
高中数学的基本知识,方法,思路等.doc
33页选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库高 中 数 学基本知识·基本思想·基本方法·基本学法高 中 数 学基本知识·基本思想·基本方法一、集合与简易逻辑1.必须弄清集合的元素是什么,是函数关系中自变量的取值?还是因变量的取值?还是曲线上的点?… ;2.数形结合是解集合问题的常用方法,解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具,将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化,然后利用数形结合的思想方法解决;3.一个语句是否为命题,关键要看能否判断真假,陈述句、反诘问句都是命题,而祁使句、疑问句、感叹句都不是命题;4.判断命题的真假要以真值表为依据.原命题与其逆否命题是等价命题 ,逆命题与其否命题是等价命题 ,一真俱真,一假俱假,当一个命题的真假不易判断时,可考虑判断其等价命题的真假;5.判断命题充要条件的三种方法:(1)定义法;(2)利用集合间的包含关系判断,若,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件;(3)等价法:即利用等价关系判断,对于条件或结论是不等关系(或否定式)的命题,一般运用等价法;6.(1)含n个元素的集合的子集个数为2n,真子集(非空子集)个数为2n-1;(2) (3)二、函数: 研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则.1.复合函数的有关问题(1)复合函数定义域求法:若已知f(x)的定义域为[a,b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域,相当于x∈[a,b]时,求g(x)的值域(即 f(x)的定义域);(2)复合函数的单调性由“同增异减”判定;2.函数的奇偶性(1)若f(x)是偶函数,那么f(x)=f(-x)=;(2)定义域含零的奇函数必过原点(可用于求参数);(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式:f(x)±f(-x)=0或(f(x)≠0); (4)若所给函数的解析式较为复杂,应先化简,再判断其奇偶性;(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;3.函数图像(或方程曲线的对称性)(1)证明函数图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;(2)证明图像C1与C2的对称性,即证明C1上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在C2上,反之亦然;(3)曲线C1:f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);(4)曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为:f(2a-x,2b-y)=0;(5)若函数y=f(x)对x∈R时,f(a+x)=f(a-x)恒成立,则y=f(x)图像关于直线x=a对称;(6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x=对称;4.函数的周期性(1)y=f(x)对x∈R时,f(x +a)=f(x-a) 或f(x-2a )=f(x) (a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数;(2)若y=f(x)是偶函数,其图像又关于直线x=a对称,则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数;(3)若y=f(x)奇函数,其图像又关于直线x=a对称,则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数;(4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称,则f(x)是周期为2的周期函数;(5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称,则函数y=f(x)是周期为2的周期函数;(6)y=f(x)对x∈R时,f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)= ,则y=f(x)是周期为2的周期函数;5.方程k=f(x)有解k∈D(D为f(x)的值域);6.a≥f(x) a≥[f(x)]max,; a≤f(x) a≤[f(x)]min;7.(1) (a>0,a≠1,b>0,n∈R+);(2) l og a N=( a>0,a≠1,b>0,b≠1);(3) l og a b的符号由口诀“同正异负”记忆;(4) a log a N= N ( a>0,a≠1,N>0 );8.能熟练地用定义证明函数的单调性,求反函数,判断函数的奇偶性.9.判断对应是否为映射时,抓住两点:(1)A中元素必须都有象且唯一;(2)B中元素不一定都有原象,并且A中不同元素在B中可以有相同的象;10.对于反函数,应掌握以下一些结论:(1)定义域上的单调函数必有反函数;(2)奇函数的反函数也是奇函数;(3)定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;(4)周期函数不存在反函数;(5)互为反函数的两个函数具有相同的单调性;(5) y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数,设f(x)的定义域为A,值域为B,则有f[f-1(x)]=x(x∈B),f-1[f(x)]=x(x∈A).11.处理二次函数的问题勿忘数形结合;二次函数在闭区间上必有最值,求最值问题用“两看法”:一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系;12.恒成立问题的处理方法:(1)分离参数法;(2)转化为一元二次方程的根的分布列不等式(组)求解;13.依据单调性,利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题:;14.