苏科版九年级数学上册培优圆周角定理练习.doc

word版 初中数学第10讲　圆周角定理【思维入门】1． 如图3－10－1，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，连结BC，BD，下列结论中不一定正确的是 (　　)A．AE＝BE　　　 B.＝C．OE＝DE D．∠DBC＝90 图3－10－1 图3－10－2 图3－10－32．如图3－10－2，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝60，AB＝AC＝2，则弦BC的长为 (　　)A.　　　　 B．3　　　　 C．2　　　　 D．43．如图3－10－3，▱ABCD的顶点A，B，D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，连结AE，∠E＝36，则∠ADC的度数是 (　　)A．44　　　 B．54　　　 C．72　　　 D．534．如图3－10－4，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC＝50，则∠DAB等于 (　　)A．55　　　 B．60　　　 C．65　　　 D．70 图3－10－4 图3－10－55．如图3－10－5，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB，AC于点D，E，连结OD，OE，若∠A＝65，则∠DOE＝____.6．如图3－10－6，点A，B，D，E在圆上，弦AE的延长线与弦BD的延长线相交于点C.给出下列三个条件：(1)AB是圆的直径；(2)D是BC的中点；(3)AB＝AC.请在上述条件中选择两个作为已知条件，第三个作为结论，写出一个你认为正确的命题，并加以证明．图3－10－6【思维拓展】7．如图3－10－7，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC.若AB＝8，CD＝2，则EC的长为 (　　)A．2　　　 B．8　　　 C．2　　　 D．2 图3－10－7 图3－10－88．如图3－10－8，半圆O的直径AB＝10 cm，弦AC＝6 cm，AD平分∠BAC，则AD的长为 (　　)A．4 cm B．3 cm C．5 cm D．4 cm9．如图3－10－9，已知在△ABC中，AB＞AC，∠A的外角平分线交△ABC的外接圆于点E，过E作EF⊥AB，垂足为F.求证：AB－AC＝2AF.图3－10－910．如图3－10－10，⊙O为△ABC的外接圆，弦CD平分∠ACB，∠ACB＝120，求的值．图3－10－10【思维升华】11．如图3－10－11，Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝2，BC＝1，若以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则＝____.图3－10－1112．如图3－10－12，已知四边形ABCD内接于一圆，AB＝BD，BM⊥AC于M，求证：AM＝DC＋CM.图3－10－1213．如图3－10－13，在边长为1的正方形ABCD的边AB上任取一点E(A，B两点除外)，过E，B，C三点的圆与BD相交于点H，与正方形ABCD的外角平分线相交于点F，与CD相交于点G.(1)求证：四边形EFCH是正方形；(2)设BE＝x，△CGH的面积是y，求y与x的函数解析式，并求y的最大值．图3－10－13答案：第10讲　圆周角定理【思维入门】1． 如图3－10－1，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，连结BC，BD，下列结论中不一定正确的是 (　C　)A．AE＝BE　　　 B.＝C．OE＝DE D．∠DBC＝90图3－10－12．如图3－10－2，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝60，AB＝AC＝2，则弦BC的长为 (　C　)图3－10－2A.　　　　 B．3　　　　 C．2　　　　 D．43．如图3－10－3，▱ABCD的顶点A，B，D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，连结AE，∠E＝36，则∠ADC的度数是 (　B　)图3－10－3A．44　　　 B．54　　　 C．72　　　 D．534．如图3－10－4，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC＝50，则∠DAB等于 (　C　)图3－10－4A．55　　　 B．60　　　 C．65　　　 D．70【解析】 连结BD，如答图，第4题答图∵点D是AC弧的中点，即＝，∴∠ABD＝∠CBD，而∠ABC＝50，∴∠ABD＝50＝25，∵AB是半圆的直径，∴∠ADB＝90，∴∠DAB＝90－25＝65.5．如图3－10－5，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB，AC于点D，E，连结OD，OE，若∠A＝65，则∠DOE＝__50__.图3－10－56．如图3－10－6，点A，B，D，E在圆上，弦AE的延长线与弦BD的延长线相交于点C.给出下列三个条件：(1)AB是圆的直径；(2)D是BC的中点；(3)AB＝AC.