中考数学压轴题精编附带答案(人教版).docx

中考数学压轴题精编附带答案（人教版）1．（人教版）已知：二次函数y＝ax 2＋bx－2的图象经过点（1，0），一次函数的图象经过原点和点（1，－b），其中a＞b＞0且a、b为实数．（1）求一次函数表达式（用含b的式子表示）；（2）试说明：这两个函数的图象交于不同的两点；（3）设（2）中的两个交点的横坐标分别为x1、x2，求| x1－x2|的范围．1．解：（1）∵一次函数过原点，∴设一次函数的表达式为y＝kx∵一次函数过（1，－b），∴－b＝k×1，∴k＝－b∴一次函数的表达式y＝－bx 3分（2）∵二次函数y＝ax 2＋bx－2的图象经过点（1，0），∴0＝a＋b－2∴b＝2－a 4分由得ax 2＋2(2－a)x－2＝0 ① 5分∵△＝4(2－a)2＋8a＝4(a－1)2＋12＞0∴方程①有两个不相等的实数根，∴方程组有两组不同的解∴这两个函数的图象交于不同的两点 6分（3）∵两交点的横坐标x1、x2分别是方程①的解∴x1＋x2＝＝，x1x2＝－∴| x1－x2|＝＝＝＝（或由求根公式得出） 8分∵a＞b＞0，b＝2－a，∴1＜a＜2令函数y＝(－1)2＋3，则当1＜a＜2时，y随a增大而减小∴4＜(－1)2＋3＜12 9分∴2＜＜∴2＜| x1－x2|＜ 10分2．（人教版）如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA＝cm，OC＝8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P段OA上沿OA方向以每秒cm的速度匀速运动，Q段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为t秒．OyxCBAQP（1）用t的式子表示△OPQ的面积S；（2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，抛物线y＝x 2＋bx＋c经过B、P两点，过线段BP上一动点M作y轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比．2．解：（1）∵CQ＝t，OP＝t，CO＝8，∴OQ＝8－t∴S△OPQ＝(8－t)·t＝－t 2＋t（0＜t＜8） 3分（2）∵S四边形OPBQ＝S矩形ABCD － S△PAB － S△CBQ＝8×－×t－×8×(－t)＝ 5分∴四边形OPBQ的面积为一个定值，且等于 6分（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，△QPB必须是一个直角三角形，依题意只能是∠QPB＝90°又∵BQ与AO不平行，∴∠QPO不可能等于∠PQB，∠APB不可能等于∠PBQ∴根据相似三角形的对应关系只能是△OPQ∽△PBQ∽△ABP 7分∴＝，即＝，解得：t＝4经检验：t＝4是方程的解且符合题意（从边长关系和速度考虑）此时P（，0）∵B（，8）且抛物线y＝x 2＋bx＋c经过B、P两点OyxCBAQPMHN∴抛物线是y＝x 2－x＋8，直线BP是y＝x－8 8分设M（m，m－8），则N（m，m 2－m＋8）∵M是BP上的动点，∴≤m≤∵y1＝x 2－x＋8＝( x－)2∴抛物线的顶点是P（，0）又y1＝x 2－x＋8与y2＝x－8交于P、B两点∴当≤m≤时，y2＞y1 9分∴| MN |＝| y2－y1|＝y2－y1＝(m－8)－(m 2－m＋8)＝－m 2＋m－16＝－(m－)2＋2∴当m＝时，MN有最大值是2，此时M（，4）设MN与BQ交于H点，则H（，7）∴S△BHM ＝×3×＝∴S△BHM : S五边形QOPMH ＝:(－)＝3 : 29∴当线段MN的长取最大值时，直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比为3 : 29 10分3．如图①、②，在平面直角坐标系中，一边长为2的等边三角板CDE恰好与坐标系中的△OAB重合，现将三角板CDE绕边AB的中点G（G点也是DE的中点），按顺时针方向旋转180°到△C′ED的位置．（1）求C′ 点的坐标；（2）求经过O、A、C′ 三点的抛物线的解析式；（3）如图③，⊙G是以AB为直径的圆，过B点作⊙G的切线与x轴相交于点F，求切线BF的解析式；（4）抛物线上是否存在一点M，使得S△AMF : S△OAB＝16 : 3？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．yxBAO(D)G(C)(E)FC′图③yxBAO(E)G(C)(D)图①yxBAO(D)G(C)(E)C′图②3．解：（1）C′ 点的横坐标为2＋2×＝3，纵坐标为2×＝C′ 点的坐标为（3，） 2分（2）∵抛物线过原点O（0，0），∴设抛物线的解析式为y＝ax 2＋bx把A（2，0），C′（3，）代入，得解得a＝，b＝－ 3分∴抛物线的解析式为y＝x 2－x 4分（3）∵∠ABF＝90°，∠BAF＝60°，∴∠AFB＝30°又AB＝2，∴AF＝4，∴OF＝2，∴F（－2，0）yxBAO(D)G(C)(E)FC′M1M2设切线BF的解析式为y＝kx＋b把B（1，），F（－2，0）代入，得解得k＝，b＝ 5分∴切线BF的解析式为y＝x＋ 6分（4）假设存在，设M的坐标为（x，x 2－x）①当点M在x轴上方时由S△AMF : S△OAB＝16 : 3，得×4×(x 2－x):×2×＝16 : 3整理得x 2－2x－8＝0，解得x1＝－2，x2＝4当x＝－2时，y＝×(－2)2－×(－2)＝当x＝4时，y＝×4 2－×4＝∴M1（－2，），M2（4，） 8分②当点M在x轴下方时由S△AMF : S△OAB＝16 : 3，得×4×[－(x 2－x)]:×2×＝16 : 3整理得x 2－2x＋8＝0，此方程无实数解 9分综上所述，抛物线上存在点M1（－2，）和M2（4，）使得S△AMF : S△OAB＝16 : 3 10分4．