《常微分方程》答案习题(17).pdf

习题 6.3 1. 试求出下列方程的所有奇点,并讨论相应的驻定解的稳定性态 (1))32(4/1)1 (yxydtdyyxxdtdx 解: 由0)32(4/10)1 (yxyyxx得奇点(0,0),(0,2),(1,0),(1/2,1/2) 对于奇点(0,0), A=2/1001 由AE =0 得1=1>0,2=1/2>0 所以不稳定 对于奇点(0,2),令 X=x,Y=y-2, 则 A=2/12/301 得1=-1, 2=-1/2 所以渐进稳定 同理可知,对于奇点(1,0),驻定解渐进稳定 对于奇点(1/2,1/2),驻定解渐进不稳定 (2) yxxyyxdtdyxyyxdtdx2245665469 解: 由045660546922yxxyyxxyyx 得奇点(0,0),(1,2),(2,1) 对于奇点(0,0)可知不稳定 对于奇点(1,2)可知不稳定 对于奇点(2,1)可知渐进稳定 (3) 0),(2xyxdtdyydtdx 解:由0, 0)(02xyxy得奇点(0,0),(-1/,0) 对于奇点(0,0) 驻定解不稳定 对于奇点(-1/,0) 得驻定解不稳定 (4) )3/22)((322xyxxyyxydtdyxydtdx 解: 由0)3/22)((0322xyxxyyxyxy得奇点(0,0),(1,1) 对于奇点(0,0)得驻定解不稳定 对于奇点(1,1)得驻定渐进稳定 2. 研究下列纺车零解的稳定性 (1) 0652233xdtdxxxdtddtd 解:a0=1>0,a1=5>0,a2=6>0 61152>0 a3=1>0 所以零解渐进稳定 (2))(,,为常数xzdtdzzydtdyyxdtdx 解:A=011001 由AE =0 得01333223 得1=1, 2=i2321 i) +1/2<0 即<-1/2,渐进稳定 ii) +1/2>0 即>-1/2 不稳定 iii) +1/2=0 即=-1/2 稳定 。