第七章 多元函数微分学习题.doc

第七章 多元函数微分学【内容提要】1.空间解析几何基础知识三条相互垂直的坐标轴Ox、Oy、Oz组成了一个空间直角坐标系空间直角坐标系下两点间的距离公式为：平面方程：二次曲面方程：球面方程：圆柱面方程：椭球面方程：椭圆抛物面方程：双曲抛物面方程：单叶双曲面图方程：(a，b，c＞0)双叶双曲面方程：椭圆锥面方程：2.多元函数与极限多元函数的定义：在某一过程中，若对变化范围的每一对值，在变域中存在值，按一定对应法则进行对应，有唯一确定的值，则称为集合上的二元函数，记为称为自变量，称为定义域，称为因变量的对应值记为，称为函数值，函数值的集合称为值域多元函数的极限：设函数在开区间（或闭区间）内有定义，是的内点或边界点如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合不等式的一切点，都有成立，则称常数为函数当时的极限，记作多元函数的连续性：设函数在区域D内有定义，点是D的内点或边界点且如果则称函数在点处连续3.多元函数的偏导数与全微分偏导数：设函数在点的某一邻域内有定义，当固定在而在处有增量时，相应地函数有增量如果极限存在，则称此极限为函数在点处对x的偏导数， 记作， ， ， 或同理，如果极限存在，则称此极限为函数在点处对y的偏导数， 记作， ， ， 或4.二元函数在点的偏导数的几何意义是过曲面上点的曲线在点处的切线对轴的斜率。

5．二阶偏导数，，，如果函数的两个二阶混合偏导数及在区域内连续， 那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等6.全微分如果函数在点的全增量可表示为其中A、B不依赖于、 而仅与、有关，则称函数在点可微分， 而称为函数在点的全微分，记作，即如果函数的偏导数、在点连续，则函数在该点可微分 7.复合函数微分法复合函数的中间变量均为一元函数的情形 如果函数及都在点可导，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在点可导，且有复合函数的中间变量均为多元函数的情形 如果函数u=j(x, y), v=y(x, y)都在点(x, y)具有对x及y的偏导数, 函数z=f(u, v)在对应点(u, v)具有连续偏导数, 则复合函数z=f [j(x, y)， (x, y)]在点(x, y)的两个偏导数存在, 且有 8. 全微分形式不变性无论是自变量、的函数或中间变量、的函数，它的全微分形式是一样的,这个性质叫做全微分形式不变性9. 隐函数微分法在点的某邻域内，若函数有连续的偏导数、，且，则在≠0时，方程确定唯一的、有连续导数的函数，满足及这个定理称为隐函数存在定理隐函数存在定理给出了隐函数求导的方法，即由，两边全微分得，由≠0，得到隐函数的导数为。

10. 二元函数的极值设函数在点的某个邻域内有定义，如果对于该邻域内任何异于的点，都有 （或） 则称函数在点有极大值(或极小值) 极大值、极小值统称为极值使函数取得极值的点称为极值点 设函数在点具有偏导数，且在点处有极值，则有 ，设函数在点的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数， 又，， 令 则在点处是否取得极值的条件如下： (1) AC-B2>0时具有极值，且当A<0时有极大值，当A>0时有极小值； (2) AC-B2<0时没有极值；(3) AC-B2=0时可能有极值， 也可能没有极值极值的求法： 第一步 解方程组， 求得一切实数解， 即可得一切驻点 第二步 对于每一个驻点， 求出二阶偏导数的值A、B和C 第三步 判断AC-B2的符号， 按定理2的结论判定是否是极值、是极大值还是极小值11.多元函数的最大值、最小值如果在有界闭区域D上连续，则在D上必定能取得最大值和最小值 这种使函数取得最大值或最小值的点既可能在D的内部，也可能在D的边界上我们假定， 函数在D上连续、在D内可微分且只有有限个驻点，这时如果函数在D的内部取得最大值（最小值），那么这个最大值（最小值）也是函数的极大值（极小值）。

