最短路径问题.docx

最短路径问题姓名类型一、一条直线外两个定点到直线上一动点距离之和最小的问题： 人A1. 一条直线异侧两个定点到直线上一动点距离之和最小，确定动点的位置作法：连接两个定点，交直线于一点，交点即为所求例1、如图，在直线l上求一点P,使PA+PB值最小. l作法：连接AB,交直线l于点P,点P即为所求 B说明：•・•连接A、B两点的线中，线段最短・••连接AB，交直线l于点P,此时PA+PB最小=AB2. 一条直线同侧两个定点到直线上一动点距离之和最小，确定动点的位置方法：利用轴对称变换将直线同侧两个定点转化为直线异侧两个定点，然后根据''两点之间线段最 短”，用例1的方法确定动点的位置例2、如图，在直线l上求一点P,使PA+PB值最小.作法：①作点A关于直线l的对称点A'②连接A' B,交直线l于点P,点P即为所求说明：连接AP、AA' • •点A和点A'关于直线l对称，・•・直线l是AA'的垂直平分线，・・・PA=PA', • •两点之间，线段最短A■•B l・•・此时PA+PB最小=PA' +PB=AB类型二、一条直线外两个定点到直线上一动点距离之差最大的问题：1•一条直线同侧两个定点到直线上一动点距离之差最大，确定动点的位置。

例3、在直线I上求一点P,使|PA- PB\的值最大.作法：连接AB,并延长交直线l于点P,点P即为所求证明：在直线l上另取一点P',连接P'A和P'B, • •三角形的两边之差大于第三边，・•・『'A - P'B|VAB ；而连接AB,并延长交直线l于点P,此时PA- PB = AB , A此时 | PA - PB| 最大=AB2•—条直线异侧两个定点到直线上一动点距离之差最大，确定动点的位置 *B方法：利用轴对称变换将直线异侧两个定点转化为直线同侧两个定点，然后根据“三角形的两边之差大于第三边”，用例3的方法确定动点的位置例4、如图，在直线l上求一点P,使|PA-PB的值最大.作法：①作点B关于直线l的对称点B',②连接AB'，并延长交直线l于点P,点P即为所求 说明：连接AP、AA', • •点A和点A'关于直线l对称，・•・直线l是AA'的垂直平分线.•.PA=PA', 若在直线l上另取一点P',连接P'A和P'B, • •三角形的两边之差大于第三边，・•・ |P'A - P'B|VAB ・•・此时 |PA- PB最大=PA- PB = AB总结：“同侧差最大，异侧和最小；位置不满足，对称后再看；三点共线找交点”类型三、两条直线之间的区域内有一定点，两直线上各有一动点，要使连接这三点所得 |的三角形周长最小，确定两动点的位置。

r.例5、如图，在直线l、l上分别求点M、N,使APMIN的周长最小.1 2方法分析：利用轴对称，将定点P分别转化到两直线所夹区域的外部去（即直线l、l的另一侧），再根据“两点之间，线段最短”1 2连接点P的两个对称点，与直线l、的交点即为所求1 2作法：①分别作点P关于直线l、、的对称点P、p •1 2 1 2 •②连接PP,交l于M,交l于N,点M、N即为所求1 2 1 2说明：连接MP、NP‘・・•点p 和点pi关于直线l1对称‘・••直线l1是ppi的垂直平分线’・・皿=叫， •・•点P 和点P2关于直线l2对称’•直线l2是PP2的垂直平分线’・・・服吧， • •两点之间，线段最短，・此时PM+MN+PN最小nMPFMN+NPzUPf?类型四、两条直线的之间有两个定点，两直线上各有一动点，要使连接这四点所得的四边形周长最小，确定两动点的位置例1、在直线l、l上分别求点M、N,使四边形PQMN周长最小.1 2方法分析：利用轴对称，将两个定点P、Q分别转化到两直线所夹区域的外部去（即直线l、的另一侧），一侧一个点，再根据“两点之间，线段最短”1 2连接点P、Q的对称点，与直线l、的交点即为所求。

1 2作法：①作点Q关于直线l的对称点Q •②作点P关于直线l的对称点P1 1 • 2 1 ；③连接PQ,交l于N,交l于M,点M、N即为所求1 1 1 2说明：连接MP、NQ,・・•点P 和点P1关于直线l2对称，・•・直线l2是PP1的垂直平分线，・・・MP=MP1, •・•点Q和点Q.关于直线l对称，・•・直线l是_,的垂直平分线，・・・NQ=NQ_,,1 1 1 1 1• •两点之间，线段最短，・此时PM+MN+PN最小uMP^MN+NQ^Pq】例2、如图，牧童星期天从A处赶了几只羊到草地m放羊，然后赶到小河n饮水，之后再回到B处 的家，假设牧童赶羊走的都是直路，请你为他设计一条最短的路线标明放羊与饮水的位置At.N *Bmn类型五、架桥修路距离最短的问题1、两条平行线m、n之间的距离为d,直线m、n外有异侧两定点A、B,在m、n上分别有两个动点M、N,且MN丄m，要使AM+MN+BN的值最小，试确定动点M、N的位置 作法：① 从点A向下作AA'丄m且AA'=d （即：将点A向下平移d个单位长度至点A'）② 连接A'B,交直线n于点N,③ 作NM丄m于M, M、N即为所求说明：连接AM、BN,此时，AA'平行且等于MN,四边形AA'NM是平行四边形，AM=A'N, MN 丄 m ,且 AM+MN+BN 最小=A'B+MN。

例1、如图，从A地到B地经过一条小河（两岸平行），今要在河上建一座桥 （桥与河岸垂直），应如何选择桥的位置才能使A到B的路程最短？例2、荆州护城河在CC'处直角转弯，河宽相等，从A处到达B处, 需经过两座桥DD'、EEf,护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与 河岸垂直.如何确定两座桥的位置，可使A到B点路径最短？2、一条直线a上有两个动点M、N （点M在N的左边），M、N的距离为定值d,直线a外有异侧两定点A、B,要使AM+MN+BN的值最小，试确定动点M、N的位置作法：①从点A向右作AA'〃a且AA'=MN=d （即：将点A向右平移d个单位长度至点A'）②连接A'B,交直线a于点N,③在直线a上点N的左边截取NM=d, M、N即为所求说明：连接AM、BN,此时，AA'平行且等于MN, 刖四边形AA'NM是平行四边形，AM=A'N, 且AM+MN+BN最小=A'B+MN 川3、一条直线a上有两个动点M、N （点M在N的左边），M、N的距离为定值d,直线a外有同侧两定点A、B,要使AM+MN+BN的值最小，试确定动点M、N的位置作法：①作点A关于直线a的对称点A ,（问题即转化为2中的问题） 11 胡 ・ •M .V② 从点A向右作AA 〃a且AA二MN二d （即：将点A向右平移d个单位长度至点A ）12 12 1 2③ 连接A B，交直线a于点N,2④ 在直线a上点N的左边截取NM=d, M、N即为所求。

说明：连接AM、BN,此时，AA平行且等于MN,四边形AANM是平行四边形，1 2 1 2AM 二 AM 二 A N ,且 AM+MN+BN 最小=A'B+MN1 2注：解决有关距离最大最小的问题，应先将问题转化成以上基本模型，再按其基本方法确定题目中所需点的位置。