2024年高考数学复习 柯西不等式（精讲+精练）解析版（新高考）.pdf

一 轮 复 习 讲 义】20 24年 高 考 数 学 高 频 考 点 题 型 归 纳 与 方 法 总 结(新 高 考 通 用)柯西不等式(精讲+精练)一、知识点梳理1.二维形式的柯西不等式(a2+/?2)(c2+6?2)ac+bd)2(a,b,c,d w R,当且仅当 a d =b e时，等号成立.)2.二维形式的柯西不等式的变式(1)7 2+b2-J，+屋 习a人,行 R,当且仅当ad=b e时,等号成立.)(2)J +/,J o?+/n|蜀+M(a,b,c,d w R,当且仅当 ad-b e时,等号成立.)(3)(a +/?)(c +d)(4ac+4bd)2(a,b,c,dQ,当且仅当 ad=b e 时,等号成立.)3.二维形式的柯西不等式的向量形式履 年 同 闻(当 且 仅 当 斤 是 零 向 量,或存在实数左，使G=左万时，等 号 成 立.)注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用比如，对2+，并不是不等式的形状，但变成|(12+12+12)*(2+,2)就可以用柯西不等式了4.扩展:-卜 +匕；+8；T-卜”)之+a2b2+a3b3 -卜也了，当且仅当%:b a:b?,：bn 时，等勺成 AZ.二、题型精讲精练【题型训练1-刷真题】一、填空题1.(20 21 浙江统考高考真题)已知平面向量a/,c,(c w 0)满足卜|二 L恸=2,Q/?=0,(-/?)c =0.记向量d在力方向上的投影分别为羽y,d-在c方向上的投影为z,则炉+y+z 2的最小值为.【答案】|2【分析】设 i =(l,O),b=(0,2),c=O,)，由平面向量的知识可得2%+-6 2 =2,再结合柯西不等式即可得解.【详解】由题意，设。

l,0),8=(0,2),c=(m/),贝(一切 0=加 一 2=0,即m=2，又向量d在力方向上的投影分别为居J,所以d=(羽y),(d-a c m(x-l)+ny 2 x-2+y所以d _ 在 c方向上的投影z=/=q ，Vm2+n2 15BP 2x+y.=2,所以x2+y2+z2=：22+l2+(75)2(x2+/+z2)(2x+y,A/5Z)2=|,x _ y _ z当且仅当，一 7 _ .正 即2x+y.小z=2所以尤2 +:/+z2的最小值为会2故答案为：二、解答题2.(2022 全国统考高考真题)已知a,b,c 均为正数，且+6 2+4 0 2=3,证明：a+6+2c W3；若b 2 c,贝 da c【答案】见解析(2)见解析【分析】(1)方法一：根据2=/+/+(2)2,利用柯西不等式即可得证；(2)由(1)结合已知可得0(a +&+2c)2,所以Q+Z?+2c 3,当且仅当a =b =2c =l 时，取等号，所以4bc,a2+4c2 4ac，(a +Z?+2c J =2 +/+4c 2+2ab+4bc+4ac 0,b 0,c 0 ,由(1)得+2C=Q+4c 3,即O v a +4c-,a+4c 3由权方和不等式知工+工=上+”2 0 疝=-?-2 3，a c a 4c a +4c a+4c当且仅当1 =2 即a =l,c =1：时取等号，a 4c 2所以L%3.a c【点睛】(1)方法一：利用柯西不等式证明，简洁高效，是该题的最优解；方法二：对于柯西不等式不作为必须掌握内容的地区同学，采用基本不等式累加，也是不错的方法.【题型训练2-刷模拟】一、解答题1.(20 23全国高三专题练习)若实数无、y、z 满足x +2y +3 z =a (a 为常数)，求Y+J+z?的最小值.2【答案】1 4【分析】利用柯西不等式进行解答即可.【详解】因为x+2y +3 z =a,所以+22+32)(x2+y2+z2)(x +2y +3 z)2=a2,即1 4,+y2+z2)a2,当且仅当 =|=|时等号成立，2 2ttx2+/+z2 ,即V+y+z?的最小值为幺.1 4 1 42.(20 23 甘肃兰州校考一模)已知。

