次型与次曲面.ppt

1. 二次型的概念2. 化二次型为标准型3. 惯性律、二次型的规范形4. 二次型的正定性5. 二次曲面1234567891011配方法12例含有平方项1314解例由于所给二次型中无平方项，所以15163. 惯性律、二次型的规范形171819202122232425262728定义: 若曲面S与三元方程F (x, y, z) =0有如下关系:(1) S上任一点的坐标满 足方程F (x, y, z) =0;(2) 不在S上点的坐标都不 满足方程F (x, y, z) =0;那末, 方程F (x, y, z) =0叫做曲面S的方程, 而曲面S 叫做方程F (x, y, z) =0的图形.F (x, y, z) = 0Sxyzo29(x x0)2 + (y  y0)2 + (z  z0)2 = R2 (3.2)称方程(3.2)为球面的标准方程.特别: 当球心在原点O(0, 0, 0)时,球面方程: x2 + y2 + z2 = R2 求球心为M0(x0, y0,z0), 半径为R的球面的方程.解：对于球面上任一点M(x, y, z), 都有|M M0|2 =R2.即M0MR3031xyzo引例: 考虑方程x2 + y2 = R2所表示的曲面.在xoy面上, x2 + y2 = R2 表示 以原点O为圆心, 半径为R的圆.xoy面上的圆 x2 + y2 = R2 叫做柱面的准线.平行于 z 轴的直线 L 叫做柱面的母线.曲面可以看作是由平行 于 z 轴的直线L沿xoy面上的 圆x2 + y2 = R2 移动而形成, 称 该曲面为圆柱面.olM(x, y, 0)32定义: 平行于定直线并沿定曲线C移动直线 L 形成的轨迹叫做柱面.定曲线C叫做柱面的准线.动直线 L 叫做柱面的母线.给定了一条准线和母线的方向就可以确定 一个拄面,但拄面的准线不是唯一的,每一条和 所有的母线都相交的曲线都可以充当准线. 经 常用一个和母线垂直的平面(拄面的正截)去截 拄面,以截得的一条平面曲线作准线.33定理:母线平行于坐标轴的柱面方程.1 方程F (x, y) =0 表示:2 方程F (x, z) =0 表示 :3 方程F (y, z) =0 表示:母线平行于 z 轴的柱面, 准线为xoy面上的曲线 C: F (x, y) = 0 .母线平行于 y 轴的柱面, 准线为xoz面上的曲线 C: F (x, z) = 0 .母线平行于 x 轴的柱面, 准线为yoz面上的曲线 C: F (y, z) = 0 . 3435例 下列方程各表示什么曲面？（母线平行于z轴的椭圆柱面）（母线平行于x轴的双曲柱面）（母线平行于y轴的抛物柱面）注：上述柱面的方程都是二次的，都称为二次柱面。

36定义: 以一条平面曲线C绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面, 这条定直线叫旋转曲面的轴.曲线C称为放置曲面的母线oC纬线经线37母线在坐标面而旋转轴为坐标轴的旋转曲面：已知yoz面上一条曲线C, 方程为f (y, z) = 0, 曲线 C绕 z 轴旋转一周就得一个旋转曲面.设M1(0, y1`, z1)是C上任意一点, 则有f( y1, z1) = 0当C绕 z 轴旋转而M1随 之转到M (x, y, z)时, 有将z1 = z, 代入方程F( y1, z1) = 0, 38得旋转曲面的方程:规律： 当坐标平面上的曲线C绕此坐标平面的 一个坐标旋转时，要求该旋转曲面的方程， 只要将曲线C在坐标面里的方程保留和旋转轴 同名的坐标，而以其它两个坐标平方和的平方 根来代替方程中的另一坐标39解 圆锥面方程40曲线上的点都满足 方程，满足方程的点都在 曲线上，不在曲线上的点 不能同时满足两个方程.空间曲线C可看作空间两曲面的交线.特点：一、、空间曲线的一般方程41例2、求在xOy 坐标面上，半径为R，圆心为原点的 圆的方程。

