一阶倒立摆模型建立与正确性分析.docx

姓名：戴鹏 指导老师：胡立坤 成绩：学院：电气工程学院 专业：自动化 班级：自093 ------年------月-------日实验内容：一阶倒立摆模型建立与正确性分析 其他组员：黄育尚【实验时间】 2013年1月18日星期五【实验地点】综合楼702【实验目的】 学会建立一阶倒立摆模型建立，并结合物理现象与数值结果分析模型的正确性实验设备与软件】 MATLAB/Simulink【实验原理】 对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难 但是经过假设忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程 下面我们采用其中的牛顿 欧拉方法建立直线型一阶倒立摆系统的数学模型.微分方程的推导：在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一阶倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统. 图一直线一阶倒立摆系统图参数大小摆杆质量m0.109kg小车质量M1.096kg摆杆转动轴心到摆杆质心的长度l0.25m摆杆绕其重心的转动惯量J0.0034kg.m2摆杆与小车间的摩擦系数b10.001N.m.s.rad-1小车水平运动的摩擦系数b20.1N.m.s.m-1摆杆与垂直向上的夹角φθ—π取小车质量M=1.096kg，摆杆质量m=0.109kg，摆杆与小车间的摩擦系数b1=0.001N.m.s.rad-1，小车水平运动的摩擦系数b2=0.1N.m.s.m-1，摆杆转动轴心到摆杆质心的长度l=0.25m，加在小车上的力F，小车位置X，摆的角度θ摆杆惯量J。

一．忽略摩擦摆杆绕其重心的转动方程为：Jθ=Fylsinθ—Fxlcosθ （1） 摆杆重心的水平运动可描述为：Fx=md2dt2(x+lsinθ) （2）摆杆重心在垂直方向上的运动可描述为：Fy—mg= md2dt2(x+lcosθ) （3）小车水平方向运动可描述为：F—Fx=Md2xdt2 （4）由式(2)和式（4）得到：（M+m）x+ml（cosθ*θ—sinθ*θ2）=F （5）由式（1）式（2）和式（3）得：J+ml2θ+mlcosθ*x=mglsinθ （6）整理式（5）和式（6）得：x=J+ml2F+lmJ+ml2sinθ*θ2-m2l2gsinθcosθJ+ml2M+m-m2l2cosθ2θ=mlcosθ*F+m2l2sinθcosθ*θ2-M+mmglsinθm2l2cosθ2-M+m（J+ml2） （7）若只考虑θ=0 在其工作点附近（0*<θ<10）的细微变化，这时可近似认为θ=0 ， sinθ=θ，cosθ=1,J=ml23由此得到的简化近似模型为：x=J+ml2F-m2l2gθJM+m+mMl2θ=M+mmlgθ-mlFJM+m+mMl2代入数值得本实验中倒立摆的简化模型：x=-0.73θ+0.89uθ=32.18θ-2.67u二．有摩擦定义逆时针转动为正方向。

设摆杆的重心为（xg,yg）,则xg=x-lsinφyg=lcosφ （1）根据牛顿定律建立系统垂直和水平运动力学方程：（1） 摆杆绕其重心转动的力学方程为：Jθ=Nylsinφ+Nxlcosφ- b1φ （2）式中，J为摆杆绕其重心的转动惯量：这里，杆重力的转动力矩为0，小车运动引起的杆牵连运动的惯性力的转矩也为01） 摆杆重心的水平动力学方程为： （3）（2） 摆杆重心的垂直动力学方程为： （4）（3） 小车的水平动力学方程为： （5） 由式（3）、（5）得： （6） 由式（2）、（3）、（4）得： （7） 于是，设计u=F得单级倒立摆动力学方程为： （8）（9） 令，，计及上表所给参数，则系统的状态空间表达式为： （10） （11） 封装图为：Fcn内程序为：function y = fcn(u,z2,z3,z4,J,M,m,g,l,b1,b2)% This block supports an embeddable subset of the MATLAB language.% See the help menu for details. 注意修改采样时间等参数：采样时间脉冲运行时间：y=[(J+m*l^2)*u-(J+m*l^2)*m*l*z4^2*sin(z3)+m^2*l^2*g*sin(z3)*cos(z3)-(J+m*l^2)*b2*z2-m*l*b1*z4*cos(z3)]/[J*(M+m)+m^2*l^2*power(sin(z3),2)+M*m*l^2];【实验内容、方法、过程与分析】1． 实验内容完整地推导模型，并用MATLAB/Simulink对模型进行封装，结合物理现象与数值曲线从以下几个方面验证模型的正确性：（1） 在没有摩擦情况下，当初始状态为(0 0 0 0)T时，在10s时给小车为脉冲信号（面积为单位1），分析波形得到结论。

