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中考数学 知识点聚焦 第十七章 图形的全等与相似考情分析高频考点考查频率所占分值1.命题★6～9分2.全等三角形的判定和性质★★★3.角平分线的性质定理及逆定理★4.线段垂直平分线的性质定理及逆定理★★5.等腰三角形中“三线合一”及“等边对等角”★★6.等边三角形的性质★7.平行线分线段成比例★8.相似三角形的判定和性质★★★第39讲 全等三角形知能解读（一）全等形能够完全重合的两个图形叫作全等形知能解读（二）全等三角形1全等三角形的概念及表示方法（1）概念：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫作对应顶点，重合的边叫作对应边，重合的角叫作对应角2）全等三角形的符号表示、读法：与全等，记作，“”读作“全等于”注意（1）记两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上2）找全等三角形对应边、对应角的几种常用方法：①全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边②全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角③有公共边的，公共边是对应边④有公共角的，公共角是对应角⑤有对顶角的，对顶角是对应角⑥两个全等三角形中一对最长边（或最大角）是对应边（或对应角），一对最短边（或最小角）是对应边（或对应角）。

⑦由全等三角形的表示方法确定对应边和对应角，如：若，则AB和DE，AC和DF，BC和EF分别是对应边；和，和，和分别是对应角2全等三角形的性质（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等2）全等三角形对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等3）全等三角形的周长相等，面积相等3三角形全等的判定方法（1）三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS"（基本事实）；（2）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS’（基本事实）；（3）两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA'’（基本事实）；（4）两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS"；（5）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”注意“SSA”“AAA'’不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与非直角三角形中，如果有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角4三角形全等的证题思路（1）（2）（3）5全等变换（拓展）一个图形与另一个图形的形状一样，大小相等，只是位置不同，我们称这个图形是另一个图形的全等变换。

三种基本全等变换：（1）旋转；（2）翻转；（3）平移知能解读（三）角平分线的性质定理及逆定理（1）性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等注意（1）定理作用：①证明线段相等；②为证明三角形全等准备条件2）如图所示，点P在的平分线上，于点D，于点E，则3）性质定理中的“距离”是指点到射线的距离，是垂线段的长度2）性质定理的逆定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上注意如图1-39-1所示，，，根据“HL”得，，是的平分线3）三角形的三个内角的平分线交于一点，此点到三角形三边的距离相方法技巧归纳方法技巧（一）利用全等三角形的性质求线段长或角的度数的方法解答这类问题时，一般先根据全等三角形的对应边（或角）相等，找出相等的边（或角），然后利用边（或角）的和差关系以及三角形内角和定理等求出所求的边（或角）方法技巧（二）三角形全等的判定、性质与角平分线判定定理的综合应用在解决三角形中边或角的问题时，可结合已知条件和隐含条件，看是否能通过三角形的全等来解决，同时选择合适的判定方法点拨如果一个点到角的两边的距离相等，且点在角的内部，那么这个点在这个角的平分线上方法技巧（三）利用三角形全等解决实际问题首先将实际问题转化为全等三角形问题，然后利用全等三角形的判定和性质解决问题。

点拨利用全等三角形的性质解决实际问题，关键是正确建立全等三角形模型易混易错辨析易混易错知识混淆“HL”与“SSA”一般的两个三角形满足两边及其中一边的对角对应相等即“SSA”条件时，它们并不全等，但当其中的“A”是直角时，这两个直角三角形就是全等的，这就是判定两个直角三角形全等特有的“HL'’定理易混易错（一）错用两边及一角对应相等说明三角形全等易混易错（二）利用角平分线的性质定理时，混淆“点与点”与“点与线”之间的距离致错中考试题研究中考命题规律运用三角形全等的性质和判定进行有关的计算和推理，运用三角形全等的知识解决一些实际问题都是中考重点考查的内容另外本讲知识还常与四边形、圆等构成综合题，考查综合运用知识解决问题的能力近几年添加的有关全等的条件或结论的开放性问题也成为中考的热点，题型有选择题、填空题、解答题中考试题（一）添加全等的条件中考试题（二）利用三角形全等的判定和性质进行证明中考试题（三）综合运用全等三角形的判定和性质中考试题（四）全等三角形性质和判定的创新点拨本题考查了全等三角形的判定与性质，读懂问题背景，作辅助线构造出全等三角形并两次证明三角形全等是解题的关键，也是本题的难点。

