计数方法与技巧综合.doc

计数方法与技巧综合知识框架图7 计数综合7-6 计数方法与技巧综合7-6-1归纳法7-6-2整体法7-6-3对应法7-6-3-1图形中的对应关系7-6-3-2数字问题中的对应关系7-6-3-3对应与阶梯型标数法7-6-3-4不完全对应关系7-6-4递推法教学目标前面在讲加法原理、乘法原理、排列组合时已经穿插讲解了计数中的一些常用的方法，比如枚举法、树形图法、标数法、捆绑法、排除法、插板法等等，这里再集中学习一下计数中其他常见的方法，主要有归纳法、整体法、对应法、递推法．对这些计数方法与技巧要做到灵活运用．例题精讲模块一、归纳法从条件值较小的数开始，找出其中规律，或找出其中的递推数量关系，归纳出一般情况下的数量关系．【例 1】 （难度等级※※）一条直线分一个平面为两部分．两条直线最多分这个平面为四部分．问5条直线最多分这个平面为多少部分?【解析】 方法一：我们可以在纸上试着画出1条直线，2条直线，3条直线，……时的情形，于是得到下表： 由上表已知5条直线最多可将这个平面分成16个部分，并且不难知晓，当有n条直线时，最多可将平面分成2+2+3+4+…+n=+1个部分．方法二：如果已有k条直线，再增加一条直线，这条直线与前k条直线的交点至多k个，因而至多被分成k+1段，每一段将原有的部分分成两个部分，所以至多增加k+1个部分．于是3条直线至多将平面分为4+3=7个部分，4条直线至多将平面分为7+4=11个部分，5条直线至多将平面分为11+5=16个部分．一般的有k条直线最多将平面分成：1+1+2+…+k=+1个部分，所以五条直线可以分平面为16个部分．【巩固】（难度等级※※）平面上5条直线最多能把圆的内部分成几部分？平面上100条直线最多能把圆的内部分成几部分？【解析】 假设用ak表示k条直线最多能把圆的内部分成的部分数，这里k＝0，1，2，……a0＝1a1=a0+1＝2a2=a1＋2=4a3=a2＋3=7a4=a3+4＝11……故5条直线可以把圆分成16部分，100条直线可以把圆分成5051部分【例 2】 （难度等级 ※※）平面上10个两两相交的圆最多能将平面分割成多少个区域？【解析】 先考虑最简单的情形．为了叙述方便，设平面上个圆最多能将平面分割成个部分．从图中可以看出，，，，，……可以发现满足下列关系式：．实际上，当平面上的()个圆把平面分成个区域时，如果再在平面上出现第个圆，为了保证划分平面的区域尽可能多，新添的第个圆不能通过平面上前个圆之间的交点．这样，第个圆与前面个圆共产生个交点，如下图：这个交点把第个圆分成了段圆弧，而这段圆弧中的每一段都将所在的区域一分为二，所以也就是整个平面的区域数增加了个部分．所以，．那么，．故10个圆最多能将平面分成92部分．【例 3】 个三角形最多将平面分成几个部分？【解析】 设个三角形最多将平面分成个部分．时，；时，第二个三角形的每一条边与第一个三角形最多有个交点，三条边与第一个三角形最多有（个）交点．这个交点将第二个三角形的周边分成了段，这段中的每一段都将原来的每一个部分分成个部分，从而平面也增加了个部分，即．时，第三个三角形与前面两个三角形最多有（个）交点，从而平面也增加了个部分，即：．……一般地，第个三角形与前面个三角形最多有个交点，从而平面也增加个部分，故；特别地，当时，，即个三角形最多把平面分成个部分．【例 4】 （难度等级※※）一个长方形把平面分成两部分，那么3个长方形最多把平面分成多少部分？【解析】 一个长方形把平面分成两部分．第二个长方形的每一条边至多把第一个长方形的内部分成2部分，这样第一个长方形的内部至多被第二个长方形分成五部分． 　　同理，第二个长方形的内部至少被第一个长方形分成五部分．