解：例1、写出Oz轴的方程解：Oz轴可看成两个平面的交线，如或可见，空间曲线的一般方程的表示不是唯一的 42例3: 方程组表示怎样的曲线?解: 方程方程.它的准线xOy面上的圆, 圆心在点所以方程组表示上述半球面与圆柱面的交线. （维维安尼曲线Viviani）表示球心在原点O, 半径为a的上半球面.表示母线平行于z 轴的圆柱面43二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程将曲线C上动点的坐标x, y, z都表示成一个 参数t的函数. x = x (t)y = y (t) (1)z = z (t)当给定 t = t1时, 就得到C上一个点(x, y, z), 随着 t 的变动便可得曲线C上的全部点. 方程组(1)叫做 空间曲线的参数方程.44三、空间曲线在坐标面上投影三、空间曲线在坐标面上投影以曲线C为准线, 母线平行于z 轴(即垂直xOy面)的柱面叫做曲线C关于xOy面的投影柱面, 投影柱面与xOy面的交线叫做空间曲线在xOy面上的投影曲线, 或简称投影. 设空间曲线C的一般方程F (x, y, z) = 0 G (x, y, z) = 0(2)45由方程组(2)消去z后得方程H (x, y) = 0 (3)方程(3)表示一个母线平行于z 轴的柱面, 曲线C 一定在曲面上.所以(3)就是曲线C关于xOy面的投影柱面的方程,它与xOy面的交线就是曲线C在xOy面的投影曲线,方程为:H (x, y) = 0 z = 0注: 同理可得曲线在yOz面或xOz面上的投影曲线方程.46例1: 已知两个球面的方程分别为:x2 + y2 + z2 = 1和 x2 + (y 1)2 + (z1)2 = 1求它们的交线C在xOy面上的投影曲线的方程.解: 联立两个方程消去 z ,得这是母线平行于z 轴的椭圆柱面,两球面的 交线C在xOy面上的投影曲线方程为47例2: 设一个立体由上半球面 和锥面 所围成, 求它在xoy面上的投影.解: 半球面与锥面的交线为由方程消去 z , 得 x2 + y2 = 1yxzOx2 + y2  1这是一个母线平行于z 轴的圆柱面.于是交线C 在xoy面上的投影曲线为x2 + y2 = 1 z = 0这是xoy面上的一个圆.所以, 所求立体在xoy面上的投影为: x2 + y2  148二次曲面的定义：三元二次方程相应地平面被称为一次曲面．讨论二次曲面形状的平面截痕法：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌．以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．所表示的曲面称之为二次曲面．ax2 + by2 + cz2 +dxy + exz + fyz + gx + hy + iz +j = 049例1方程 的图形是怎样的？根据题意有图形上不封顶，下封底．解50例2 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生 成的旋转曲面的方程．旋转双曲面（单叶）（双叶）51旋转椭球面旋转抛物面（长形）（短形）52zoxyO2 用平面z = k去截割(要求 |k |  c), 得椭圆当 |k |  c 时, |k |越大, 椭圆越小; 当 |k | = c 时, 椭圆退缩成点.一.椭球面1 用平面z = 0去截割, 得椭圆533 类似地, 依次用平面x = 0,平面y = 0截割, 得椭圆:特别: 当 a=b=c 时, 方程 x2 + y2 + z2 = a2 , 表示 球心在原点o, 半径为a的球面.54二. 二次锥面zxy5556三. 双曲面1.单叶双曲面57（1）用坐标面 与曲面相截 截得中心在原点 的椭圆.与平面 的交线为椭圆.当 变动时，这种椭 圆的中心都在 轴上.xyozz58xyoz（2）用坐标面 与曲面相截截得中心在原点的双曲线.实轴与 轴相合， 虚轴与 轴相合.双曲线的中心都在 轴上.与平面 的交线为双曲线.实轴与 轴平行,虚轴与 轴平行.实轴与 轴平行,虚轴与 轴平行.z59（3）用坐标面 ， 与曲面相截均可得双曲线.xyozz602. 双叶双曲面xyo61三. 抛物面1.椭圆抛物面用截痕法讨论：（1）用坐标面 与曲面相截截得一点，即坐标原点原点也叫椭圆抛物面的顶点.62与平面 的交线为椭圆.当 变动时，这种椭 圆的中心都在 轴上.与平面 不相交.xyzo63（2）用坐标面 与曲面相截截得抛物线与平面 的交线为抛物线.它的轴平行于 轴顶点（3）用坐标面 ， 与曲面相截均可得抛物线.xyzo64zxyoxyzo椭圆抛物面的图形如下 ：652. 双曲抛物面（马鞍面）6667图形如下：xyzo68697071727374。