完整版量子力学总结.doc

量子力学总结第一部分 量子力学基础（概念）量子概念所谓“量子”英文的解释为：a fixed amount （ 份份、不连续），即量子力学是用不连续物理量来描述 微观粒子在微观尺度下运动的力学，量子力学的特征 简单的说就是不连续性描述对象：微观粒子微观特征量以原子中电子的特征量为例估算如下:（电磁作用常数），①“精细结构常数”7.297c101137#②原子的电子能级E ~ mc2e224me22e〜27eVa0即：数10eV数量级③原子尺寸：玻尔半径:2a° me7〜0.53 ?，一般原子的半径1?2e c 6⑥速率：V 〜c 〜 2.2 10 m/she 137⑤时间：原子中外层电子沿玻尔轨道的“运行”周期t0 〜^° 〜1.5 10 16 秒v角频率c〜上〜4.2 1016秒 ao即每秒绕轨道转1016圈50 次IS)（电影胶片21张IS，日光灯频率J〜a0mv〜⑥角动量：me2基本概念：1、 光电效应2、 康普顿效应3、 原子结构的波尔理论波尔2个假设：定态轨道定态跃迁4、 物质波及德布洛意假设（德布洛意关系）“任何物体的运动伴随看波，而且不可能将物质的运动和波的传播分开” ，认为物体若以大小为 P 的动量运动时，则 伴随有波长为 的波动。

hP， h为普朗克常数同时满足关系E hv因为任何物质的运动都伴随这种波动，所以称这种波动为物质波(或德布罗意波)E h称v匸 p 德布罗意波关系例题：设一个粒子的质量与人的质量相当，约为 50kg,并以12秒的百米速度作 直线运动，求粒子相应的德布罗意波长说明其物理意义答：动量p v波长 h/p h/( v) 6.63 10 34 /(50 12) 1.1 10 36m晶体的晶格常数约为10T°m,所以，题中的粒子对应的德布罗意波长 << 晶体的晶格常数，因此，无法观测到衍射现象5、波粒二象性(1)电子衍射实验1926年戴维逊(C • J • Davisson )和革末(L • H - Gevme)第一个观察到了电子在镍单晶表面 的衍射现象，证实了电子的波动性，求出电子的波长——— 0.167 nmP \2gEk电了柬Sd V(O汤姆逊(G・P • Thomson用高速电子穿过金属衍 进行实验，也获得了电子衍射的图样如错误!未找到 引用源是电子在Au多晶的衍射图样2)电子干涉实验的 恋个电予产电的TSfffl (c]i00004"电『产件•.问「那阳(bjiooo个电F产业的l-Sfftl 儿“〃个电广产牛的 诵嘀干涉实验说明:大量电子的一次性行为与单个电子的多次性行 为表现出同样的波动性。

干涉图像的出现体现了微观粒子的共同特性，它 并不是由微观粒子相互之间作用产生的，而是微 观粒子其个性的集体表现结论：干涉、衍射现象是波动本质的体现，波动是无条 件的，干涉、衍射现象的观测是有条件的干涉图像的出现体现了微观粒子的共同特性，它 并不是由微观粒子相互之间作用产生的，而是微 观粒子其个性的集体表现粒子的波粒二象性，从量子观点看，所谓粒子性 是它具有质量、能量、动量等粒子属性所谓波 动性是指其具有频率、波长，在一定条件下，可 观察出干涉和衍射，波和粒子性是物质同时具有 的两个属性（但是不能同时观测），如同硬币的 两面备注：宏观粒子（如子弹）仍然具有波动的属性（“任 何物体的运动伴随着波，而且不可能将物质的运动 和波的传播分开"，认为物体若以大小为P的动量 运动时，则伴随有波长为 的波动）,但是，观察不 到干涉现象6、波函数及波函数的统计诠释（1） 波函数：表示一个体系的粒子状态，即用粒子 坐标和时间为变量的波函数作为体系粒子状态全面 的数学描述2） 几率密度||2:解释为给定时间，在一定空间间 隔内发生一个粒子的几率（或在一定空间间隔内的几率密度）（3） 几率| |2d :空间d体积内的几率备注：波函数的统计诠释：|E| 2解释为“光子密度的几率量度”首先考察光的双缝干涉图样。

由波动图像，屏幕上某点的强度 I由下式给出I oC|E|2 （2-13）式中：E为该点的电场强度；°为真空介电常数；c为光速另 一方面，由光子图像，屏幕上一点的强度为I hvN式中：hv是一个光子的能量；N为打在屏幕上该点的光子通量（单 位时间通过单位面积的光子数），虽然单个光子到达屏幕什么地方无 法预测，但亮带光子到达的几率大，暗带光子到达的几率小，在屏幕 上一点的光子通量N,便是该点附近发现光子几率的一个量度因为I oC|E|2 hvN，所以 N |E|2上式说明，在某处发现一个光子的几率与光波的电场强度的平方 成正比这就是爱因斯坦早在1907年对光辐射的量子统计解释 |2解释为给定时间，在一定空间间隔内发生一个粒子的几率由于电子也产生类似的干涉条纹，几率大的地方，出现的电子 多，形成明条波；在几率小的地方，出现的电子少，形成暗条纹 与爱因斯坦把|E| 2解释为“光子密度的几率量度”相似，玻恩把| |解释为给定时间，在一定空间间隔内发生一个粒子的几率玻恩指 出“对应空间的一个状态，就有一个由伴随这状态的德布罗意波确 定的几率”玻恩由此获得了 1954年诺贝尔物理奖4）微观物体任意运动状态（任意态）的描述（非定态波函数）及 普遍物理诠释按照态迭加原理，非征态 可以表示成本征态的Cn迭加:|Cn|代表总的几率，可见|Cn|就是 态中本征态n的相对强度（成分），也就是 态部分地处于 n的相对几率。

