高数证明题（可编辑）.docx

高数证明题第1篇：考研高数证明题的解题方法 分析法，综合法，反证法，都是欧氏分析方法欧氏分析方法起自于欧氏几何，早在公元前400年左右即为人类总结运用 构造法是微积分学，代数学自身的方法 分析法——尽可能由已知条件挖掘信息，并以此为起点作规律推理 一元微积分讲究条件分析要用分析法，就需要对各个概念理解精确，强弱分明；推理有序，因果清楚为了弥补非数学专业同学的“短板”，我建议大家把考研题目中展露頻率较高的典型条件，预先推个滚瓜烂熟比如 已知条件“f（x）连续，且x趋于0时，lim(f（x）/x) = 1”的推理 （见讲座（9）基本推理先记熟 已知条件“f（x）在点x0可导，且f ′(x0) > 0 ” 的推理 （这是阐述“一点可导且导数大于0与一段可导且导数大0的差别；证明洛尔定理（费尔玛引理），达布定理，……，等的关键 见讲座（11）洛尔定理做嬉戏；讲座（17）论证不能凭感觉 已知条件“非零矩阵AB = 0”的推理 （见讲座（42）矩阵乘法很满意 已知“含参的三阶方阵A能与对角阵相像，且A有二重特征值。

计算参数 （见讲座（48）中心定理路简明 “已知连续型随机变量X的分布函数或随机向量（X，Y）的密度函数，求函数型随机变量U = φ (x) 或U =φ(x ，y) ”的推理计算 （见讲座（78）分布函数是核心 一个娴熟的推导就是一条高速路啊你突出娴熟了吗？！ 综合法 —— 由题目要证明的结论动身，反向规律推理，观看我们毕竟需要做什么 最典型的范例是考研数学题目“证明有点ξ，满意某个含有函数及其导数的关系式” 例设函数f (x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间（0，1）内可导，且f (0) = 0，则区间（0，1）内至少有一点ξ ，使得 f (ξ) f ′(1―ξ) = f ′(ξ) f (1―ξ) 分析（综合法）即要证明 f (ξ) f ′(1―ξ) ― f[b′(ξ) f (1―ξ) = 0 点ξ是运用某个定理而得到的客观存在用x替换ξ，就得到刚运用了定理，还没有把点ξ代入前的表达式即 f (x) f ′(1―x) ― f′(x) f (1―x) = 0 （在点 x =ξ 成立） 联想到积函数求导公式 ，即（f (x) f (1―x)）′= 0 （在点 x =ξ 成立） 这就表明应当作帮助函数F (x) = f (x)，证明其导数在（0，1）内至少有一零点。

易知F (0) = F (1) = 0，且F (x)在 [a, b] 连续，在（a, b）内可导，可以应用洛尔定理证得本题结论当然，题型多种多样，但这总是一条基本思路假如关系式中有高阶导数，那要考虑试用泰勒公式反证法 —— …… 这是大家都较为熟识的方法但是你或许没有留意到，用反证法精炼可证的一个小结论，在微积分中有着很广的应用粗糙地说，这就是 “A极限存在（或连续，或可导）+ B极限不存在 （或不连续，或连续不行导）= ？” 任凭选一说法用反证法，比如 假如，“连续A + 不连续B = 连续C” 则“ 连续C-连续A = 不连续B” 这与定理冲突所以有结论： 连续函数与不连续函数的和必定不连续不过要留意，证明是在“同一个点”进行的 作为精炼规律结论，自然类似有： （同一过程中）A极限存在 + B极限不存在 = C极限必定不存在 （同一个点处）A可导 + B连续不行导 = C必定连续不行导 还可以在级数部份有： 收敛 + 发散 = 发散， 绝敛 + 条敛 = 条敛 对于乘法，由于分母为0时逆运算除法不能进行，务必首先限定以确保用反证法获得结论。