6,cw R,且满足2/+3 c=6,求+2从+3 c?的最小值.【答案】6【分析】利用柯西不等式求出最小值.【详解】由柯西不等式，得(1 +2+3)(2+22+3 2)2(1.+0.缶+石.、瓦丁.得 6（，2 +2+32）之（，+2人 +32=3 6.W tz2+2fe2+3 c2 6.当且仅当=母b _ 6 c1 V 2#即a =6=c=l 时，上式等号成立.所以4+2/+3 c2的最小值为6.3.(20 23 河 南 校联考模拟预 测)己知a,b,c是正实数，且a+b+c=3.求证:(l)abc6.【答案】证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)利用三个正数的算术平均数不小于其几何平均数；(2)利用柯西不等式.【详解】(1)因为a,b,c是正实数，所 以 空 产3痂，所 以 痂 s i (当且仅当a =b=c=l 时等式成立)，B P abc6.4.(20 23 江西吉安 统考一模)己a,b,c均为正数，且a +6+c=4,证明：a+c a+b b+c 8【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)利用题意构造基本不等式，再利用柯西不等式证明即可;(2)构造基本不等式即可证明.【详解】(1)证明：由柯西不等式可得(/+q+，(1 2+22+3 2)N(a +b+c)2=1 6,4 9 Jb c 2当且仅当，二=5三 时 取 等号.即片则原式成立;(2)证明:1 1 1-1-1-a+c a+b b+c(Q +C +a +Z?+Z?+C)|-F8 a +ca+b b+c J3 1 (b+c a+b b+c c+a a+b a+c I-1-1-1-1-1-8 8a+b b+c c+a b+c c+a a+b、3 1 (b+c a+b 八 lb+c c+a 八a+b c+a)9-+-2J-+2J-+2J-=-8 8(a+b b+c c+a b+c c+a a+b J 84当且仅当。

b=c=时取等号.5.(20 23 全国高三专题练习)已知均为正数，且满足a 2十廿十H=3.证明:a +b+G,3 ；(小2)、1 F 1 H 1 .C3 .a b c【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)根据9 =3(/+尸+2),结合柯西不等式证明即可;(2)根据柯西不等式证明!+：+，.一再根据 7 :证 明即可a b c a+b+c a+b+c 3(1)证明：由柯西不等式有:9 =3(+8 2+2)=(2+2+2)(2 十 万 2+)(ac+ba+cb,结合不等式性质和柯西不等式证明结论.【详解】(1)因为，为正数，a+b+c=l,由柯西不等式可得(a2+Z?2+c2)(l2+l2+l2)(a +Z?+c)2=l,当且仅当a=b=c=时等号成立，所以/+62+c2、g,当且仅当b=c=；时等号成立；(2)由重要不等式得/+2 2,当且仅当6 时等号成立，b2+c2 2 b c,当且仅当6=c时等号成立，c2+a2 2 c ,当 且 仅 当 时 等 号 成 立，所以/+/+/ab+bc+ca,当且仅当Q =/?=c时等号成立，同理可得/+Z?2+c2 ac+ba+cb 9当且仅当=Z?=c时等号成立,两式相加得2,2+0 2)之 +c)+b(c+a)+C(Q+b)所以2(/+/土b+-+c+aca+b2 a(Z?+c)+b(c+a)+c(Q +Z?a b c-1-1-b+c c+a a+bz91(a+b+c)=19当且仅当=6=。

