2021_2022学年新教材高中数学第二章平面解析几何2.2.4点到直线的距离训练含解析新人教B版选.pdf

word 1 / 6 第二章平面解析几何2.2 直线及其方程2.2.4 点到直线的距离课后篇 巩固提升必备知识基础练1.原点到直线x+ 2y-5=0 的距离为 () A.1 B.3C.2 D.5答案 D 解析 d=|0+20-5|12+22= 5.2.直线 l 通过两直线7x+5y-24= 0和 x-y= 0 的交点 ,并且点 (5,1)到 l 的距离为 10,则 l 的方程是 () A.3x+y+ 4= 0 B.3x-y+ 4= 0 C.3x-y-4= 0 D.-x+3y-4= 0 答案 C 解析 由7?+ 5? -24 = 0,? -?= 0,得 x=y= 2, 直线 7x+5y-24=0和 x-y= 0 的交点为 (2,2).当直线 l 的斜率存在时 ,设直线 l 的方程为 y-2=k(x-2),即 kx-y+ 2-2k=0.点(5,1)到 l 的距离 d=|5? -1+2 -2? |?2+1= 10, 解得 k=3, 直线 l 的方程为3x-y-4= 0.当直线 l 的斜率不存在时,l:x=2,不满足题意 .综上所述 ,直线 l 的方程为3x-y-4= 0.3.已知两平行直线x+2y+m= 0 与 2x-ny-4=0 之间的距离是 5,若 m0,则 m+n= () A.0 B.-1 C.1 D.-2 答案 B 解析两条直线平行,所以2?=-12,解得 n=-4, 直线 2x-ny-4= 0? 2x+4y-4=0? x+ 2y-2=0.又直线 x+2y+m= 0 与直线 x+2y-2= 0之间的距离是 5, 则|?+2 | 5= 5,解得 m=3 或 m=- 7(舍去 ), m+n= 3-4=- 1.4.已知点 A(1,3),B(3,1),C(-1,0),则 ABC 的面积等于 () A.3 B.4 C.5 D.6 答案 C word 2 / 6 解析 设 AB 边上的高为h,则 S ABC=12|AB| h, |AB|=(3-1)2+ (1-3)2=2 2, AB 边上的高 h 就是点 C 到直线 AB 的距离 , AB 边所在的直线方程为? -31-3=? -13-1, 即 x+y- 4=0.点 C 到直线 x+y- 4=0 的距离为|-1+0 -4| 2=52,因此 ,SABC=12 22 5 2= 5.5.直线 l 过点 A(3,4),且与点 B(-3,2)的距离最远 ,则直线 l 的方程为 () A.3x-y-5= 0 B.3x-y+ 5= 0 C.3x+y+ 13=0 D.3x+y- 13=0 答案 D 解析 由题意知 ,当 l 与 AB 垂直时 ,符合要求 , 因为 kAB=4-23-(-3)=13, 所以直线 l 的斜率 k=-3.所以直线 l 的方程为y-4=- 3(x-3), 即 3x+y- 13= 0.6.已知 0k0)在两坐标轴上的截距相等,则直线 l1与直线 l2:3x+3y-1=0 间的距离为() A.4 23B. 2C. 22或 2D.0 或 2答案 A 解析直线 l1:mx+ 2y-4-m=0(m0)在两坐标轴上的截距相等,?+4?=?+42,m=2.直线 l1:x+y- 3=0, 即 3x+3y-9= 0.故直线 l1与直线 l2:3x+3y-1= 0间的距离为|-1-(-9)| 9+9=423.故选 A.15.若直线 l1:ax+y- 1= 0与直线 l2:x+ay+ 1= 0平行 ,则两条平行直线之间的距离为() A.1 B. 2C.2 D.2 2答案 B 解析 直线 l1:ax+y- 1=0 与直线 l2:x+ay+ 1=0 平行 ,则 a2-1= 0,解得 a=1.当 a=- 1 时,直线 l1:x-y+ 1=0 与直线 l2:x-y+ 1= 0 重合 ,故舍去 .当 a=1 时,直线 l1:x+y- 1= 0 与直线 l2:x+y+ 1= 0 平行 .故两条平行直线之间的距离d=|-1-1|2= 2.故选 B.16.已知两条平行直线l1,l2分别过点P(1,1),Q(0,-1),当 l1,l2间的距离最大时,直线 l1的方程为 .答案 x+2y-3= 0 word 5 / 6 解析 由题意可得 ,l1,l2间的距离最大时,PQ 和这两条直线都垂直.