非常好的讲义二次函数图像与性质(共7页).doc

二次函数图像及性质一、二次函数的定义 一般地，形如（为常数，）的函数称为的二次函数，其中为自变量，为因变量，、、分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数． 注意：和一元二次方程类似，二次项系数，而、可以为零．二次函数的自变量的取值范围是全体实数．二、二次函数的图象 1．二次函数图象与系数的关系 （1）决定抛物线的开口方向 当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下．反之亦然． 决定抛物线的开口大小：越大，抛物线开口越小；越小，抛物线开口越大． 温馨提示：几条抛物线的解析式中，若相等，则其形状相同，即若相等，则开口及形状相同，若互为相反数，则形状相同、开口相反． （2）和共同决定抛物线对称轴的位置（抛物线的对称轴：） 当时，抛物线的对称轴为轴； 当、同号时，对称轴在轴的左侧； 当、异号时，对称轴在轴的右侧． （3）的大小决定抛物线与轴交点的位置（抛物线与轴的交点坐标为） 当时，抛物线与轴的交点为原点； 当时，交点在轴的正半轴； 当时，交点在轴的负半轴．2.二次函数图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图．一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）．画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点．3.点的坐标设法⑴ 一次函数（）图像上的任意点可设为.其中时，该点为直线与轴交点.⑵ 二次函数（）图像上的任意一点可设为.时，该点为抛物线与轴交点，当时，该点为抛物线顶点．⑶ 点关于的对称点为．4.二次函数的图象信息⑴ 根据抛物线的开口方向判断的正负性．⑵ 根据抛物线的对称轴判断的大小．⑶ 根据抛物线与轴的交点，判断的大小．⑷ 根据抛物线与轴有无交点，判断的正负性．⑸ 根据抛物线所经过的已知坐标的点，可得到关于的等式．⑹ 根据抛物线的顶点，判断的大小．三、二次函数的图象及性质1． 二次函数的性质：⑴抛物线的顶点是坐标原点（0，0），对称轴是（ 轴）．⑵函数的图像与的符号关系．①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当时抛物线开口向下顶点为其最高点；的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．2．二次函数的性质的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．3． 二次函数或（）的性质⑴开口方向： ⑵对称轴：（或）⑶顶点坐标：（或）⑷最值： 时有最小值（或）（如图1）； 时有最大值（或）（如图2）；⑸单调性(单调性的概念无需掌握)：二次函数（）的变化情况（增减性）①如图1所示，当时，对称轴左侧，随着的增大而减小，在对称轴的右侧 ，随的增大而增大；②如图2所示，当时，对称轴左侧， y随着x的增大而增大，在对称轴的右侧，随的增大而减小；⑹与坐标轴的交点：①与轴的交点：（0，C）；②与轴的交点：使方程（或）成立的值．例题精讲一、二次函数的概念【例1】 已知函数⑴当，，是怎样的数时，它是一次函数？⑵当，，是怎样的数时，它是正比例函数？⑶当，，是怎样的数时，它是二次函数？二、二次函数的图象及性质1、画出函数的图象，并指出图象顶点坐标、对称轴及函数最值．2、画出函数的图象，并指出图象顶点坐标、对称轴及函数最值．【例2】 已知的图象如下左图所示，则的图象一定过（ ）第一、二、三象限 第一、二、四象限第二、三、四象限 第一、三、四象限【例3】 已知二次函数的图象如下右图所示，则点在第 象限.【例4】 函数与的图象可能是( ) 【例5】 在同一直角坐标系中，函数和函数（是常数，且）的图象可能是（　　）【例6】 在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为（ ） 【例7】 下左图所示为二次函数的图象，则一次函数的图象不经过（ ） 第一象限 第二象限　　第三象限 第四象限【例8】 已知，如图所示为二次函数的图象，则一次函数的图象不经过（ ）第一象限 第二象限 第三象限 第四象限【例9】 已知二次函数的与的部分对应值如下表：…………则下列判断中正确的是（　 　）A. 抛物线开口向上　　　　　　 B. 抛物线与轴交于负半轴C. 当时， D. 方程的正根在与之间【例10】 若二次函数（，为常数）的图象如右图，则的值为（ ） 【例11】 设二次函数图像如图所示，试判断的符号．【例12】 二次函数的图象如下左图所示，判断，，，，，，的符号【例13】 已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④；⑤其中所有正确结论的序号是（ ）A．①② B．①③④C．①②③⑤ D．①②③④⑤【例14】 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论； 方程的两根之和大于0；随的增大而增大； ④，其中正确的个数（ ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【例15】 已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数为（ ）A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个【例16】 如下右图所示，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，，其中，，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）个 个 个 个【例17】 二次函数在其图象对称轴的左侧，随着的增大而减小，则的值为_____．【例18】 二次函数在其图象对称轴的右侧，随着的增大而减小，则的值为_____．【例19】 已知点，是函数上两点，则当时，函数值y= .【例20】 已知，当取不同的值，时函数值相等，则当时的值（ 　 ）与的函数相等． 与的函数相等．与的函数相等． 与的函数相等．【例21】 若二次函数有最大值，则________．【例22】 若二次函数有最小值，则________．【例23】 二次函数的图象上最低点的坐标是 （ ）A．（-1，-2） 　 B．（1，-2） 　 C．（-1，2） D．（1，2）【例24】 抛物线的顶点坐标是（ ）．A． B． C． D．【例25】 已知，点，，，，，都在函数的图象上，则（ ） 【例26】 已知二次函数的图象过点．若点，，也在二次函数的图象上，则下列结论正确的是（ ）．A． B． C． D．【例27】 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ）A． B． C．　 D．【例28】 已知二次函数和分别有最大值、最小值，则这两个二次函数的图像有 个交点．【例29】 已知抛物线的对称轴为直线，且经过点， 试比较和的大小：____（填“>”，“<”或“=”）【例30】 已知二次函数的图象的开口向上，顶点在第三象限，且交于轴的负半轴，则的取值范围是_________________．【例31】 设抛物线为，根据下列各条件，求的值．⑴ 抛物线的顶点在轴上；⑵ 抛物线的顶点在轴上；⑶ 抛物线经过点；⑷ 抛物线经过原点；⑸ 当时，有最小值；⑹ 的最小值为．【例32】 已知点与点关于原点对称，求函数的顶点坐标．【例33】 设， 当取任意实数时，恒为非负数，求的取值范围；【例34】 设直线与抛物线的两个交点的横坐标分别是，且直线与轴的交点的横坐标为，求证：．。