因式分解对称式交代式和轮换式.doc

中小学教育资源交流中心 提供因式分解对称式交代式和轮换式因式分解对称式交代式和轮换式1、基本概念 (1)对称式：在一个代数式中，如果把它所含的两个字母互换，式子不改变，那么这个代数式就叫做关于这两个字母的对称式如,,等都是关ab22aabb322333aa babb于的对称式 a b一般地，在一个代数式中，无论把其中哪两个字母互换，式子都不变，那么这个代数式就叫做关于这些字母的对称式，如，，abc222abcabbcca等都是关于的对称式3333abcabc, ,a b c(2)交代式：在一个代数式中，如果把它所含的两个字母互换，得到的式子和原来的代数式只差一个符号，那么这个代数式就叫做关于这两个字母的交代式如把，中ab22ab的两个字母互换，分别为，则，就叫做关, a b()baab 2222()baab ab22ab于的交代式 a b(3)轮换式：在一个代数式中，如果把所含字母顺次替换(即第一个字母换成第二个字 母，第二个字母换成第三个字母，以此类推，最后一个字母换成第一个字母)，式子不变， 那么这个代数式就叫做关于这些字母的轮换对称式，简称轮换式，如，abc，等都是关于的轮换式。

abbcca3333abcabc, ,a b c2、齐次对称式的一般形式 (1)二元齐次对称式二元一次齐次对称式：；)(baL二元二次齐次对称式：；MabbaL)(22二元三次齐次对称式：)()(33baMabbaL(2)三元齐次对称式三元一次齐次对称式：；)(cbaL三元二次齐次对称式：；)()(222cabcabMcbaL三元三次齐次对称式：)()([)(22233acbcbaMcbaLNabcbac)](2其中 L，M，N 都是待定的常数，不含有 ,a b c3、基本性质(1)对称式一定轮换式，但轮换式不一定是对称式例如是轮换式，但accbba222把互换，得到，显然它不是关于的对称式 a bbccaab222, a b中小学教育资源交流中心 提供 (2)两对称式的和、差、积、商一定是对称式；两轮换式的和、差、积、商一定是轮换 式 (3)两交代式的积是对称式；一对称式和一交代式的积是交代式如(对称式×交代式=交代式)；交代式22))((bababa)()())((222babababa×交代式=对称式)。

4)有若干个字母的交代式，一定能被其中任意两个字母的差整除，如交代式能22ba 被整除)ab对于轮换式的因式分解，常用的方法是选定一个字母(例如)作主元，将其余的元看成x 确定的数，然后用因式定理来确定它的因式，再利用轮换式的特征，定出几个相应的因式 例如，对一个关于的轮换式，如已定出是它的一个因式，则都是它的zyx,,yx xzzy , 因式 4、对称式、交代式和轮换式的因式分解例 1、分解因式)()()(222bacacbcba解：由于原式是关于的三次齐次交代式，根据性质(4)，它一定能被，, ,a b cab，整除，即能被整除bcca))()((accbba但是三次齐次交代式(性质(3))，))()((accbba∴)()()(222bacacbcba)())((accbbaL令，则 3+(－3)+(－1)=L(－1)·3·(－2)∴L=11, 2, 1cba因此)()()(222bacacbcba)())((accbba例 2、分解因式)()()(233yxzxzyzyx解：由于原式是关于的四次齐次交代式，根据性质(4)，它一定能被, ,x y z整除，即能被整除。

xzzyyx,,))()((xzzyyx但是三次齐次交代式(性质(3))，))()((xzzyyx∴原式=其中是一次齐次对称式(性质(3))))()()((xzzyyxzyxL)(zyxL令，则 ∴L=－10, 1, 2zyxL1)2(10)2(8因此))()(()()()()(233xzzyyxzyxyxzxzyzyx例 3、分解因式555)()()(accbba解：原式是关于的五次齐次交代式，仿上两例知它能被整除，, ,a b c))()((accbba因此原式还应有一个二次齐次对称式的因式)()(222cabcabMcbaL中小学教育资源交流中心 提供∴＝[]555)()()(accbba)()(222cabcabMcbaL))()((accbba令，则 2L－M=15，令，则 5L+2M=151, 1, 0cba2, 1, 0cba解 得 L=5，M=－5   1525152 MLML∴555)()()(accbba))()()((5222accbbacabcabcba例 4、分解因式。

abccba3333解：由于原式是关于的三次齐次对称式，如果它能分解，则必有一个一次齐次对, ,a b c称式做为因式，而另一个因式应是二次齐次对称式abc)()(222cabcabMcbaL∴原式=[])(cba)()(222cabcabMcbaL令，则 L=1；1, 0cba令，则 2L+M=1，M=－11, 0cba∴=abccba3333)(cba)(222cabcabcba例 5、分解因式5555)(zyxzyx解：原式是关于的五次齐次对称式，所以它如果能分解，必有一个一次对称式因, ,x y z 式我们判断是否是它的因式：xy假设=Q(Q 是整式)，5555)(zyxzyx()xy令，由知原式有因式xy 05555zyyzxy同理知，都是原式的因式yzzx但是三次齐次对称式，所以原式应有一个二次齐次对称式的因式：))()((xzzyyx(性质(3)))()(222zxyzxyMzyxL∴5555222()()()()[ ()()]xyzxyzxyyz zx L xyzM xyyzzx令，则 2L+M=15；1, 0zyx令，则 L+M=10。