由于 PQ 的斜率为1+11-0= 2,故直线 l1的斜率为 -12,故它的方程是y-1=-12(x-1),化简为 x+2y-3= 0.17.已知直线过两直线x- 3y+ 1= 0 和 3x+y- 3= 0 的交点 ,且原点到该直线的距离为12,则该直线的方程为 .答案 x=12或 x- 3y+ 1= 0 解析 联立 ? - 3?+ 1 = 0, 3?+ ? - 3 = 0,解得 ?=12,?=32,故交点的坐标为A(12, 32) .当经过点A 的直线的斜率不存在时,其方程为x=12,原点 (0,0)到直线 x=12的距离为12,符合题意 ; 当直线斜率存在时,设经过点A的直线的方程为y- 32=k(? -12),即 kx-y-12k+ 32=0,由于原点 (0,0)到方程为kx-y-12k+ 32= 0 的直线的距离d=|-12?+ 32|1+?2=12, 解得 k=33,故所求直线的方程为x- 3y+1= 0.18.已知三角形的三个顶点分别是A(4,1),B(7,5),C(-4,7),求角 A的平分线的方程.解 设 P(x,y)为角 A 的平分线上任一点, 则点 P 到直线 AB 与到直线 AC 的距离相等 ,由两点式得直线AB 的方程为? -15-1=? -47-4, 即 4x-3y-13=0,直线 AC 的方程为? -17-1=? -4-4-4, 即 3x+4y-16=0.所以由点到直线的距离公式, 得|4? -3? -13| 42+ (-3)2=|3?+4? -16|32+42, 即|4x-3y-13|=| 3x+4y-16|, 即 4x-3y-13=(3x+4y-16), 整理得 x-7y+3=0 或 7x+y- 29=0.易知 x-7y+3=0 是角 A 的外角平分线的方程,7x+y- 29=0 是角 A 的平分线的方程.19.如图 , ABC 中,顶点 A(1,2),BC 边所在直线的方程为x+3y+1= 0,AB 边的中点D(0,1).(1)求 AB 边所在直线的方程; (2)若|AC|=|BC| ,求 AC 边所在直线的方程.解 (1)AB 边的中点为D(0,1), AB边所在直线的方程为? -10-1=? -21-2, 即 x-y+ 1=0.(2)|AC|=|BC| ,点 C 段 AB的垂直平分线x+y- 1= 0 上,由? + ? -1 = 0,? + 3? + 1 = 0,得 ? = 2,? = -1,word 6 / 6 即点 C 的坐标为 (2,-1),又点 A(1,2), AC 边所在直线的方程为? -12-1=? -2-1-2, 即 3x+y- 5=0.学科素养拔高练20.(多选 )S=直线 lsin?x+cos?y=1,m,n 为正常数 , 0,2 ),下列结论中错误的是() A.当 =4时,S中直线的斜率为?B.S中所有直线均经过同一个定点C.当 mn 时,S中的两条平行直线之间的距离的最小值为2nD.S中的所有直线可覆盖整个直角坐标平面答案 ABD 解析 当 =4时,sin = cos ,S中直线的斜率为-?,故 A 不正确 ; 根据sin?x+cos?y=1,可知 S中所有直线不可能经过一个定点,B 不正确 ; 当 mn 时,S中的两条平行直线间的距离为d=2sin2?2+cos2?22n,即最小值为2n,C 正确 ; (0,0)不满足方程 ,S中的所有直线不可覆盖整个平面,D 不正确 .21.已知 P 为等腰 ABC 的底边 BC 上一点 (不含端点 ),PMAB 于点 M,PNAC 于点 N,证明:|PM|+|PN| 为定值 .证明 以 BC 的中点 O 为原点建立如图所示的直角坐标系,设 B(-a,0),C(a,0)(a 0),A(0,b),P(x1,0),a,b 为定值 ,-ax1 0.所以 AB 的方程是bx-ay+ab= 0,AC 的方程是 bx+ay-ab= 0.由点到直线的距离公式,得|PM|=|?1+? |?2+ ?2,|PN|=|?1-?|?2+?2.因为 a0,b0,所以 ab0,-ab 0,bx1-ab0.所以 |PM|+|PN|=?1+? -(?1-?)?2+?2=2?2+?2为定值 .同理可求证 ,当 b0 时,|PM|+|PN|=-2?2+?2为定值 .。