已知：等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点M与点A重合，点N到达点B时运动终止），过点M、N分别作AB边的垂线，与△ABC的其它边交于P、Q两点，线段MN运动的时间为t秒．（1）线段MN在运动的过程中，t为何值时，四边形MNQP恰为矩形？并求出该矩形的面积；CPQBAMN（2）线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S，运动的时间为t．求四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．CQBAMNPD图14．解：（1）如图1，过点C作CD⊥AB于D，则AD＝2当MN运动到被垂直平分时，四边形MNQP是矩形即AM＝时，四边形MNQP是矩形∴t＝秒时，四边形MNQP是矩形∵PM＝AM·tan60°＝∴S四边形MNQP ＝ 4分CPQBAMN图2（2）①当0＜ t ＜1时，如图2S四边形MNQP ＝(PM＋QN)·MN＝[＋(t＋1)]×1＝t 6分②当1≤≤2时，如图3CPQBAMN图3S四边形MNQP ＝(PM＋QN)·MN＝[＋(3－t)]×1＝ 8分③当2＜＜3时，如图4S四边形MNQP ＝(PM＋QN)·MN＝[(3－t)＋(4－t)]×1CQPBAMN图4＝－t＋ 11分5．如图，在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标分别为A（－2，0），B（6，0），C（0，3）．（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）过C点作CD平行于x轴交抛物线于点D，写出D点的坐标，并求AD、BC的交点E的坐标；（3）若抛物线的顶点为P，连结PC、PD，判断四边形CEDP的形状，并说明理由．-1-1yxO-1DCPEAB5．解：（1）∵抛物线经过点C（0，3），∴可设抛物线的解析式为y＝ax 2＋bx＋3（a≠0）又∵抛物线经过点A（－2，0），B（6，0）∴ 解得 3分∴抛物线的解析式为y＝－x 2＋x＋3 4分（2）D点的坐标为D（4，3） 5分-1-1yxO-1DCPEABF设直线AD的解析式为y＝mx＋n把A（－2，0），D（4，3）代入，解得m＝，n＝1∴直线AD的解析式为y＝x＋1 ①同理可求得直线BC的解析式为y＝－x＋3 ②联立①②求得交点E的坐标为E（2，2） 8分（3）连结PE交CD于点F∵y＝－x 2＋x＋3＝－(x－2)2＋4∴顶点P的坐标为P（2，4） 9分又∵E（2，2），C（0，3），D（4，3）∴PF＝EF＝1，CF＝FD＝2，且CD⊥PE 11分∴四边形CEDP是菱形 12分yxODCABEFl6．如图，抛物线y＝－x 2＋x＋3与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，顶点为点D，对称轴l与直线BC相交于点E，与x轴相交于点F．（1）求直线BC的解析式．（2）设点P为该抛物线上的一个动点，以点P为圆心、r为半径作⊙P．①当点P运动到点D时，若⊙P与直线BC相交，求r的取值范围；②若r＝，是否存在点P使⊙P与直线BC相切，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．6．解：（1）当x＝0时，y＝3，∴点C的坐标为（0，3） 1分当y＝0时，－x 2＋x＋3＝0，∴x＝－2或x＝6结合图形可得点A、B的坐标分别为（－2，0）、（6，0） 2分设直线BC的解析式为y＝kx＋b，将点B、C的坐标代入yxODCABEFlG得 解得∴直线BC的解析式为y＝－x＋3 4分（2）①过点D作DG⊥BC于点G∵y＝－x 2＋x＋3＝－(x－2)2＋4∴抛物线的顶点D的坐标为（2，4），对称轴x＝2∵点E是对称轴l与直线BC的交点，∴点E的横坐标为2∴点E的纵坐标为y＝－×2＋3＝2，即EF＝2，∴DE＝2 6分在Rt△EFB中，BF＝4，BE＝＝＝∵∠DGE＝BFE＝90°，∠DEG＝BEF，∴△DEG∽△BEF∴＝，即＝，∴DG＝故当r＞时，⊙P与直线BC相交 8分②假设存在点P使⊙P与直线BC相切ⅰ）若点P在直线BC的上方，设⊙P与BC相切于点Q，连结PQ则PQ⊥BC，PQ＝r＝过点P作PM⊥x轴于点M，交BC于点N则∠PQN＝BMN＝BFE＝90°，又∠PNQ＝BNM＝BEF，∴△PQN∽△BEF∴＝，即＝，∴PN＝2设点P的坐标为（xP ，yP），点N的坐标为（xN ，yN）∵PN⊥x轴，∴xN ＝xP，yP－yN ＝PN＝2∴－xP2＋xP＋3－(－xP＋3)＝2，解得xP ＝2或xP ＝4当xP ＝2时，yP ＝4；当xP ＝4。