《高等数学》教学课件：12-6 二阶常系数非齐次线性微分方程.ppt

第六节第六节 二阶常系数非齐次二阶常系数非齐次线性微分方程线性微分方程一、一、二、二、二阶常系数线性非齐次微分方程二阶常系数线性非齐次微分方程 :根据解的结构定理根据解的结构定理 , 其通解为其通解为非齐次方程特解非齐次方程特解齐次方程通解齐次方程通解求特解的方法求特解的方法根据根据 f (x) 的特殊形式的特殊形式 ,的待定形式的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 .①①— 待定系数法待定系数法二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程对应齐次方程通解结构通解结构常见类型常见类型难点难点：：如何求特解？如何求特解？方法方法：：待定系数法待定系数法.一、 型  为实数为实数 ,设特解为设特解为其中其中 为待定多项式为待定多项式 , 代入原方程代入原方程 , 得得 为为 m 次多项式次多项式 .(1) 若若   不是特征方程的根不是特征方程的根, 则取则取从而得到特解从而得到特解形式为形式为Q (x) 为为 m 次待定系数多项式次待定系数多项式(2) 若若  是特征方程的是特征方程的单根单根 , 为为m 次多项式次多项式,故特解形式为故特解形式为(3) 若若   是特征方程的是特征方程的重根重根 , 是是 m 次多项式次多项式,故特解形式为故特解形式为小结小结 对方程对方程①①,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .即即即即当当  是特征方程的是特征方程的 k 重根重根 时时, 可设可设特解特解特别地特别地例例1.的一个特解的一个特解.解解: 本题本题而特征方程为而特征方程为不是特征方程的根不是特征方程的根 .设所求特解为设所求特解为代入方程代入方程 :比较系数比较系数, 得得于是所求特解为于是所求特解为例例2. 的通解的通解. 解解: 本题本题特征方程为特征方程为其根为其根为对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为设非齐次方程特解为比较系数比较系数, 得得因此特解为因此特解为代入方程得代入方程得所求通解为所求通解为例例3. 求解定解问题求解定解问题解解: 本题本题特征方程为特征方程为其其根为根为设非齐次方程特解为设非齐次方程特解为代入方程得代入方程得故故故对应齐次方程通解为故对应齐次方程通解为原方程通解为原方程通解为由初始条件得由初始条件得于是所求解为于是所求解为解得解得二、二、第二步第二步 求出如下两个方程的特解求出如下两个方程的特解分析思路分析思路:第一步第一步将将 f (x) 转化为转化为第三步第三步 利用叠加原理求出原方程的特解利用叠加原理求出原方程的特解第四步第四步 分析原方程特解的特点分析原方程特解的特点第一步第一步 利用欧拉公式将利用欧拉公式将 f (x) 变形变形 第二步第二步 求如下两方程的特解求如下两方程的特解 是特征方程的是特征方程的 k 重根重根 ( k = 0, 1), 故故等式两边取共轭等式两边取共轭 :为方程为方程 ③③ 的特解的特解 .②②③③设设则则 ②② 有有特解特解:第三步第三步 求原方程的特解求原方程的特解 利用第二步的结果利用第二步的结果, 根据叠加原理根据叠加原理, 原方程有特解原方程有特解 :原方程原方程 均为均为 m 次多项式次多项式 .第四步第四步 分析分析因因均为均为 m 次实次实多项式多项式 .本质上为实函数本质上为实函数 ,小小 结结:对非齐次方程对非齐次方程则可设特解则可设特解:其中其中 为特征方程的为特征方程的 k 重根重根 ( k = 0, 1), 上述结论也可推广到高阶方程的情形上述结论也可推广到高阶方程的情形.例例4. 的一个特解的一个特解 .解解: 本题本题 特征方程特征方程故设特解为故设特解为不是特征方程的根不是特征方程的根,代入方程得代入方程得比较系数比较系数 , 得得于是求得一个特解于是求得一个特解例例5. 的通解的通解. 解解: 特征方程为特征方程为其根为其根为对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为比较系数比较系数, 得得因此特解为因此特解为代入方程代入方程:所求通解为所求通解为为特征方程的单根为特征方程的单根 , 因此设非齐次方程特解为因此设非齐次方程特解为解解对应齐方通解对应齐方通解作辅助方程作辅助方程代入上式代入上式所求非齐方程特解为所求非齐方程特解为原方程通解为原方程通解为（取虚部）（取虚部）例例6 6三、小结三、小结(待定系数法待定系数法)只含上式一项解法只含上式一项解法：：作辅助方程作辅助方程,求特解求特解, 取取特解的实部或虚部特解的实部或虚部, 得原非齐方程特解得原非齐方程特解.思考题思考题写出微分方程写出微分方程的待定特解的形式的待定特解的形式. 思考题解答思考题解答设设 的特解为的特解为设设 的特解为的特解为则所求特解为则所求特解为特征根特征根（重根）（重根）练练 习习 题题练习题答案练习题答案。