函数中恒成立问题解题策略解读.doc

函数中的恒建立问题的解题策略解读函数中的恒建立问题的解题策略函数是整个高中知识系统的核心之一，而函数中的绝大部分问题最后究结为函数性质、函数思想在详细解题过程中的应用恒建立问题，波及到一次函数、二次函数等函数的性质、图象,浸透着换元、化归、数形联合、函数与方程等思想方法，有益于考察学生的综合解题能力，在培育思想的灵巧性、创建性等方面起到了踊跃的作用所以也成为历年高考的一个热门恒建立问题在解题过程中大概可分为以下几种种类：①一次函数型；②二次函数型；③变量分别型；④依据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤直接依据函数的图象此刻我们一同来商讨此中一些典型的问题一、一次函数型给定一次函数 y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则依据函数的图象（直线）可得上述结论等价于a0或ⅱ）a0f(m)0ⅰ）亦可归并定成0f(m)0f(n)0f(n)f(m)0同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有0f(n)yyxomxomnn实质上是利用了一次函数的单一行和函数的最值例1.对于知足|a|2的全部实数a,求使不等式x2+ax+1>2a+x恒建立的x的取值范围剖析：在不等式中出现了两个字母：x及a,重点在于该把哪个字母当作是一个变量，另一个作为常数。

明显可将a视作自变量，则上述问题即可转变为在[-2，2]内对于a的一次函数大于0恒建立的问题解：原不等式转变为(x-1)a+x2-2x+1>0,设f(a)=(x-1)a+x2-2x+1,则f(a)在[-2,2]上恒大于0，故有：f(2)0x24x30x3或x1即x2解得：f(2)10x1或x1∴x<-1或x>3.引申：在不等式中出现3个字母：m、x、a已知函数f(x)是定义在1,1上的奇函数，且f(1)1，若a,b1,，ab0，/有f(a)f(b)0，（1）证明f(x)在1,1上的单一性；（2）若f(x)m22am1对ab全部a1,1恒建立，求m的取值范围剖析：第一问是利用定义来证明函数的单一性，第二问中出现了3个字母，最后求的是m的范围，所以依据上式将m看作变量，a作为常量，而x则依据函数的单一性求出f (x)的最大值即可1）简证：任取x,x21,1且xx，则x1,11122f(x1)f(x2)x1x2f(x)1f(2x)0又f(x)是奇函数x1x20x1x2f(x1)f(x2)0f(x)在1,1上单一递加2）解：f(x)m22am1对全部x1,1，a1,1恒建立，即m22am1fmax，fmaxf(1)1m22am11m22am01g(1)12a0a即g(a)2amm20在21,1上恒建立。

2a01g(1)1a211a22二、二次函数a0若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)大于0恒建立，则有0假如二次函数在指定区间上的恒建立问题，还能够利用韦达定理以及根与系数的散布知识求解例2.若函数ymx26mxm8在R上恒建立，求m的取值范围剖析：该题就转变为被开方数mx26mxm80在R上恒建立问题，而且注意对二次项系数的议论略解：要使ymx26mxm8在R上恒建立，即mx26mxm80在R上恒建立1m0时，80m0建立mm0，0m120时，36m24m832mm10由1，2可知，0m1例3.已知函数f(x)x2ax3a，在R上f(x)0恒建立，求a的取值范围剖析：yf(x)的函数图像都在X轴上方，即与X轴没有交点略解：a243aa24a1206a2变式1：若x2,2时，f(x)0恒建立，求a的取值范围a2a2解：f(x)3，令f(x)在2,2上的最小值为g(a)xa24a2，即a4时，g(a)f(2)77又a4⑴当3a0a23a 不存在⑵当2a2，即4a4时，g(a)f(a)a2a306a2又2244a44a2⑶当a2，即a4时，g(a)f(2)7aa7又a427a4总上所述，7a2。

变式2：若x2,2时，f(x)2恒建立，求a的取值范围解法一：剖析：题目中要证明f(x)a在2,2上恒建立，若把a移到等号的左侧，则把原题转变成左侧二次函数在区间2,2时恒大于等于0的问题略解：f(x)x2ax3a20，即f(x)x2ax1a0在2,2上建立⑴a241a0222a222a24(1a)0f(2)05a222⑵f(2)0—22aa或2222综上所述，5a222解法二：（利用根的散布状况知识）⑴当a2，即a4时，g(a)f(2)73a2a5a不存在24,3⑵当2a2，即4a4时，aa2，g(a)f()a23224－222a2224a222⑶当a2，即a4时，g(a)f(2)7a2，a55a42综上所述5a222本题属于含参数二次函数， 求最值时，轴变区间定的情况， 还有与其相反的， 轴动区间定此类题目中的 x还能够换成 f(x)：如三角函数、指数函数、对数函数，还能够是一元二次不等式，一元二次函数等变式3：若对随意的实数x，sin2x2kcosx2k20恒建立，求k的取值范围剖析：这是相关三角函数的二次问题，运用到三角函数的有界性解法一：原不等式化为cos2x2kcosx2k10令tcosx，则t1，即f(t)t22kt2k1tk22k1在t1,1k2上恒大于0。

⑴若k1，要使f(t)0，即f(1)0，k1k不存在2⑵若1k1，若使f(t)0，即f(k)22k12k2k1011 2 k 1⑶若k1，要使f(t)0，即f(1)0，k1由⑴，⑵，⑶可知，k12解法二：f(t)t22kt2k10，在1,1上恒建立⑴k22k1012k12k22k10f(1)0k12⑵1)0f(k1或k1由⑴，⑵可知，k12引申：已知奇函数f(x)定义在R上，且在[0,)上是增函数，能否存在实数m使f(cos23)f(4m2mcos)f(0)，对全部[0,]都建立？若存在，求出切合条件的2全部实数 m的范围；若不存在，说明原因例3.已知函数f(x)lg(axbx)，常数a1b0，求（1）函数yf(x)的定义域；（2）当a、b知足什么条件时f(x)在区间1,上恒取正解：（1）f(x)lg(axbx)axbx0又a1b0x0定义域x|x0（2）f(x)lg(axbx)f(x)axlnabxlbnf(x)0axbxf(x)在0,上单一递加f(x)在1,上单一递加，f(x)f(1)要使f(x)在1,上恒正，只须f(x)f(1)0，即lg(ab)0lg1a b 1且a 1 b 0。