Cnf =在态 中力学量F的取值n的几率，这就 是对波函数的普遍物理诠释备注:可以认为是部分地处于1,部分地处于2,因此F的取值可以是1,也可以是2……总之，只要Cn中存在项，相对应的本征值n就是F的一个取值由（4-22 ）式G的公式知Cn n d对（4-21 ）取共轭后:* *Cn n（4-23） （4-21 ）与（4-23）相乘，再积分* * * d d Cn n Cn（本征态的正交归一性md如果是归一化的,*C cn m nmm*CnCnnICnP1，则(4-24)(4-25)ICn|2 1如果没有归一化,|Cn|2 1*n d由（4-24）式和（4-25）式得出ICnl2代表总的几率，可见|Cn |2 就是 态中本征态n的相对强度（成分），也就是 态部分地处于n 的相对几率 Cn |2 =在态 中力学量F的取值 n的几率，这就是对波函数 的 普遍物理诠释7、波函数的性质波函数及其一次微商在全部分布空间中都必须有限，单值、连续的，平方可积“有限”的要求是从波函数的几率诠释产生出来 的，因为，*代表几率，而几率总是有限的单值”是从波函数作为状态的全面 数学描述提出的要求，如果波函数“连续”的要求是多值函 数，状态性质就无法确定了。

连续”可以从定态一维薛定谔方式：2 22mdx2 V（x）E中直接得出，则上式变为：ddr E］，积分一次 （V E） dxdx dx 2不管被积函数（V-E） 是否连续，（有时V（x）不 连续，在个别点有跃变），只要它是有限的，则其积分d总是连续的，因此忑是连续的平方可积”：为了计算方便，常引入一些不是平 方可积的波函数（相当于粒子运动范围实际上没有限制，粒子可以达无限远处），这时只要作合理数| |2 d 有限值学处理，仍可用11 有限，归一化几率8波函数的叠加原理从经典物理中波的概念知，波具有干涉、衍射现 象，满足叠加原理，微观粒子具有波粒二象性，即具 有波动的特性，因此，微观粒子的波函数也同样具有 叠加性，称之为态叠加原理叠迭加性表现在：任何一个态（波函数 ）总可以看成是由其他某些态（1, 2……）线性叠加而成：=C i +C2 2+ C, C2……为复数如果波函数i, 2，…是可以实现的态时，则它们的线性叠加式Cn n总是一个可以实现的态n当粒子处于叠加态 时，可以认为它是部分地处于1态，部分地处于2态， 部分地处于 n态.9、几率密度与几率流密度几率密度W：w(r,t)(r,t)2几率流密度ji * *2m( )w■ j0t几率连续性方程，其积分形式为wd tVso jdSS的物理意义：（几率流密度）(2-23)式中:(2-17)(2-22)(2-23)左边代表在封闭区域VS中找到粒子的总几率（或粒子数)在单位时间内的增量，右边(注意符号)内通过则应代表单位时间 VS 的封闭表面S而流入Vs的内的几率(粒子数)，所以j 具有几率流(粒子流)密度的意义，是一个矢量。

这个表达式的物理意义是十分清楚的， 即单位时间 内空间某一区域 Vs中增加的几率等于该区域边界 流入的几率9、定态(几率)、束缚态(波函数为零)、本征态 本征方程、本征函数、本征值 算符的对易性常用力学量算符(能量巴ih—、10、11、12、出—2m2 V(r)、动量目 ih、动能卩哈密顿算符 t—2、势能 V(r) V(r)、2m坐标$ r、角动量、角动量Z轴分量)，，厄米)13、 力学量算符的性质(线性、14、 线性算符的性质 15、厄米算符的性质(1) 、厄米量算符的本征值为实数(2) 、厄米量算符不同本征值对应的本征函数正交，归一3) 、厄米算符在一定条件下，厄米算符的本征函数组成完备系13、14、15 结论:(1) 、力学量算符的本征值为实数(2) 、力学量算符不同本征值对应的本征函数正交，归一3) 、在一定条件下，力学量算符的本征函数组成完备系16、隧道效益、塞曼效益、史塔克效益17、 微扰的含义18、 全同粒子、费米子、波色子、洪特法则、泡 利不相容原理19、 海森堡测不准关系(两个物理量同时测量测不准)20、 两个物理量同时测准的条件第二部 基本公式1、 薛定谔方程量子波动方程，称薛定谔方程三维情况：2 2 2x2 y2 z2称拉普拉斯算符入 y 厶定义：H?2m V(r) 称为哈密顿算符h 2三维薛定谔方程：巾―f [亦 V(r,t)]ih——H?t2、定态薛定谔方程在势能项V中不含时间t时，哈密顿算符H?也不显含时间。

将(r,t)中与时间有关的因子分离出来，令(r,t) (r)f(t)分离变量后得：f⑴ ce iEt/h c为常数因此，薛定谔方程的解可以表示为(r,t)iEt/h(r)e(2-14)波函数的空间部分（r）满足方程：H? (r)[；2m2V(r)] E(2-15)粒子处于该状态时能量为 E, E与r、t无关是个常量， 取确定值，所以由式（2-14）表示的状态叫（能量）定态，这种形式的波函数叫定态波函数 方程（2-15）iEt/h又。