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斜波产生的根源普朗特—梅耶膨胀波斜激波关系式流过尖楔与圆锥的超音速流激波干扰与反射脱体激波激波-膨胀波理论及其在超音速翼型中的应用图9.5 第九章路线图空气动力学英文chapter入射激波(Incident shock wave): 点A处产生的斜激波反射激波（Reflected shock wave): 入射激波打到水平壁面B点，不会自动消失，而是产生另外一个由B点发出的斜激波，以保证激波后流动满足流线与物面相切的边界条件这个由B点发出的斜激波就是反射激波空气动力学英文chapter激波反射与干扰多种多样，在本节中我们给出如下几种常见类型：•马赫反射（Mach Reflection) 在给定偏转角θ的条件下，假设M1稍稍大于能在压缩拐角处产生直的斜激波所需要的最小马赫数值，这时，在角点处会存在一个直的入射斜激波然而，我们知道通过激波马赫数下降，即 M2

这个正激波保证了上壁面处的壁面边界条件另外，由正激波上分支出一个弯的反射激波向下游传播如图9.18所示的这种波型，称为马赫反射反射波后的特性没有理论方法求解，可采用数值解法求解空气动力学英文chapter马赫反射图示空气动力学英文chapter•右行、左行激波干扰 (Intescetion of right- and left-running shock waves)A:左行波B:右行波EF:滑移线C:激波B的折射波D:激波A的折射波折射：Refracted 滑移线：Slip line空气动力学英文chapter• 两左行激波干扰两同向激波相交形成一更强的激波CD, 同时伴随一个弱反射波CE这一反射波是必须的，以调节保证滑移线CF分开的4区和5区速度方向相同空气动力学英文chapter9.5 DTACHED SHOCK WAVE IN FRONT OF A BLUNT BODY 钝头体前的脱体激波Shock detachment distance ：激波脱体距离；Sonic line:音速线空气动力学英文chapter特别要注意：膨胀过程是一个等熵过程要解决的问题是：已知上游马赫数M1及其它流动特性(区域1），求通过偏转角θ膨胀后的下游（区域2）的特性。

9.6 PRANDTL-MEYER EXPANSION WAVES 普朗特-梅耶膨胀波空气动力学英文chapter考虑一个以无限小的偏转dθ 引起的非常弱的波，如上图所示这个波实际上就是与上游速度夹角为μ的马赫波我们前面已经证明了通过斜波波前波后的切向速度分量保持不变所以将波前速度的大小与方向用AB矢量线段表示画在波后，就与表示波后速度大小和方向的AC矢量线段构成一个三角形ABC三个内角的大小如图所示注意,波前波后切向速度分量不变保证了CB垂直于马赫波空气动力学英文chapter参照图9.23,将(9.32)式从偏角为零，马赫数为M1的区域1，积分到偏角为θ，马赫数为M2的区域2：(9.32)(9.33)空气动力学英文chapter将(9.39)式代入到（9.33)式，得到：（9.40)（9.41) 被称为Prandtl-Meyer函数，其具体表达式如下：（9.42)因此，（9.40)的积分可以表示为：（9.43)空气动力学英文chapter（9.43) is given by Eq. (9.42) for a calorically perfect gas. The Prandtl-Meyer function is very important; it is the key to calculation of changes across an expansion wave. Because of its importance, is tabulated as a function of M in App. C. For convenience, values of are also tabulated in App.C.对于量热完全气体, 由(9.42)式给定。

Prandtl-Meyer 函数 非常重要，它是计算通过膨胀波气体特性变化的关键；由于其重要性， 作为马赫数M的函数在附录C中以列表形式给出同时马赫角 作为M的函数也在附录C中给出空气动力学英文chapter下面我们应用以上结果给出求解图9.23所示问题的具体步骤：1.对于给定M1，由附录C查得 2.由 计算 3.根据第2步计算出的 ，查附录C得到M24.因为膨胀波是等熵的，因此p0和T0通过膨胀波保持不变即T0,1=T0,2, p0,1=p0,2由(8.40)式， (8.42)式，我们有（9.44）（9.45）空气动力学英文chapter9.7 SHOCK-EXPANSION THEORY : APPLICATIONS TO SUPERSONIC AIRFOILS激波——膨胀波理论及其对超音速翼型的应用 例1 平板翼型：空气动力学英文chapter(9.46)(9.47)(9.48)(9.46)-(9.48)式中，p3 由斜激波特性计算而得，p2由膨胀波特性计算而得。

象这样由激波-膨胀波理论(shock-expansion theory)计算得到解是精确解图9.26中,平板翼型上表面为前缘处膨胀波后的压强p2， 下表面为前缘处斜激波后的压强 p3， p3 >p2，因此平板翼型受到合力R’的作用，可分解为升力L’和阻力D’： 空气动力学英文chapter•什么情况下可以利用激波-膨胀波理论来求解翼型的气动特性？Whenever we have a body made up of straight-line segments and the deflection angles are small enough so that no detached shock waves occur, the flow over the body goes through a series of distinct oblique shock and expansion waves, and the pressure distribution on the surface (hence the lift and drag) can be obtained exactly from both the shock- and expansion wave theories discussed in this chapter. 只要翼型是由直线段组成的，且流动偏转角足够小能保证没有脱体激波出现，那么绕翼型的超音速流动就是由一系列斜激波、膨胀波组成的，因此，我们可以应用激波-膨胀波理论精确地求解翼型表面的压力分布进而翼型的升力和阻力。