这两个长方形有公共部分(如下图，标有数字9的部分)．还有一个区域位于两个长方形外面，所以两个长方形至多把平面分成10部分． 　　第三个长方形的每一条边至多与前两个长方形中的每一个的两条边相交，故第一条边被隔成五条小线段，其中间的三条小线段中的每一条线段都把前两个长方形内部的某一部分一分为二，所以至多增加3×4=12个部分．而第三个长方形的4个顶点都在前两个长方形的外面，至多能增加4个部分．所以三个长方形最多能将平面分成10+12+4=26．【小结】个图形最多可把平面分成部分数：直线：；圆：；三角形： ；长方形：．【例 5】 （难度等级※※）在平面上画5个圆和1条直线，最多可把平面分成多少部分?【解析】 先考虑圆．1个圆将平面分成2个部分．这时增加1个圆，这个圆与原有的1个圆最多有两个交点，成为2条弧，每条弧将平面的一部分一分为二，增加了2个部分，所以2个圆最多将平面分成4个部分．当有3个圆时，第3个圆与原有的2个产生4个交点而增加4个部分，所以3个圆最多将平面分成8个部分．同样的道理，5个圆最多将平面分成22个部分．再考虑直线．直线与每个圆最多有2个交点，这样与5个圆最多有10个交点．它们将直线分成11条线段或射线，而每条线段又将平面的一部分一分为二，2条射线增加了一部分，因此5个圆和1条直线最多可将平面分成32个部分．【例 6】 在一个西瓜上切刀，最多能将瓜皮切成多少片？【解析】 将西瓜看做一个球体，球体上任意一个切割面都是圆形，所以球面上的切割线是封闭的圆周，考虑每一次切割能增加多少瓜皮片．当切刀时，瓜皮被切成两份，当切第刀时，由于切割线相交，所以瓜皮被切成分，……，切第次时，新增加的切割线与原来的切割线最多有个交点．这些交点将第条切割线分成段，也就是说新增加的切割线使瓜皮数量增加了，所以在西瓜上切刀，最多能将瓜皮切成片．【例 7】 在一大块面包上切刀最多能将面包切成多少块．（注：面包是一个立体几何图形，切面可以是任何方向）【解析】 题目相当于个平面能将空间划分为多少个部分．通过找规律来寻找递推关系，显然的个平面能将空间划分成块，个平面能将空间划分成 块，个平面能将空间划分成个平面，当增加到第四个平面时，第四个平面这能将原来空间中的个部分中的其中几个划分．如图：注意到第四个平面与其他三个平面相交形成3条直线，这三条直线将第四个平面分割成个部分，而每一部分将原来三个平面划分的个空间中的个划分成两份，所以个平面能将空间划分成个部分．同样的第五个平面与前四个平面分别相交成条直线，这四条直线能将第个平面分割成个部分，每一部分都划分原空间中的某一区域，所以第五个平面能使空间中的区域增加到个部分．当增加到个平面时，第六个平面共被划分成个部分，所以第个平面能将空间中的区块数增加到个部分．所以刀能将面包切成块．模块二、整体法解决计数问题时，有时要“化整为零”，使问题变得简单；有时反而要从整体上来考虑，从全局、从整体来研究问题，反而有利于发现其中的数量关系．【例 8】 （难度等级 ※※※）一个正方形的内部有1996个点，以正方形的4个顶点和内部的1996个点为顶点，将它剪成一些三角形．问：一共可以剪成多少个三角形?如果沿上述这些点中某两点之间所连的线段剪开算作一刀，那么共需剪多少刀?【解析】 方法一：归纳法如下图，采用归纳法，列出1个点、2个点、3个点…时可剪出的三角形个数，需剪的刀数． 不难看出，当正方形内部有n个点时，可以剪成2n＋2个三角形，需剪3n+l刀，现在内部有1996个点，所以可以剪成2×1996+2=3994个三角形，需剪3×1996+1=5989刀． 方法二：整体法．