请在上述条件中选择两个作为已知条件，第三个作为结论，写出一个你认为正确的命题，并加以证明．图3－10－6解：(1)(2)为已知条件，(3)为结论．证明：如答图，连结AD，第6题答图∵AB是圆的直径，∴AD⊥BC，∵D是BC的中点，∴AD垂直平分BC，∴AB＝AC.(1)(3)作为条件，(2)作为结论，证明：如答图，连结AD，∵AB是圆的直径，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴D是BC的中点(等腰三角形三线合一)．(2)(3)作为条件，(1)作为结论．证明：如答图，连结AD，∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴AB是圆的直径．【思维拓展】7．如图3－10－7，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC.若AB＝8，CD＝2，则EC的长为 (　D　)图3－10－7A．2　　　 B．8　　　 C．2　　　 D．2【解析】 ∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB＝8，∴AC＝AB＝4，设⊙O的半径为r，则OC＝r－2，在Rt△AOC中，∵AC＝4，OC＝r－2，∴OA2＝AC2＋OC2，即r2＝42＋(r－2)2，解得r＝5，∴AE＝2r＝10，连结BE，如答图，第7题答图∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90，在Rt△ABE中，∵AE＝10，AB＝8，∴BE＝＝＝6，在Rt△BCE中，∵BE＝6，BC＝4，∴CE＝＝＝2.故选D.8．如图3－10－8，半圆O的直径AB＝10 cm，弦AC＝6 cm，AD平分∠BAC，则AD的长为 (　A　)A．4 cm B．3 cm图3－10－8C．5 cm D．4 cm【解析】 如答图，连结OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，第8题答图 ∵∠CAD＝∠BAD(角平分线的性质)，∴∠DOB＝∠OAC＝2∠BAD，∴△AOF≌△ODE，∴OE＝AF＝AC＝3 cm，在Rt△DOE中，DE＝＝4 cm，在Rt△ADE中，AD＝＝4 cm.故选A.9．如图3－10－9，已知在△ABC中，AB＞AC，∠A的外角平分线交△ABC的外接圆于点E，过E作EF⊥AB，垂足为F.求证：AB－AC＝2AF.图3－10－9证明：如答图，在AB上取D使FD＝AF，连结ED并延长交圆于G，连结BG，第9题答图则有∠1＝∠2＝∠3，∠1＝∠G.∴∠3＝∠G，∴BG＝BD，又∵∠BAC＝180－2∠1＝180－(∠1＋∠2)＝∠AEG，∴＝，∴＝，即AC＝BG.∴AB－AC＝AB－BD＝AD＝2AF.10．如图3－10－10，⊙O为△ABC的外接圆，弦CD平分∠ACB，∠ACB＝120，求的值．图3－10－10解：如答图，连结AD，DB，作BE∥CD交AC延长线于E.第10题答图∵CD平分∠ACB，∠ACB＝120，∴∠E＝∠ACD＝60，∠ECB＝60，＝，∴△BEC为等边三角形，AD＝BD，∴BE＝EC＝CB，∵∠ADB＝180－∠ACB＝∠ECB＝60，AD＝BD，∴△ADB为等边三角形，∵∠EBC＝∠ABD＝60，∴AD＝DB＝AB，在△ABE与△DBC中，∴△ABE≌△DBC(SAS)，∴CD＝AE＝CA＋CE＝CA＋CB，∴＝1.【思维升华】11．如图3－10－11，Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝2，BC＝1，若以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则＝____.图3－10－1112．如图3－10－12，已知四边形ABCD内接于一圆，AB＝BD，BM⊥AC于M，求证：AM＝DC＋CM.图3－10－12证明：在MA上截取ME＝MC，连结BE，如答图，∵BM⊥AC，而ME＝MC，∴BE＝BC，∴∠BEC＝∠BCE，∵AB＝BD，∴∠ADB＝∠BAD，第12题答图而∠ADB＝∠BCE，∴∠BEC＝∠BAD，又∵∠BCD＋∠BAD＝180，∠BEA＋∠BEC＝180，∴∠BEA＝∠BCD，而∠BAE＝∠BDC，AB＝BD，∴△ABE≌△DBC，∴AE＝DC，∴AM＝AE＋ME＝DC＋CM.13．如图3－10－13，在边长为1的正方形ABCD的边AB上任取一点E(A，B两点除外)，过E，B，C三点的圆与BD相交于点H，与正方形ABCD的外角平分线相交于点F，与CD相交于点G.(1)求证：四边形EFCH是正方形；(2)设BE＝x，△CGH的面积是y，求y与x的函数解析式，并求y的最大值．图3－10－13解：(1)∵ E，B，C，H，F在同一圆上，且∠EBC＝90，∴ ∠EHC＝90，∠EFC＝90.又∵∠FBC＝∠HBC＝45，∴ CF＝CH.∵∠HBF＋∠HCF＝180，∴∠HCF＝90.∴ 四边形EFCH是正方形．(2)∵ ∠GHB＋∠GCB＝180，∴∠GHB＝90，由(1)知∠CHE＝90，∴∠CHG＋∠CHB＝∠EHB＋∠CHB.∴∠CHG＝∠EHB.∴CG＝BE＝x，∴DG＝DC－CG＝1－x.∴△CGH 中，CG边上是高为DG＝(1－x)．∴ y＝x.(1－x)＝－＋. 当x＝时，y有最大值.14 / 14。