上海交大数值分析课件数值分析5-2(续).ppt

一、引入主元素法的原因 第五章 解线性方程组的直接法 §2 高斯主元素法(续)二、完全主元素消去法三、列主元素消去法 一、引入主元素法的原因举例用高斯消去法解方程组用四位浮点数进行计算，精确解舍入 到4位有效数字为解 ：［方法１］用高斯消去法求解计算解为与精确解相比显然计算解 是一个很坏的结果，不能作为方程组的近似解，其原因是：我们在消元计算时用了小主元0.001，使得约 化后的方程组元素的数量级大大增长，使得 在计算中发生严重的舍入误差，因此产生了 较大的误差！［方法2］交换行，避免绝对值小的主元素作 除数 改进措施：对一般矩阵，最好每一步选取系数矩阵（或消元后的低阶矩阵）中绝对值最大的元素作为主元素，以使高斯消去法具有较好的数值稳定性！得计算解为 本例启发：在采用高斯消去法解方程组时，小主元可能产生麻烦，故应避免采用绝对值小的主元素主元素法 全主元素列主元素2. 完全主元素法设增广矩阵为第一步：首先在A 中选取绝对值最大 的元素作为主元素 ；然后交换到第一 行、第一列的位置 ；再进行第一次消 元，得矩阵(A | b)→(A(2) | b(2))(1) 消元过程第 k 步：在矩阵A(k)的右下方(n-k+1)阶子矩阵中选取 绝对值最大的元素作为主元素；并通过行与列的互换 将它换到第k行第k列的位置，然后进行第k次消元， 得矩阵 (A(k) | b(k)) → (A(k+1) | b(k+1))第 n-1 步：经过n-1次消元，将原方程组化为其中y1,y2,…,yn为未知数x1,x2,…,xn调换后的 次序。

2) 回代过程完全主元素消去法的缺点：在选主元素时要花费较多机器时间时时纪录x顺序的变化情况3. 列主元素消去法选主元时仅考虑按列选取，然后换行使之变 到主元位置上，再进行消元计算设用列主元素消去法已完成 k-1 步，即有 第 k 步：在矩阵A(k)的第k列方框内选取绝对值最大 的元素作为主元素；并通过行的互换将它换到第k行 的位置，然后进行第k次消元，得矩阵(A(k) | b(k)) → (A(k+1) | b(k+1))列主元消去法的特点：（1）能够得到较高精度要求的 解 ；（2）计算量大大减少作业：习题 7。