1997年数学一试题答案与解析.pdf

NBF ，真正为考研人着想的 ! NBF 考研，全程包过，不过退款 ! 客服： 296312040 1997 年数学一试题分析 (NBF 真题计划：公共课最准，专业课最全!) 一、 填空题 （ 1）()()2013sin coslim1cos ln1xxxxx x→+=++答 应填 3.2分析 当 0x→ 时， ()()1cos ln1 2,x xx∼++ 故原式200013sin cos3sin 1 1lim lim lim cos ,22 2xxxxxxxxx xx→→→+==+ 对于第一个极限，显然03sin 3lim22xxx→= ； 对于第二个极限，是有界函数乘无穷小量仍是无穷小量，故 011lim cos 02xxx→= 因而原式3.2= （ 2）设 幂 级 数0nnnax∞=∑的收敛半径为 3 ，则幂级数 ()111nnnna x∞+=−∑的收敛区间为 答 应填 ()2, 4 .− 分析 令 1,yx=−则 ()11111,nnnnna x na y∞∞++==−=∑∑()1 11lim lim .n nnnnnna ana aρ+ +→∞ →∞+== 故幂级数11nnnna y∞+=∑与幂级数有相同的收敛半径，即 3,y ∫（ 4） 设111122232333,,abcabcabcααα⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞⎟⎟⎟⎜⎜⎜===⎟⎟⎟⎜⎜⎜⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠，则三条直线 1112223330,0,0,ax by cax by cax by c++=++=++=（其中220, 1, 2,3iiab i+≠ = ）相交于一点的充要条件是 （ A）123,,ααα线性相关 （ B）123,,ααα线性无关 （ C）秩 ( )123,,r ααα =秩 ()12,r αα （ D）123,,ααα线性相关，12,αα线性无关。

答 应选 D 分析 三条直线 111 2 2 2 33 30, 0, 0,ax by c ax by c ax by c++= ++= ++=及 有交点的充要NBF ，真正为考研人着想的 ! NBF 考研，全程包过，不过退款 ! 客服： 296312040 条件是 12 30,xyααα++= 即123,,ααα线性相关为保证三条直线只有一个交点，则它们在有交点的情况下，两两不能重合，即12kαα≠ （ k 为某非零常数） ，故 ()12,2r αα = ， 即12,αα线性无关 （ 5） 设两个相互独立的随机变量 X Y和 的方差分别是 4 和 2，则随机变量3X Y-2 的方差是 （ A） 8 （ B） 16 （ C） 28 （ D） 44 答 应选 D 分析 一般地，若随机变量 X Y和 相互独立，则数学期望 ()E aX bY aEX bEY+= + 方差 ()22DaX bY aDX bDY+= + 对于本题 3, 2, 4, 2a b DX DY==− = = 三、计算()22,I xydvΩ=+∫∫∫其中 Ω为平面曲线22,0,yzx⎧⎪ =⎪⎨⎪=⎪⎩绕 z 轴旋转一周形成的曲面与平面 8z = 所围成的区域。

解法 1 22482002rI drdr dzπθ=∫∫∫2430102428 .23rrdrππ⎛⎞⎟⎜⎟=−=⎜⎟⎜⎟⎝⎠∫解法 2 ()2282202xy zI dz x y dxdy+≤=+∫∫∫82 2200 01024.3zdz d r rdrππθ=⋅=∫ ∫∫四、计算曲面积分 ()()(),Cz y dx x z dy x y dznull−+−+−∫其中 C 是曲线2212,xyxyz⎧⎪ +=⎪⎨⎪−+=⎪⎩，从 z 轴正向往 z 轴负向看 C 的方向是顺时针的 解法 1 令 cos , sin ,xyθθ==则 NBF ，真正为考研人着想的 ! NBF 考研，全程包过，不过退款 ! 客服： 296312040 22cossinzxy θθ=−+=− + 于是 ()()()z y dx x z dy x y dznull−+−+−∫(){}()02022 sin cos 2cos 2 12cos sin sin22.dππθθ θθθθ θθπ=− + − −⎡⎤=− − + − −⎣⎦=−∫解法 2 设 S 是平面 2xyz−+=上以 C 为边界的有限部分， 其法向量与 z 轴正向的夹角为钝角，xyD 为 S 在 xOy 面上的投影区域 . 记 ()()(),F zyi xzj xyk=− +− +− 则 2.ijkrotF kxyzzyxzxy∂∂∂==∂∂∂−−−利用斯托克斯公式知 () 2CS SFdl rotF dS dxdynull⋅= ⋅ =∫∫∫ ∫22.xyDdxdy π=− =−∫∫五、在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的， 设该人群的总人数为 N ，在 0t = 时刻已掌握新技术的人数为0x ，在任意时刻 t已掌握新技术的人数为 ( )x t （将 ( )x t 视为连续可微变量） ，其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数 0,k > 求 ( )x t 。