第40讲 等腰三角形知识能力解读知能解读（一）线段垂直平分线的概念经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线知能解读（二）线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等注意（1）线段垂直平分线性质定理的作用是：证明两条线段相等如图所示，若CD垂直平分线段AB，则2）在CD上任意取一点P都有知能解读（三）线段垂直平分线性质定理的逆定理（判定定理）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上从线段垂直平分线的性质定理及其逆定理可以看出：段AB的垂直平分线l上的点与A，B两点的距离相等；反过来，与A，B两点距离相等的点都段AB的垂直平分线l上，所以直线l可以看成是与A，B两点距离相等的所有点的集合注意（1）线段垂直平分线性质定理的逆定理的作用是：判定一点段的垂直平分线上如图1-40-2所示，若，则点P段AB的垂直平分线上2）等腰三角形的顶点在底边的垂直平分线上3）如果两点到一条线段的两个端点的距离相等，那么这两点所在的直线是该线段的垂直平分线如图所示，若，，则点C，D都段AB的垂直平分线上，CD与AB的交点O是线段AB的中点知能解读（四）三角形三边垂直平分线的性质根据线段垂直平分线的性质定理可以得到：三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点到三个顶点的距离相等。

注意（1）此定理的作用是：证明线段相等.如图所示，若边AB，BC，CA的垂直平分线交于点P，则；（2）三角形两边的垂直平分线段的交点必在第三边的垂直平分线上；（3）证明三线共点，可先找到两直线交点，再证明第三条直线也过这一点；（4）锐角三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，直角三角形三边垂直平分线的交点恰是斜边中点，钝角三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部；（5）此定理给出了作一个点使其到三个不共线的点距离相等的方法，只需顺次连接这三点组成一个三角形，作这个三角形两边的垂直平分线，交点即为所求.知能解读（五）等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等（简写成：等边对等角”）；（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）；（3）等腰三角形是轴对称图形，其顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高所在的直线是它的对称轴.知能解读（六）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）注意（1）等腰三角形的判定定理和性质定理互为逆定理.（2）“等角对等边”应用极为广泛，往往通过计算三角形各角的度数得角相等，则可得边相等.（3）底角为顶角2倍（顶角为，底角为）的等腰三角形非常特殊，其一条底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形.知能解读（七）等边三角形的性质、判定1　等边三角形的性质等边三角形的三边都相等，三个内角都相等，并且每一个角都等于。

注意（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；（2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质.等边三角形的判定（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是的等腰三角形是等边三角形注意腰三角形的条件下.三个判定定理的前提不同，判定（1）和（2）是在普通三角形的条件下，判定（3）是在等腰三角形的条件下方法技巧归纳方法技巧（一）利用线段垂直平分线的性质或判定进行计算和推理线段垂直平分线的性质定理可直接用来证明两条线段相等，而其逆定理可直接用来证明某一个点段的垂直平分线上，均不必证明三角形全等.点拨在解决有关线段或角的计算问题时，给合一元一次方程或二元一次方程组求解是一种比较常用的方法.方法技巧（二）利用等腰三角形的性质求角的度数的方法先利用等腰三角形的性质得到等角，再借助三角形内角和定理及内角与外角之间的关系，可以求角的度数.本题综合考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理.方法技巧（三）利用“三线合一”证明线段相等或角相等的方法 “三线合一”既可以提供等角、等线段，又可以提供直角，这些条件可用于证明线段相等或角相等.点拨使用“三线合一”的性质时应注意“三线”是指“底边”上的三线.另外，“三线合一”的性质既是证明两线段相等的方法，也是证明两线垂直或某线是角平分线的方法.方法技巧（四）利用“等角对等边”证明线段相等的方法如果所要证明的相等的两条线段是同一个三角形的两边，可以先证明这两边所对的角相等，从而用“等角对等边”来证明线段相等.点拨“等角对等边”是继全等三角形之后又一种证明线段相等的常用方法，应注意它的使用前提条件是线段在同一个三角形中.方法技巧（五）等腰三角形判定和性质的综合运用在等腰三角形中寻长角或边的等量关系时，首先考虑等腰三角形判定和性质的运用.点拨本题考查等腰三角形的判定，用到的知识有等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及角平分线的定义等.解题时找出图中的三角形，逐个证明.方法技巧（六）利用等边三角形的性质求角的度数或线段长度的方法点拨本题综合运用等边三角形的性质以及三角形内角和定理求角的度数.方法技巧（七）利用等边三角形的性质证明线段相等的方法等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，为证明三角形全等提供了条件，由此可证明线段相等.点拨等腰三角形的底角相等、“三线合一”的性质以及等边三角形三边相等的性质常与三角形全等综合使用证明线段相等.易混易错辨析易混易错知识1.涉及等腰三角形腰上“高”的问题对由于考虑不全面漏解.由于等腰三角形分为等腰锐角三角形、等腰直角三角形和等腰钝角三角形，所以腰上“高”的位置不同.2.线段的垂直平分线与过线段中点的直线相混淆.区别：线段的垂直平分线过线段中点且与该线段垂直，而过线段中点的直线与线段不一定垂直.考虑不全致误中考试题研究中考命题规律等腰三角形的考查包括边的计算、角的计算以及与全等、相似结合进行计算，近年来也出现了一些操作型试问题，题型主要以填空题、选择题为主，分值为3分。