比如 “若f（x）在点x0可导，且f（x0）≠ 0，g（x）在点x0 连续不行导，则 积函数y = f（x）g（x）在点x0必定连续不行导 （见讲座（8）求导娴熟过大关 对于积函数y = f（x）g（x）求极限，我们由此得到了一个小技术即 “非零极限因式可以先求极限见讲座（16）计算极限小总结 （画外音：或是分子的因式，或是分母的因式，只要极限非0，就先给出极限，再“骑驴看唱本”……构造法 ——（难以“言传”，请多意会 老实在实地写，实实在在地描述，水到渠成有结论这是微积分自家的方法 ——“构造法”但是在构造法思维过程中，往往也综合运用着分析法，综合法，反证法 “证明有界性”，或许最能显示“构造”手段，即把变量的“界”给构造出来例 已知函数 f（x）在 x≥a 时连续，且当x → +∞ 时f（x）有极限A ，试证明此函数有界 分析本题即证，∣f（x）∣≤ C 争论有界性，我们只学了一个定理，在闭区间上连续的函数有界本题中如何“管住”那个无穷的尾巴呢？那就看你能否体验条件“x → +∞ 时f（x）有极限A” ，即 “我们必定可以取充塞大的一点x0，使得x > x0时，总有∣f（x）∣≤∣A∣+1 ” 把半直线x≥a分成 [a，x0] 与 x > x0两部分，就能“构造”得∣f（x）∣≤ C （（祥见讲座（9）基本推理先记熟。

在讲座（11）“洛尔定理做嬉戏”中讲的“垒宝塔”嬉戏，在讲座（13）“图形特征看匮乏”中讲的“逐阶说匮乏”，都是构造法的争论方式 每完成一个题目，不妨想想用的什么方法你或许提高得更快 第2篇：高数证明1+1=2 1+1为什么等于2？这个问题看似精炼却又奇异无比 在现代的精密科学中，特殊在数学和数理规律中，广泛地运用着公理法什么叫公理法呢？从某一科学的很多原理中，分出一部分最基本的概念和命题，对这些基本概念不下定义，而这一学科的全部其它概念都务必直接或间接由它们下定义；对这些基本命题（也叫公理）也不赐予论证，而这一学科中的全部其它命题却务必直接或间接由它们中推出这样构成的理论体系就叫公理体系，构成这种公理体系的方法就叫公理法 1+1=2就是数学当中的公理，在数学中是不需要证明的又由于1+1=2是一切数学定理的基础，所以它也是无法用数学的方法证明的 至于“1+1为什么等于2？”作为一个问题，没要求大家务必用数学的方法证明，其实只要说明为什么1+1=2就可以了，可以说这是定义，也可以说这是公理不过用反证法还是可以证明的：假设1+1不等于2，则数学就是一锅粥，凡是用到数学的地方都是一锅粥，人类社会就乱了套了，所以1+1务必等于2。

1+1=2看似精炼，却对于人类熟悉世界有非同寻常的意义 人类熟悉世界的过程就像一个小孩滚雪球的过程：第一步，小孩先要用双手捧一捧雪，这一捧雪就相当于人类对世界的感性熟悉其次步，小孩把手里的雪捏紧，成为一个小雪球，这个小雪球就相当于人类对感性熟悉进行加工，形成了概念于是就有了1第三步，小孩把雪球放在地上，发觉雪球可以粘地上的雪，这就相当于人类的理性熟悉雪可以粘雪，相当于1+1=2第四步，小孩把粘了雪的雪球在雪地上滚一下，发觉雪球粘雪后越来越大，这就相当于人类熟悉世界的高级阶段，可以进入良性循环了相当于2+1=31，2，3可以排成一个最精炼的数列，但是可以演绎至无穷 有了1只是有了概念，有了1+1=2才有了数学，有了2+1=3才开头了数学的无穷变化 物理学与1+1=2的关系 人类熟悉世界的过程是一个由感性到理性，有已知到未知的过程 在数学当中已知 1、 2、3，则可以至于无穷，什么是物理学当中的 1、 2、3呢？我认为：质量、长度、时间等基本物理概念相当于1，它们是组成物理学雄伟大厦的砖和瓦；牛顿运动定律相当于2，它使我们有了真正的物理学和科学的物理分析方法；力学的相对性原理相当于3，使牛顿运动定律可以广泛应用。

