量子力学课件04.pdf

1第四讲（2 学时）一、授课题目：定态薛定谔方程二、教学目的及要求：能够应用定态薛定谔方程求解能量本征值问题三、重点和难点：定解条件的使用和数学问题四、教学过程1、定态薛定谔方程的导出及其求解步骤（1）定态薛定谔方程导出在大多数情形下，势函数与时间无关，即)(),(rUtrU��=，此时 Schrodinger 方程可以通过分离变量法来求解薛定谔方程Ψ+Ψ∇−=∂Ψ∂)(222 rUti�ℏℏµ令)()(),(tfrtr��ψ=Ψ，代入，得])(2[122 ψψµψrUdtdf fi�ℏℏ+∇−=因此我们可以引入一个常数 E，得到它们分别满足的方程Efdtdfi=ℏψψψµErU=+∇−)(222�ℏ解出第一个方程，)exp()(tiECtfℏ−=所以得波函数为)exp()(),(tiErtrℏ��−=Ψψ此波函数与时间的关系是正弦性的，角频率为ℏE=ω根据 de Broglie 关系，这里的 E 就是粒子的能量因此在势能与时间无关的情形下，体系的能量具有确定的值， 我们把这种状态叫定态定态， 相应的波函数)exp()(),(tiErtrℏ��−=Ψψ叫定态波函数而方程ψψψµErU=+∇−)(222�ℏ叫定态薛定谔方程。

)0 ,()(rr��Ψ=ψ也可以叫定态波函数对定态，有)(),(rtrωψψω==ΨΨ=∗∗)()(2),(rJitrJ�ℏ�=∇−∇=∗∗ψψψψµ它们都与时间无关2（2）能量算符（Hamilton 算符）比较方程Efdtdfi=ℏψψψµErU=+∇−)(222�ℏ以)(rψ乘第一个方程，以)exp(tiE ℏ−乘第二个方程，得Ψ=ΨEdtdiℏΨ=Ψ+Ψ∇−ErU)(222�ℏ µ这两个方程的形式相同，即以算符作用在波函数上，等于以常量（能量E）乘以波函数在这一点上，算符ti∂∂ℏ和)(2ˆ22 rUH+∇−=µℏ是等价的我们把它们称之为能量算符能量算符而Hˆ是通过经典力学中的 Hamilton 量变化来的，因此也叫 Hamilton 量或 Hamilton 算符定态 Schrodinger方程可以写成ψψEH=ˆ这类方程在数学物理方法上叫本征值方程E 叫算符Hˆ的本征值，ψ叫算符Hˆ的本征函数数学物理方法中是微分方程+边界条件构成本征值问题；在量子力学中，波函数要满足三个标准条件，对应数学物理方法中的边界条件和初始条件，称为波函数的自然边界条件这样我们知道当体系处于能量算符本征函数所描写的状态（简称能量本征态）时，粒子能量有确定的数值，这个数值就是与这个本征函数相应的能量算符的本征值。

3）求能量本征函数的基本步骤：1、列出定态 Schrodinger 方程：ψψψµErU=+∇−)(222�ℏ定解条件是波函数的三个标准条件2、根据波函数三个标准条件求解能量 E 的本征值问题，得能量本征值：E1，E2，-------能量本征函数：⋯⋯,,21ψψ3、写出定态波函数：)exp()(),(tiErtrn nnℏ−=Ψψ34、波函数为定态波函数的线性叠加)exp()(),(tiErctrnnnnℏ−=Ψ∑ψ5、由归一化条件确定叠加系数1)exp()()exp(2=−∑∫∑∞∞−τψψdtiErtiEcmmm nnnℏℏ2、定态薛定方程举例之一——一维无限深势阱中的粒子考虑在一维空间运动的粒子，它的势能为0)(=xUax由于在ax>||的区域，∞→U，根据波函数的标准条件，仅当波函数为零时，方程才能成立为了方便起见，令222 ℏEµα=则阱内方程变为02 22 =+ψαψ dxdaxa||常系数/A可有归一化条件1||2=∫∞dxψ求出为aA1/=一维无限深势阱中的粒子的定态波函数为)exp()(),(tiExtxn nnℏ−=Ψψ讨论： （1）将波函数写成)2(exp[1)]2(exp[1),(tExani atExani atxnnn+−+−=Ψℏ ℏℏ ℏππ所以波函数是两个沿相反方向传播的平面波叠加而成的驻波。

2）波函数在阱外处处为零，粒子被束缚在势阱内这种状态叫束缚态一般我们把在无限远处波函数为零的状态叫束缚态3）对束缚态，粒子的能量是分立的，形成能级体系能量最低的态叫基态，基态的能量为22218aEµπℏ=基态的波函数为)exp(2cos1),(11tEi ax atxℏ−=Ψπ其它能级分别叫第一激发态，第二激发态，等等5（4）在物理学中，我们进行空间矢量的反向操作rr��−⇒),(),(trtr��−Ψ⇒Ψ此时，如果有),(),(trtr��Ψ=−Ψ，称波函数具有正宇称或偶宇称偶宇称),(),(trtr��Ψ−=−Ψ，称波函数具有负宇称或奇宇称奇宇称如果),(),(trtr��Ψ±≠−Ψ，就说波函数没有确定的宇称由此可以看出，一维无限深势阱中的粒子的波函数具有确定的宇称，当=n偶数时，为奇宇称；当=n奇数时，为偶宇称五、课后作业2.3，2.4六、课后记。