我们知道内部一个点贡献360度角，原正方形的四个顶点共贡献了360度角，所以当内部有n个点时，共有360n+360度角，而每个三角形的内角和为180度角，所以可剪成(360n+360)÷180=2n+2个三角形． 2n+2个三角形共有3×(2n+2)=6n+6条边，但是其中有4条是原有的正方形的边，所以正方形内部的三角形边有6n+6—4=6n+2条边，又知道每条边被2个三角形共用，即每2条边是重合的，所以只用剪(6n+2)÷2＝3n+1刀．本题中n=1996，所以可剪成3994个三角形，需剪5989刀．【巩固】在三角形内有100个点，以三角形的顶点和这100点为顶点，可把三角形剖分成多少个小三角形？【解析】 整体法．100个点每个点周围有360度，三角形本身内角和为180度，所以可以分成个小三角形．【例 9】 在一个六边形纸片内有个点，以这个点和六变形的个顶点为顶点的三角形，最多能剪出_______个．【解析】 设正六边形内有个点，当时有个三角形，每增加一个点，就增加个三角形，个点最多能剪出个三角形．时，可剪出个三角形．注：设最多能剪出个小三角形，则这些小三角形的内角和为．换一个角度看，汇聚到正六边形六个顶点处各角之和为，故这些小三角形的内角总和为．于是，解得．模块三、对应法将难以计数的数量与某种可计量的事物联系起来，只要能建立一一对应的关系，那么这两种事物在数量上是相同的．事实上插入法和插板法都是对应法的一种表现形式．一、图形中的对应关系【例 10】 （难度等级 ※※※）在8×8的方格棋盘中，取出一个由三个小方格组成的“L”形（如图），一共有多少种不同的方法？ 【解析】 注意：数“不规则几何图形”的个数时，常用对应法．第1步：找对应图形 每一种取法，有一个点与之对应，这就是图中的A点，它是棋盘上横线与竖线的交点，且不在棋盘边上．第2步：明确对应关系　从下图可以看出，棋盘内的每一个点对应着4个不同的取法（“L”形的“角”在2×2正方形的不同“角”上）．第3步：计算对应图形个数 由于在 8×8的棋盘上，内部有7×7=49（个）交叉点， 第4步：按照对应关系，给出答案故不同的取法共有49×4=196（种）．评注:通过上面两个范例我们知道,当直接去求一个集合元素的个数较为困难的时候,可考虑采用相等的原则,把问题转化成求另一个集合的元素个数．【例 11】 （难度等级 ※※※）在8×8的黑白相间染色的国际象棋棋盘中，以网格线为边的、恰包含两个白色小方格与一个黑色小方格的长方形共有多少个？【解析】 首先可以知道题中所讲的长方形中间的那个小主格为黑色，这是因为两个白格不相邻，所以不能在中间．显然，位于棋盘角上的黑色方格不可能被包含在这样的长方形中．下面分两种情况来分析：第一种情况，一个位于棋盘内部的黑色方格对应着两个这样的长方形(一横一竖)；第二种情况，位于边上的黑色方格只能对应一个长方形．由于在棋盘上的32个黑色方格中，位于棋盘内部的18个，位于边上的有12个，位于角上的有2个，所以共有个这样的长方形．本题也可以这样来考虑：事实上，每一行都有6个长方形，所以棋盘上横、竖共有长方形个．由于棋盘上的染色具有对称性，因此包含两个白色小方格与一个黑色小方格的长方形正好与包含两个黑色小方格与一个白色小方格的长方形具有一一对应关系，这说明它们各占一半，因此所求的长方形个数为个．【巩固】 （难度等级 ※※）用一张如图所示的纸片盖住方格表中的四个小方格，共有多少种不同的放置方法？ 【解析】如图，将纸片中的一个特殊方格染为黑色，下面考虑此格在方格表中的位置．易见它不能位于四个角上；若黑格位于方格表中间如图浅色阴影所示的正方形内的某格时，纸片有4种不同的放法，共计种；若黑格位于方格表边上如图深色阴影所示的方格中时，纸片的位置随之确定，即只有1种放法，此类放法有种．所以。