解 由题设，有 ()00,.tdxkx N xdtxx=⎧⎪⎪=−⎪⎨⎪⎪=⎪⎪⎩由方程得 (),dxkdtxN x=−积分后，得 NBF ，真正为考研人着想的 ! NBF 考研，全程包过，不过退款 ! 客服： 296312040 ,1kNtkNtNCexCe=+其中 C 为任意常数， 代入初始条件，得 000.kNtkNtNx exNx xe=−+六、设直线0,:30.xyblxayz⎧++=⎪⎪⎨⎪+−−=⎪⎩在平面 π上，而平面 π与曲面22zx y=+相切于点 ()1, 2, 5− ，求 ,ab之值 解法 1 在点 ()1, 2, 5− 处曲面的法向量 {}2, 4, 1n=−−于是切平面方程为 ()( )()214 2 50,xyz−− +−−= 即 2 4 5 0xyz−−−= （ *） 由 0,:30.xyblxayz⎧++=⎪⎪⎨⎪+−−=⎪⎩得 ,y xb=− − ()3zx axb=−+ −− 代入方程（ *） ，得 244 3 50x x b x ax ab++−+++−=，因而有 50,4 20,abab+= + −= 由此解得 5, 2ab=− =− 解法 2 由解法 1 知， π方程为 24 50xyz−−−=，过 l的平面束为 ()( )30,xyb xayzλμ++ + + −−= 即 ()( ) 30xayzbλμ λ μ μ λ μ+++ −+−= 令 3,2415abλμλ μ μ λ μ++− −===−−−则 , 5, 2abλμ==−=− 七、设函数 ()f u 具有二阶连续导数，而()sinxzfe y= 满足方程22222,xzzezxy∂∂+=∂∂求 ()f u . NBF ，真正为考研人着想的 ! NBF 考研，全程包过，不过退款 ! 客服： 296312040 解 () ()''sin , cos ,xxzzf ue y f ue yxy∂∂== () ()2'''22sin sin ,xxzf ue y f ue yx∂=+∂() ()2'''222sin cos ,xxzf ue y f ue yy∂=− +∂代入原方程，得 () ()''0fu fu−= 由此解得 ()12uuf uCeCe−=+ （其中12,CC为任意常数） 八、设函数 ()f x 连续， () ( )10,x fxtdtϕ =∫且()0limxfxAx→= （ A为常数） ，求 ()'xϕ并讨论 ()'xϕ 在 0x= 处的连续性。

解 由题设，知 () ()00,00.f ϕ==令 ,uxt= 得 ()()()0,0,xfuduxxxϕ =≠∫从而 ()() ()()' 020.xxf x f u duxxxϕ−=≠∫由导数定义有 ()()()' 02000lim lim .22xxxfudufxAxxϕ→→===∫由于 ()() ()()()' 002200 00lim lim lim limxx xxxf x f u du f u dufxxxxxϕ→→ →→−==−∫∫()'0,22AAA ϕ=−= = 从而知 ()'xϕ 在 0x= 处连续 九、设 ()11112, 1, 2, ,2nnnaa a nanull+⎛⎞⎟⎜⎟==+=⎜⎟⎜⎟⎜⎝⎠证明 （ 1） limnna→∞存在； NBF ，真正为考研人着想的 ! NBF 考研，全程包过，不过退款 ! 客服： 296312040 （ 2）级数1 11nn naa∞= +⎛⎞⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎜⎝⎠∑收敛 证 （ 1）因111 11,2nn nnnaa aaa+⎛⎞⎟⎜⎟=+≥⋅=⎜⎟⎜⎟⎜⎝⎠211110,22nnn n nnnaaa a aaa+⎛⎞−⎟⎜⎟−= + −= ≤⎜⎟⎜⎟⎜⎝⎠故 {}na 递减且有下界，所以 limnna→∞存在。

（ 2） 解法 1 由（ 1）知 111101 .nnnnnnnaaaaaaa++++−≤−= ≤− 记 ()11 11nnkk nkSaaaa++==−=−∑， 因1limnna+→∞存在，故 limnnS→∞存在，所以级数 ()11nnnaa∞+=−∑收敛 因此由比较审敛法知，级数1 11nn naa∞= +⎛⎞⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎜⎝⎠∑收敛 解法 2 令11,nnnaba+=−则 22 2221122221111 1111,.1141n nn nnnnnnn n n naba aaababa a a a++++−− ++−==⋅=⋅⋅++−+故 1lim 0 1.nnnbbρ+→∞==− 是未知参数，12,,nX XXnull 是来自总体 X 的一个容量为 n的简单随机样本，分别用矩估计法和极大似然估计法求 θ 的估计量 解 总体 X 的数学期望为 () () ( )11011.2EX xfxdx x dxθθθθ+∞+−∞+==+=+∫∫设11niiX Xn==∑为样本均值，令 1,2Xθθ+=+解得未知参数 θ 的矩估计量为 21ˆ.1XXθ−=−设12,,,nx xxnull 是相应于样本12 nX XXnull，，， 的样本值，则似然函数为 () ( )11,011,2,0,nniiix xi nLnullθθ=⎧⎪⎛⎞⎪⎟⎜⎪ + ，且 ()11lnln ln 1 ln , ln .1nniidL nLn x xdθθθθ===++ =++∑∑NBF ，真正为考研人着想的 ! NBF 考研，全程包过，不过退款 ! 客服： 296312040 令 ln0,dLdθ= 解得 θ 的极大似然估计值为 1ˆ1.lnniinxθ==− −∑从而的 θ 的极大似然估计量为 1ˆ1.lnniinXθ==− −∑NBF ，真正为考研。