起见，人们把实数和复数称为“狭义数”，把向 量、张量、矩阵等称为“广义数”尽管人们对数如何分类还有一些不同的看法，但都承认数的概念还会不断扩充和发展到目前为止，数的家族已发展得十分庞大，可表示为：r正整数l正有理数--有理数--零3-正分数厂负整数-负有理数-L负分数-正无理数L负无理数“复数a + b i （a b为实数，i二 口为虚数单位）rL广义数-矩阵1-其它｛如张量、群、坏、域等）。