图1-1图1-2当给一（面积为单位1）脉冲信号小车时，小车向右变加速运动，摆杆逆时针摆动，当角度超过π/2时，小车做减加速运动，超过π时，小车加速运动，继而摆杆角度继续增加超过3π/2，小车加速运动，但无摩擦情况下，小车和摆杆作为一个整体向右的动量不可能为零，摆杆一部分势能转化为动能，从而摆杆角度不能达到2π，当角度达到最大后角度开始减小，摆杆顺时针运动，在如上情况摆杆往复摆动，小车不断向右运动2） 在没有摩擦情况下，当初始状态为(0 0 π 0)T时，在10s时给小车为脉冲信号（面积为单位1），分析波形得到结论图2-1 摆杆角度初值为π时，给小车一脉冲信号，小车往右运动，由于惯性，摆杆顺时针摆动，角度减小，小车减速运动，而脉冲信号给的能量有限，摆杆角度不能小到π/2,当摆杆顺时针摆到最高点时，摆杆改为逆时针摆动，角度不断增大，当大于π时，小车改为加速运动,摆杆逆时针摆到最高点时，摆杆改为顺时针摆动，角度减小，在无摩擦情况下，如上情况摆杆往复摆动，小车不断向右运动3） 在没有摩擦情况下，当初始状态为(0 0 π 0)T时，在10s时给小车为阶跃信号（幅度为1），分析波形得到结论。

摆杆角度初值为π时，给小车一阶跃信号，小车往右运动，由于惯性，摆杆顺时针摆动，此时摆杆速度最大，角度减小，小车减速运动，但阶跃信号给的能量有限，摆杆角度不能减小到0,当摆杆顺时针摆到最高点时，摆杆改为逆时针摆动，角度不断增大，但在无摩擦情况下，由于小车和摆杆作为一个整体的动量不为零，而小车的能量不可能全部转化为摆杆的能量，所以摆杆角度不会超过π，而是改为顺时针运动，如上情况摆杆往复摆动，小车不断向右运动4） 在没有摩擦情况下，当初始状态为(0 0 0 0)T时，在10s时给小车为阶跃信号（幅度为1），分析波形得到结论摆杆角度初值为0时，给小车一阶跃信号，小车往右运动，由于惯性，摆杆逆时针摆动，角度增大，小车变加速运动，当角度超过π/2时，小车做减加速运动，超过π时，小车变加速运动，继而摆杆角度继续增加超过3π/2，小车加速运动，但无摩擦情况下，小车动量由恒定外力维持，摆杆角度达到2π，由于摆杆方向为逆时针，所以摆杆会越过原点，角度不断增大，如上情况摆杆不断逆时针摆动，小车不断向右运动5） 在没有摩擦情况下，当初始状态为(0 0 0.01 0)T时，无外力作用下，分析波形得到结论摆杆角度初值为0.01时，此时摆杆受重力作用，摆杆逆时针运动，摆杆角度增大，在没有摩擦的情况下，由于摆杆摆杆一部分势能转化为小车的动能，摆杆不能回到原始高度，即摆杆角度不能达到（2π-0.01），当达到最大时，摆杆改为顺时针运动，由此往复摆动。

小车也在原来位置进行极小范围的左右往复移动然而，系统模型的仿真图却显示在90s左右，小车往左边跑，而且摆杆角度在160s时出现飙升，这与客观实在不符6） 在没有摩擦情况下，当初始状态为(0 0 π 20)T时，无外力作用下，（实际上这种情况相当于给摆杆加脉冲信号），分析波形得到结论摆杆角度初值为π时，给摆杆一个20rad/s的逆时针初速度，摆杆逆时针摆动，由于摆杆的带动，小车往右运动摆杆逆时针摆动，角度增与此同时，摆杆将一部分能量传给小车，在无摩擦的情况下，摆杆即使失去一小部分能量，然而由于摆杆的初速足够大，摆杆仍然角度超过2π，由此之后一直增大小车和摆杆作为一个整体，当无外部因素的干扰情况下，给摆杆一个初速，即给小车和摆杆这一整体一个动量，根据牛顿第一定律，小车和摆杆这一整体不断向右运动，即小车不断向右移然而，图6-1仿真图却显示，当经过100左右，小车速度减到，并反方向加速运动，这与客观规律不符7） 在有摩擦情况下，当初始状态为(0 0 0 0)T时，在10s时给小车为脉冲信号（面积为单位1），分析波形得到结论当给一（面积为单位1）脉冲信号小车时，小车向右运动，摆杆逆时针摆动，小车做减加速运动，超过π时，小车加速运动，继而摆杆角度继续增加超过3π/2，小车加速运动，小车和摆杆作为一个整体向右的动量不可能为零，摆杆一部分势能转化为动能，从而摆杆角度不能达到2π，当摆杆达到最高时改为顺时针摆动，由此摆杆往复摆动。

而由于摩擦的存在，此后摆杆的摆幅不断减小，最后为0，摆杆位于角度为π处而小车的动能在运动过程中不断被摩擦消耗，小车减速运动，最后停止8） 在有摩擦情况下，当初始状态为(0 0 π 0)T时，在10。