高考数学压轴—数学归纳法(含解法).doc

高考数学压轴—数学归纳法（含解法）运用数学归纳法证明问题时，关键是n＝k＋1时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等Ⅰ、再现性题组：1. 用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2·1·2…(2n－1) （n∈N），从“k到k＋1”，左端需乘的代数式为_____ A. 2k＋1 B. 2(2k＋1) C. D. 2. 用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1)时，由n＝k (k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的代数式的个数是_____ A. 2 B. 2－1 C. 2 D. 2＋13. 某个命题与自然数n有关，若n＝k (k∈N)时该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题也成立现已知当n＝5时该命题不成立，那么可推得______ (94年上海高考) A.当n＝6时该命题不成立 B.当n＝6时该命题成立 C.当n＝4时该命题不成立 D.当n＝4时该命题成立4. 数列{a}中，已知a＝1，当n≥2时a＝a＋2n－1，依次计算a、a、a后，猜想a的表达式是_____。

A. 3n－2 B. n C. 3 D. 4n－35. 用数学归纳法证明3＋5 (n∈N)能被14整除，当n＝k＋1时对于式子3＋5应变形为_______________________6. 设k棱柱有f(k)个对角面，则k＋1棱柱对角面的个数为f(k+1)＝f(k)＋_________简解】1小题：n＝k时，左端的代数式是(k＋1)(k＋2)…(k＋k),n＝k＋1时，左端的代数式是(k＋2)(k＋3)…(2k＋1)(2k＋2)，所以应乘的代数式为，选B；2小题：（2－1）－（2－1）＝2，选C；3小题：原命题与逆否命题等价，若n＝k＋1时命题不成立，则n＝k命题不成立，选C4小题：计算出a＝1、a＝4、a＝9、a＝16再猜想a，选B；5小题：答案（3＋5）3＋5（5－3）；6小题：答案k－1Ⅱ、示范性题组：例1. 已知数列，得，…，，…S为其前n项和，求S、S、S、S，推测S公式，并用数学归纳法证明 （93年全国理）【解】 计算得S＝，S＝，S＝，S＝ ， 猜测S＝ (n∈N)当n＝1时，等式显然成立；假设当n＝k时等式成立，即：S＝，当n＝k＋1时，S＝S＋＝＋＝＝＝,由此可知，当n＝k＋1时等式也成立。

综上所述，等式对任何n∈N都成立注】 把要证的等式S＝作为目标，先通分使分母含有(2k＋3)，再考虑要约分，而将分子变形，并注意约分后得到（2k＋3）－1这样证题过程中简洁一些，有效地确定了证题的方向本题的思路是从试验、观察出发，用不完全归纳法作出归纳猜想，再用数学归纳法进行严格证明，这是关于探索性问题的常见证法，在数列问题中经常见到 假如猜想后不用数学归纳法证明，结论不一定正确，即使正确，解答过程也不严密必须要进行三步：试值 → 猜想 → 证明另解】 用裂项相消法求和：由a＝＝－得，S＝（1－）＋（－）＋……＋－＝1－＝此种解法与用试值猜想证明相比，过程十分简单，但要求发现＝－的裂项公式可以说，用试值猜想证明三步解题，具有一般性例2. 设a＝＋＋…＋ (n∈N),证明：n(n＋1)k(k＋1)＋(k＋1)＝(k＋1)(k＋3)>(k＋1)(k＋2)，(k＋1)＋＝(k＋1)＋<(k＋1)＋(k＋)＝(k＋2)，所以(k＋1)(k＋2)

综上所述，对所有的n∈N，不等式n(n＋1)n可得，a>1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)；由

假设当n＝k（k≥2）时，猜测正确，即：a＝a＋(k－1)d ，当n＝k＋1时，a＝S－S＝－，将a＝a＋(k－1)d代入上式， 得到2a＝(k＋1)(a＋a)－2ka－k(k－1)d，整理得(k－1)a＝(k－1)a＋k(k－1)d，因为k≥2,所以a＝a＋kd，即n＝k＋1时猜测正确综上所述，对所有的自然数n，都有a＝a＋(n－1)d，从而{a}是等差数列注】 将证明等差数列的问题转化成证明数学恒等式关于自然数n成立的问题在证明过程中a的得出是本题解答的关键，利用了已知的等式S＝、数列中通项与前n项和的关系a＝S－S建立含a的方程，代入假设成立的式子a＝a＋(k－1)d解出来a另外本题注意的一点是不能忽视验证n＝1、n＝2的正确性，用数学归纳法证明时递推的基础是n＝2时等式成立，因为由(k－1)a＝(k－1)a＋k(k－1)d得到a＝a＋kd的条件是k≥2另解】 可证a －a＝ a－ a对于任意n≥2都成立：当n≥2时，a＝S－S＝－；同理有a＝S－S＝－；从而a－a＝－n(a＋a)＋，整理得a －a＝ a－ a，从而{a}是等差数列一般地，在数列问题中含有a与S时，我们可以考虑运用a＝S－S的关系，并注意只对n≥2时关系成立，象已知数列的S求a一类型题应用此关系最多。

Ⅲ、巩固性题组：1. 用数学归纳法证明：6＋1 (n∈N)能被7整除2. 用数学归纳法证明： 1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1) (n∈N)3. n∈N，试比较2与(n＋1)的大小，并用证明你的结论4. 用数学归纳法证明等式：cos·cos·cos·…·cos＝ (81年全国高考)5. 用数学归纳法证明： |sinnx|≤n|sinx| （n∈N） （85年广东高考）6. 数列{a}的通项公式a＝ (n∈N)，设f(n)＝(1－a)(1－a)…(1－a)，试求f(1)、f(2)、f(3)的值，推测出f(n)的值，并用数学归纳法加以证明7. 已知数列{a}满足a＝1，a＝acosx＋cos[(n－1)x]， (x≠kπ，n≥2且n∈N) ①．求a和a； ②.猜测a，并用数学归纳法证明你的猜测8. 设f(logx)＝ , ①.求f(x)的定义域； ②.在y＝f(x)的图像上是否存在两个不同点，使经过这两点的直线与x轴平行？证明你的结论 ③.求证：f(n)>n (n>1且n∈N)1。