空气动力学英文chapter例2：对称菱形翼型（Diamond-shape airfoil)受力分析：a、c面压强均匀相等，用表示p2，为压缩偏转角为εε的斜激波后的压强；b、d面压强均匀相等，用p3表示,为膨胀偏转角为2 2ε的膨胀波后的压强空气动力学英文chapter因为流动是上下 对称的，所以L’=0；而由于p2>p3, 所以会有阻力分量D’即：（9.49)(9.49)式中，p2 由斜激波特性计算而得，p3由膨胀波特性计算而得而且这些压强是超音速无粘流绕菱形翼型的精确值空气动力学英文chapter计算翼型气动力的一般公式复习：（1.1)（1.2)（1.7)（1.8)空气动力学英文chapter讨论：这一节的结果说明了无粘、超音速流动的一个非常重要的特征由（9.48)式和(9.49)式可以看出，二维翼型在超音速流中将受到一定的阻力这和我们在第3、4章中讨论的低速不可压缩流动绕二维物体阻力为零的结果恰恰相反在超音速流中，二维物体要受到的阻力的作用，这一阻力被称为波阻降低波阻是超音速翼型设计中的一个重要考虑因素波阻的存在在本质上与翼型产生的激波有关，即与通过激波的熵增和总压损失有关。

在同样来流马赫数下，翼型的厚度越大，其零升波阻越大空气动力学英文chapter例9.8 计算来流马赫数为3，迎角为5o的平板翼型的升力系数和阻力系数解：根据图9.26, 首先计算上表面的p2/p1. 由M1=3, 查附表C，得 由 及 ，得 ；查附表C得M2=3.27所以： 其中：p0,1/p1 与 p0,2/p2均由附表A查得空气动力学英文chapter第二步，计算下表面的p3/p1由图9.7可知，对于M1=3， ,β=23.10 ，因此 查附表B，对于Mn,1=1.177, p3/p1=1.458空气动力学英文chapter本例的阻力系数还可利用下面关系简便求解：因此：空气动力学英文chapter习题 9.79.7半顶角为30.230.2的尖楔放入 和 的自由流中。

PitotPitot管放在尖楔上表面的激波后面，计算PitotPitot管所测得的压强的大小? ?解：由 图可知： ， 由附录A.2得：空气动力学英文chapter查附录A.2得：当M=3.5时，查表A.1： 则 ：空气动力学英文chapter习题9.14 考虑一个如图9.27所示的对称菱形翼型，半顶角 为10翼型攻角 为15 来流马赫数3计算翼型的升力和波阻系数For region 2 : 1=49.76 2= 1+ =49.760+50=54.760空气动力学英文chapter空气动力学英文chapter空气动力学英文chapter空气动力学英文chapter空气动力学英文chapter令 为对称菱形的边的长度空气动力学英文chapter空气动力学英文chapter习题9.16 考虑一个体轴与来流垂直的圆柱体和一个迎角为零、半顶角为50的对称菱形翼型。

菱形翼型厚度与圆柱的直径相同圆柱的阻力系数为4/3（基于迎风投影面积），计算圆柱阻力与对称菱形翼型的阻力的比由本题计算结果（比较超音速流中的钝头体和尖头细长体的气动性能），可以得出什么结论？dtd=t空气动力学英文chapter解： 对于基于迎风投影面积的阻力系数为C Cd d圆柱体，其阻力为：对于对称菱形翼型：空气动力学英文chapterTo calculate p2/ p1, we have, for M1 =5 and 空气动力学英文chapterFrom Appendix B,for Also,To calculate，the flow is expended through an angle of From Table C,for空气动力学英文chapterHence,(nearest entry)From Appendix A:forforFrom Appendix B:Thus,空气动力学英文chapter因此提示：钝头体的阻力要大得多，这就是我们为什么在超音速飞行器中避免使用钝头前缘的原因而在超高音速条件下，钝头前缘可以减小气动热）空气动力学英文chapter9.9 小结 超音速多维流动中的无限微弱扰动产生与来流夹角为马赫角μ的马赫波。

马赫角的定义如下：空气动力学英文chapter 通过斜激波流动特性的变化由斜激波前的法向速度分量决定对于量热完全气体，上游法向马赫数是决定性参数通过斜激波的流动参数变化可利用第8章中的正激波关系式对应波前法向马赫数Mn,1求得通过斜激波的气体特性变化取决于两个参数，M1,β或M1,θ图9.7给出了M1,β,θ曲线，必须仔细地研究它空气动力学英文chapter 斜激波入射到固壁表面上将会从表面反射,反射波以保证物面处流动相切条件的形式出现.不同斜激波会相互干扰,起干扰结果取决于激波的具体形式. 决定中心膨胀波的参数是普朗特-梅耶函数ν(M)联系下、上游马赫数M1、M2及偏转角θ的重要方程是：空气动力学英文chapter。