[工学]随机过程5.ppt
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随机过程及其应用第五章 平稳随机过程的谱分析及随机过程通过线性系统的分析第1节 谱分析在电路分析中利用傅立叶变换这一有效工具以确立时域和频域的关系但是 ，以往所讨论的问题是研究确定性函数的谱分析，现在要进一步讨论是否能利 用傅立叶变换来研究平稳随机过程为此，首先对确定性函数的傅氏变换做一 些回顾，然后研究平稳随机过程的谱分析一）周期函数的傅氏级数表示若 为实或复周期性函数，其周期为T，且 在一个周期内绝对可积，即 则 可用下列傅氏级数展开（1）其中 而 (2)• an称为傅立叶系数，一般说an 是一个复数，即包括振幅和相位两个部分即 (3)（3）式称为周期性函数的巴塞伐等式（或巴塞伐定理）由于（3）式的左边代表周期函数的功率，那么右边的各项 代表该频率分量的功率 组成一功率谱。
为了在今后讨论中采用一致的功率谱表示方法，一个周期函数可用一个功率谱来描述它而当用功率谱表示时仅仅利用了振幅 , 而把 的相位信息丢了•设 代表周期函数的 功率谱密度，则(4)是一系列 是该频率分量的功率，故(5)由于 因而会产生下列情况：若有两个波形不同的周期函数，两者的振幅特性一致，仅仅相位不同，则它们具有相同的功率谱密度，而频谱是不同的如果 为实周期函数，则(6) 即 是共扼的，故 因此当 为偶函数不论 是实的还是复的周期函数， 是非负函数 周期函数 的时间相关函数为（7）由（7）式可知周期函数的时间相关函数仍是周期性的。
对时间相关函数取傅氏变换得故 （8）反 之 （9） （8）、（9）两式说明周期函数 的时间相关函数 和它的功率谱密度 成为一对傅氏变换二）设 是定义在t轴上的确定性非周期函数，且绝对可积，即 的傅氏积分存在，或者说 具有频谱（10）一般说 的复函数，而 （11）的反变换为 （12）根据（12）、（10）式可得 即 （13）（13） 式为非周期函数时的巴塞伐等式等式左边是 上的积分，它代表着 在 间的总能量,因此右边的被积函数相应的 称为能谱密度。
由于 是复数， 代表其振幅， 代表其相位，因此用频谱分析时既能说明它的振幅特性，又能说明它的相位特性然而采用频谱分析时，仅利用了 ，因而丢失了相位信息由于非周期信号时其总能量是有限的，即 在这种情况下它在无限长时间内的平均值为无限小，因此对于这类信号就不再 求时间的平均，即不再求功率谱密度而直接研究能谱密度，不再采用时间相关函数而考虑（14）即 (15)而设 则 （16）从（15）、（16）两式可知 是一对傅氏变换 代表谱密度，而 代表信号 的能量。
它没有对时间取平均时间相关函数是 ， 它是时间的平均值，由于总能量有限， 除以无限长时间是无穷小值，因此在非周期信号时采用 和 .（一）、（二）两部分是对确定性函数的分析，这里采用时间相关函数和功率谱密度、 和能谱密度 . 下面研究随机函数的分析三)周期性平稳随机过程的谱分析在第四章习题13中已指出，如果平稳随机过程的相关函数存在着周期性，即 以概率1相等，即除了以概率为0 的样本函数外，所有样本函数是周期性的设 是周期性平稳随机过程，且假定 ，若 的一个样本函数，则它的周期为T现在把周期函数展开成 傅氏级数 （17）其中 （18）不同的样本函数所得的傅氏系数是不同的，实际上 是一个随机变 量。
17）式所示的各项具有双重正交性，即不但 时具有正交性，而且 时也是正交的即时也是统计不相关的19)根据 是周期性平稳随机过程即相关函数 是周期函数，可表示为（20）（21）(22) （22）式不仅指出了当 时 是正交的、统计不相关的，而且指出了 的第n个傅氏系数就是的方差随机过程 在一个周期内能量的统计平均值为（23）即 （24）（24）式说明了周期性平稳随机过程 的功率的统计平均值为的分量的功率因此定义的功率谱密度 （25）其中 于是 的傅氏变换为即 反之， 即 （27）（26）、（27）两式说明了 是一对傅氏变换，即周期性平稳随机过程的相关函数的傅氏变换是它的功率谱密度，而它的功率谱密度的反变换是相关函数。
这一结果和（一）中分析的结果是一致的，不过（一）中所讨论的是确定性周期函数，采用的相关函数是时间函数，而本节所讨论的是周期性平稳随机过程，采用的是随机过程的统计相关函数 （四）平稳随机过程的谱分析设 可取离散值，也可取连续值现分两种情况说明 (1):如T取 取离散值;(2)如 取连续值. 在以下讨论中假定:1 )若 (28) 2) 若 (29)(1)若 是绝对一致收敛的，并记 (30)于是(3 1)为其傅氏系数.因此可得如下定义:定义 设为 平稳随机序列,其相关函数满足公式(28),即 则称 为该序列的功率谱密度函数.(2)若 取连续值,并满足条件必存在,并记(32)(32)式定义了 那么 的反变换是否存在?研究这个问题可利用概率度和特征函数的关系来说明.我们知道概率密度和特征函数间的关系是一对傅氏变换的关系,即而 而且概率密度应该满足 ① ② 特征函数具有非负定性，且已知 是相关函数，它也具有非负定性，且对比 可知两者具有相同的特性，因此如果 的傅氏变换为 ， 则必存在反变换，即（38）而且 该式左边是方差，如果该过程具有各态历经性，则 代表该信号的功 率，于是 代表功率谱密度。
因此对于平稳过程而言，它的相关函数和 功 率谱密度间成为一对。