1zyx解 得 L=M=5   10152 MLML∴5555222()5()()()()xyzxyzxyyz zx xyzxyyzzx例 6、分解因式：abccbacabcab))((中小学教育资源交流中心 提供解：原式是一个关于的对称式，取为主元，原式可看成是一个关于的二次多cba,,aa项式当时，原式由因式定理，原式含有因式由)(afba0)(22cbcbbf()ab对称性，原式还含有因式由于已是关于的三次式，))((accb))()((accbbacba,,而原式也只是关于的三次式，故原式不会再由其他因式了但原式与cba,,还可能相差一个常数因数，故设))()((accbbaabccbacabcab))((①))()((accbbak这是一个关于的恒等式，可通过在等式的两边使取一些特殊值来求出例cba,,cba,,k如，取，代入①式，得，从而所以1cbak88 1k原式=))()((accbba说明：上述解法中的待定系数也可通过观察确定，由观察易知，①式左边的系数, k2a是，而右边关于的系数是，故。

cb 2a()k bc1k如果一个多项式的所有项关于各字母的次数相同，则称为齐次多项式；否则，称为非 齐次多项式由于在对称式或轮换式中同型项的系数相同，所以三元二次齐次对称式的一般形式是；三元一次非齐次对称式的一般形式是222()()a xyzb xyyzzx这里都是常数，三元二次非齐次对称式的一般形式是上面两个式子之dzyxc)(dcba,,,和 把对称式或轮换对称式作因式分解时，应注意原式是齐次的还是非齐次的，并由此确 定因式的形式例 7、分解因式：555)()()(xzzyyx解：原式是五次齐次轮换式，仿照例 8 的办法知，，都是它的一次因式yx xzzy , 由原式的齐次性，它还有一个二次齐次因式由轮换性，这个因式的形式必是；(若为，由轮换式就会有另两个因式222()()a xyzb xyyzzx222zyx及，这样原式就至少为 9 次)，这里为待定系数于是，便有222xzy222yxzba,原式=)]()()[)()((222zxyzxybzyxaxzzyyx取，代入上式得；取，得1,1,0xyz 215ab0, 1, 2zyx5215ab关于的两式联立，解得。

所以ba,5, 5ba原式=))()()((5222zxyzxyzyxxzzyyx例 8、分解因式：))()(()()()(333accbbabacacbcba中小学教育资源交流中心 提供解：原式是四次非齐次轮换式，易知是它的(一次齐次)因式由于原式accbba,,是非齐次的，它的另一个因式必是一次非齐次式，设为待定于是原式=lklcbak,,)(])()[)()((lcbakaccbba取，得；取，得解得所1,2,0abc462kl 1, 1ba, 0cl 22 1, 1kl以原式=) 1)()()((cbaaccbba上面三个例子都是用求根法分解因式，但并非所有的对称式都能按照这种方法来分解 因式例 9、分解因式：444)(yyxx分析：原式是二元四次齐次对称式，很难看出取什么值(关于的表达式)能使它为零xy 这里不加证明的告诉读者如下的结论：任何一个二元对称式都可以用及表示出来yx xy 例如=3223444464)(xyyxyxyxyx224)(2)(4)(xyyxxyyx对于给定的对称式，寻求上面这种样子的具体表示方法，对解决某些代数求值问题及 利用韦达定理解某些二次方程的问题是很有用的。

解：由分析中所得表示可见原式==])()(2)[(2224xyyxxyyx22222)(2]2)[(2yxyxxyyx在一个含有若干个元的多项式中，如果互换任意两个元的位置，多项式不变，这种多项式叫做对称多项式(简称对称式)例如，是二元对称多项式，444)(yyxx是三元对称多项式xyzzyx3333一个关于的多元多项式，若依某种顺序把字母进行轮换(如把换成，wzyx,,,,Lxy 换成换成)，多项式不变，这种多项式叫做轮换对称多项式(简称轮换式)例如，ywz,,Lx都是三元轮换对称式))()(( ,222bacacbcbaxzzyyx显然，对称多项式都是轮换对称多项式，而轮换对称多项式则不一定是对称多项式例如，是轮换式，但因互换，得到的是，这已不是原式，222x yy zz xyx,yzzxxy222所以原式不是对称式 对于轮换式的因式分解，常用的方法是选定一个字母(例如)作主元，将其余的元看成x 确定的数，然后。