在经典物理学中一切都是笃定无疑的，有了已知条件，我们就可以推出未知 等到相对论的展露，一切都变了现在相对论已经深化人心，即便是那些反对相对论的人，也基本上是认可相对论的结论的，什么时间可变、长度可变、质量可变、时空弯曲„„经典物理学认为光速对于不同的观测者是不同的（固然牛顿是个唯心主义者）相对论则认为光速对于不同的观测者是不变的（固然我们是唯物主义者）我们丢掉了经典物理学全部不变的东西，换来的是相对论唯一不变的东西----光速我觉得就象是用很多西瓜换来了一个芝麻一样，而且这个芝麻是很抽象的，它在真空中，速度最快，让你根本捉不到、摸不到 我认为牛顿三条运动定律是真理，是圆满的，是不容置疑的质疑牛顿运动定律的人开口闭口说不存在肯定静止的物体，也不存在肯定不受外力的物体，却忘了上学时用的物理教材，开头都有绪论，绪论中都说：一切物质都在不朽不息地运动着，自然界一切现象就是物质运动的表现运动是物质的存在形式、物质的固有属性„„还提到：抽象方法是依据问题的内容和性质，抓住主要因素，撇开次要的、局部的和偶然的因素，建立一个与实际状况差距不大的抱负模型来讨论例如，“质点”和“刚体”都是物体的抱负模型把物体看作质点时，质量和点是主要因素，物体的外形和大小时可以忽视不计的次要因素。

把物体看作刚体——外形和大小保持不变的物体时，物体的外形、大小和质量分布时主要因素，物体的变形是可以忽视不计的次要因素在物理学讨论中，这种抱负模型是非常必要的讨论机械 运动的规律时，就是从质点运动的规律入手，再讨论刚体运动的规律而逐步深化的有人在有意混淆视听，有人在人云亦云，但听的人自己要想一想，牛顿用抽象的方法来分析问题，是符合马克思主义分析问题抓主要冲突的指导思想的，否认了牛顿运动定律，我们拿什么来分析相对静止状态、匀速直线运动、自由落体运动„„？ 看来相对论不但搞乱了我们的基本概念，还搞乱了我们的分析方法，这才是最危急的，长此以往，物理学将不再是物理学，而是一锅粥，一锅发霉的粥！ 我认为物理学进展的正确思路是先要从质量、长度、时间、能量、速度等基本物理概念的理解上着手，在物理学界开展一场正名运动，然后争论牛顿运动定律是否错了，错的话错在哪里，最终相对论的对错也就不言自明白，也简单接受了 第3篇：经数高数下模拟题2 高等数学下经数模拟题二 一、选择题30分 ìx2y2ï 1、曲线í4+9=1绕y轴旋转而成的旋转曲面的方程为（ ） ïîz=0 2、函数f(x,y)=x2+y2在点(0,0)处（ ）。

(A) 不连续 (B) 可微 (C) 连续，偏导数不存在 (D) 不连续，偏导数存在 3、设I=x(eòòòsiny+ztanx+2)dv，则I=( ) 2x2+y2+z2£a 24、设L是由y=x,y=0,x=1所围成区域的正向边界，则òL(x+2y)dx+(5x+2y)dy=（ ） 5、下列级数中条件收敛的级数是（ ） A.ån=1¥ 1 B. n1(-1) 3 C.ån2n=1n¥1 D.(-1)å2nn=1n¥n-1（-1） ånn=1¥ 6、x2+y2+z2=9,x+z=1的交线在XOY坐。