因此，求最大值和最小值的一般方法是:将函数f(x，y)在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值12. 条件极值 拉格朗日乘数法对自变量有附加条件的极值称为条件极值一般地，考虑函数在限制条件下的极值问题，称为条件极值问题．考虑极值的函数称为目标函数，考虑的限制条件称为约束条件．没有约束条件的极值问题，称为无条件极值问题．若能从约束条件解出，则条件极值问题可以转化为函数的无条件极值问题拉格朗日乘数法要找函数在条件下的可能极值点， 可以先构成辅助函数， 其中l为某一常数然后解方程组由这方程组解出x， y及l， 则其中就是所要求的可能的极值点 13. 最小二乘法简介变量x、y满足线性方程，其中，a、b需要确定．通过试验测得x、y的n组对应值：(x1，y1)、(x2，y2)、…、(xn，yn)，建立计算值与实测值之差的平方和函数，得到则Q的意义是很明显的，它等于各点离开直线的偏差平方和，反映了各点关于直线的偏离情况视Q为a、b的函数，求Q的最小值，确定出线性方程的系数a、b，这就是通常所说的最小离差平方和原则，又称最小二乘法原则。

根据微积分学知识，Q有极小值的必要条件是这样就得到关于a和b的线性方程组这个方程组通常称为线性回归的正规方程解此方程组得【习题解答】7-1 确定下列函数的定义域，并画出定义域的图形1）； （2）；（3）； （4）解 1） （2） （3）（4）7-2 计算下列函数的偏导数1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）设，求；（10）设，求 解 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9）令，，则（10）令，，则7-3设，验证解 , , 7-4 求下列函数的二阶偏导数1）； （2）；（3） ； （4）解 （1）， ，（2） （3） （4） 7-5 设f，求，，．解 ，，7-6 证明（1）设，证明。

2）设，证明7-7 计算全增量或全微分1）求函数在点处，当时的全增量与全微分；（2）求当时，函数的全增量与全微分；（3）求在点当时的全微分；（4）求在点的全微分解 （1）全增量 全微分 （2）全增量 全微分 （3）全微分 （4）全微分 7-8 计算全微分 （1）；（2）；（3）；（4）解（1） （2） （3） （4） 7-9 求下列多元复合函数的偏导数1） , 求和；（2）设，求及；（3）设，求证；（4）设 ，求和；（5）设，求；（6）, 求；（7）,求和；（8），求和；（9）,求和解 （1） （2） （3）令（4）令则 （5）（6） （7） （8） （9）7-10对下列函数求。

1）； （2）；（3）； （4）解 （1）令 则 （2）令 则 （3）令 则 （4）令 则 7-11 对下列函数求、1）； （2）；（3）； （4）解 （1）令，则 （2）令则 （3）令则 （4）令则7-12 容积为V的开顶长方水池，求表面积的最小值解 设长方形水池的长为，宽为，则高为，其表面积为由，解得所以，当，时，表面积最小7-13 容积为V的开顶圆柱水池，单位面积造价底部为侧部的3倍，求总造价最小值解 设圆柱的半径为，则高为，假设单位面积造价为1，则总造价令，解得所以，当，，其总造价最小7-14 求抛物线上的点与直线上的点之间的最短距离解 点到直线的距离公式为，又已知，则最短距离为7-15 求在圆上的最大值解 ，令同时为零，得驻点，它恰好在闭区域D的内部，而函数在D内只有一个驻点， 那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数在D上的最大值，所以在圆上的最大值为4。

7-16 生产某产品的数量Q与所用A、B两种原料的数量、有函数关系，原料A、B的单价分别为100、200元，用15 000元购买原料，求产品产量的最大值解 从约束条件解出，得到，将条件极值问题转化为无条件极值问题，即，令导数为零，解得开区域内唯一驻点，故时，取得产品产量的最大值，即7-17 甲、乙两种产品在销量为、时的销售价格分别为，，两种产品的联合成本为，求取得最大利润时的两种产品的价格和销量解 最大利润为，求其偏导数，并解方程组，求得x=1，y=5 于是得驻点为，再求出二阶偏导数，在点处， AC-B2=24->0， 又A<0， 所以函数在处有极大值，取得最大利润50时的两种产品的价格分别为15和17，销量分别为1和5课外练习】一、单选题1．点关于原点的对称点是（ ）A．（－2，3，－1） B．（－2，－3，－1）C．（2，－3，－1） D．（－2，3，1）2．球面方程的球心及半径分别为（ ）A．， B．，C．， D．，3．在空间直角坐标系中，的图形是（ ）A．球面 B．圆柱面 C．圆周 D．旋转抛物面4．在空间直角坐标系中，点和点之间的距离（ ）。

A． B． C． D．5．平面方程中，若，则此平面。