1时等号成立;即(82+)史+占+金反，当且仅当W 时等号成立.7.(20 23 四川四川省金堂中学校校联考三模)已知0,60,cl,且1+4/+c?/c =2,证明:(l)6Z +2/?+c4 ；(2)若 a=2b,贝！I-N 3.b c-1【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)由柯西不等式即可证明;由均值的不等式可得+W W +2 g R)C +去/+g)双 由 可得鼻3T4即可证明!+一23.b c-1【详解】(1)Sa2+4b2+c2-2c=2,a2+4 Z?2+(c-l)2=3 ,由柯西不等式有/+(26)2+(c_ i)2(+/+F)N(a +26+c_ i y ,.a+2b+c-l3,当且仅当Q=22=c-l =1 时等号成立,.-.a+2 b+c 1，当且仅当4 =1,2,C =2 时等号成立，从而9+4 2 9 J _-3,当且仅当1,6 =1,c =2 时等号成立.二、单选题8.（2 0 2 3 全国高三专题练习）“柯西不等式”是由数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的，但从历史的角度讲，该不等式应当称为柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式，因为正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式推广到完善的地步，在高中数学选修教材4-5中给出了a b二维形式的柯西不等式：（a2+b2）（c2+d2）2当且仅当（即一=-；）时等号成立.该不c a等式在数学中证明不等式和求函数最值等方面都有广泛的应用.根据柯西不等式可知函数y（x）=2,5-x +J x-4 的最大值及取得最大值时x的值分别为（）A.6 义 B.瓜2 C,而，生 D.弧,生5 5 1 3 1 3【答案】A【分析】将 2 5 7+代入二维形式的柯西不等式的公式中，进行化简即可得到答案.【详解】由柯西不等式可知：（2 /5 +/4）2（22+12）（7 5 ）2+（A/T4）2=5所以257+/n 46，当且仅当2 G 7 =5 工 即*=皆时取等号，故函数/（无）=2 5 7+的最大值及取得最大值时x的值分别为V 5,y ,故选A.【点睛】本题考查二维形式柯西不等式的应用，考查学生的计算能力，属于基础题.9.（2023浙江统考一模）若sinx+cosy+sin（尤+_y）=2,则sinx的最小值是（）A.0 B.2-43 C.3-币 D.g【答案】C【分析】先把已知整理成2-sinx=（sinx+l）cosy+cosxsiny的形式，再把等式的右边利用柯西不等式进行放缩，得到关于sinx的一元二次不等式进行求解.【详解】由已知sin x+cos y+sinxcos j +cos xsin y=2 整理得2-sin x=（sin x+1）cos y+cos xsin y,由柯西不等式得（sin x+1）cos y+cos%sin y +sin x）+cos2 x /cos2 y+sin2 y=j2 +2sinx，当（sin x+1）sin y=cosy cos 尤时取等号，所以（2-sin x f 2+2 s in x,即 sir?比 一 6sin尤+2 W0,解得3-S s in x V l,所以sinx的最小值为3-/.故选：C.三、填空题10.（2023秋河北衡水高三河北衡水中学校考期末）若。

C：（无-4+仃-（x-6）2+（y-8）2=4,M,N 分别为上一动点，|MN|最小值为4,则3a+46取值范围为.【答案】15,85【分析】先根据|用的最小值求出|q=7,即（6）2+0-8）2=4 9,再使用柯西不等式求出取值范围.【详解】由于肱V|最小值为4,圆 C 的半径为1,圆 D 的半径为2,故两圆圆心距离|CQ|=4+l+2=7,即（4-6）2+（6-8）2=49,由柯西不等式得：（a-6）2 +（6-8）2）（32+42”3（“一 6）+4（6-8）2,当且仅当等即=三，6=日 时，等号成立，即（3a+4人 一 SO）?4 2 5 x 4 9,解得：15 V3a+4b V85.故答案为：15,8511.（2023春 江苏苏州高三统考开学考试）设角*夕均为锐角，贝 Usina+sin4+cos（z+的范围是【答案】），|【分析】由$苗（+尸）$由（/+$111分将函数化为$1111+5111月+8 5（+）0$如（+月+：,结合三角函数的性质求出函数的最小值，再由柯西不等式求出函数的最大值，即可得出答案.【详解】因为角a。