掌握函数的图象和性质;函数(b – ac≠0))定义域值域奇偶性非奇非偶函数奇函数单调性当b-ac>0时:分别在上单调递减;当b-ac<0时:分别在上单调递增;在上单调递增;在上单调递增;图象yXoX=-cY=axyo三、数列1.由Sn求an,an={ 注意验证a1是否包含在后面an 的公式中,若不符合要单独列出.一般已知条件中含an与Sn的关系的数列题均可考虑用上述公式;2.等差数列 ;3.等比数列 4.首项为正(或为负)的递减(或递增)的等差数列前n项和的最大(或最小)问题,转化为解不等式解决;5.熟记等差、等比数列的定义,通项公式,前n项和公式,在用等比数列前n项和公式时,勿忘分类讨论思想;6.等差数列中, am=an+ (n-m)d, ; 等比数列中,an=amqn-m; q=;7.当m+n=p+q(m、n、p、q∈N*)时,对等差数列{an}有:am+an=ap+aq;对等比数列{an}有:aman=apaq;8.若{an}、{bn}是等差数列,则{kan+bbn}(k、b、a是非零常数)是等差数列;若{an}、{bn}是等比数列,则{kan}、{anbn}等也是等比数列;9.等差(或等比)数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”(如a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9…)仍是等差(或等比)数列;10.对等差数列{an},当项数为2n时,S偶—S奇=nd;项数为2n-1时,S奇-S偶=a中(n∈N*);11.若一阶线性递归数列an=kan-1+b(k≠0,k≠1),则总可以将其改写变形成如下形式:(n≥2),于是可依据等比数列的定义求出其通项公式;四、三角函数1.三角函数符号规律记忆口诀:一全正,二正弦,三是切,四余弦;2.对于诱导公式,可用“奇变偶不变,符号看象限”概括;3.记住同角三角函数的基本关系,熟练掌握三角函数的定义、图像、性质;①倒数关系:②商数关系:③平方关系:4.熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式,正余弦定理,处理三角形内的三角函数问题勿忘三内角和等于1800,一般用正余弦定理实施边角互化.①②③④⑤⑥⑦⑧ ⑨.积化和差公式⑩.和差化积公式11.万能公式, , 5.正弦型函数的对称轴为;对称中心为;类似可得余弦函数型的对称轴和对称中心;注:图像变换易错点: )6.(1)正弦平方差公式:sin2A-sin2B=sin(A+B)sin(A-B);(2)三角形的内切圆半径r=;(3)三角形的外接圆直径2R=五、平面向量1.两个向量平行的充要条件,设a=(x1,y1),b=(x2,y2),为实数.(1)向量式:a∥b(b≠0)a=b;(2)坐标式:a∥b(b≠0)x1y2-x2y1=0;2.两个向量垂直的充要条件, 设a=(x1,y1),b=(x2,y2), (1)向量式:a⊥b(b≠0)ab=0; (2)坐标式:a⊥bx1x2+y1y2=0;3.设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab==x1x2+y1y2;其几何意义是ab等于a的长度与b在a的方向上的投影的乘积;4.设A(x1,x2)、B(x2,y2),则S⊿AOB=;5.平面向量数量积的坐标表示:(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2;;(2)若a=(x,y),则a2=aa=x2+y2,;六、不等式1.掌握不等式性质,注意使用条件;2.掌握几类不等式(一元一次、二次、绝对值不等式、简单的指数、对数不等式)的解法,尤其注意用分类讨论的思想解含参数的不等式;勿忘数轴标根法,零点分区间法;3.掌握用均值不等式求最值的方法,在使用a+b≥(a>0,b>0)时要符合“一正二定三相等”;注意均值不等式的一些变形,如;七、直线和圆的方程直线方程的五种形式:点斜式: 斜截式:;两点式:截距式:,一般式:圆的方程:标准式:一般式:参数式:1.设三角形的三个顶点是A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则⊿ABC的重心G为();2.直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2: A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是A1A2+B1B2=0;3.两条平行线Ax+By+C1=0与 Ax+By+C2=0的距离是;4.Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件 :A=C≠0且B=0且D2+E2-4AF>0;5.过圆x2+y2=r2上的点M(x0,y0)的切线方程为:x0x+y0y=r2;6.以A(x1,y2)、B(x2,y2)为直径的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0;7.求解线性规划问题的步骤是:(1)根据实际问题的约束条件列出不等式;(2)作出可行域,写出目标函数;(3)确定目标函数的最优位置,从而获得最优解;八、圆锥曲线方程1.椭圆焦半径公式:设P(x0,y0)为椭圆(a>b>0)上任一点,焦点为F1(-c,0),F2(c,0),则(e为离心率);2.双曲线焦半径公式:设P(x0,y0)为双曲线(a>0,b>0)上任一点,焦点为F1(-c,0),F2(c,0),则:(1)当P点在右支上时,;(2)当P点在左支上时,;(e为离心率);另:双曲线(a>0,b>0)的渐进线方程为;3.抛物线焦半径公式:设P(x0,y0)为抛物线y2=2px(p>0)上任意一点,F为焦点,则;y2=2px(p<0)上任意一点,F为焦点,则;4.涉及圆锥曲线的问题勿忘用定义解题;5.共渐近线的双曲线标准方程为为参数,≠0);6.计算焦点弦长可利用上面的焦半径公式,一般地,若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB, A、B两点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2),则弦长 .注:这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想;7.椭圆、双曲线。
