湖南省衡阳市耒阳第十一中学2021-2022学年高一数学理测试题含解析.docx
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湖南省衡阳市耒阳第十一中学2021-2022学年高一数学理测试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. （ ）A. B. C. D. 参考答案：A【分析】将代数式变形为，然后再利用两角差的余弦公式可得出结果.【详解】由题意可得，故选：A.【点睛】本题考查两角差的余弦公式的应用，解题的关键就是将系数化为特殊角的三角函数值，考查计算能力，属于基础题.2. 如右图给出了函数，，，的图像，则与函数，，，依次对应的图像是（ ） （A）①②③④ （B）①③②④ （C）②③①④ （D）①④③②参考答案：B略3. 已知向量=（1，2），=（3，1），则﹣=（ ）A．（﹣2，1） B．（2，﹣1） C．（2，0） D．（4，3）参考答案：B【考点】平面向量的坐标运算；向量的减法及其几何意义．【分析】直接利用向量的减法的坐标运算求解即可．【解答】解：∵向量=（1，2），=（3，1），∴﹣=（2，﹣1）故选：B．4. 如图，I是全集，A、B、C是它的子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A．（?IA∩B）∩C B．（?IB∪A）∩C C．（A∩B）∩?IC D．（A∩?IB）∩C参考答案：D【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】先根据图中的阴影部分的元素属于哪个集合，不属于哪个集合进行判定，然后利用集合的交集和补集表示即可．【解答】解：根据题图可知阴影部分中的元素属于A，不属于B，属于C则阴影部分所表示的集合是（A∩?IB）∩C故选D．5. 平行四边形ABCD中,M为BC的中点,若.则=( )A. B. 2 C. D. 参考答案：A【分析】先求出,再根据得到解方程组即得解.【详解】由题意得，又因为，所以,由题意得，所以解得所以，故选:A．【点睛】本题主要考查平面向量的运算法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.6. 函数的零点为：（ ）A． B． C． D．参考答案：A略7. 当a>1时，在同一坐标系中，函数的图象是（ ） A B C D参考答案：A略8. 已知等比数列a1+a4=18，a2a3=32，则公比q的值为（ ）A．2 B． C．或2 D．1或2参考答案：C【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：等比数列a1+a4=18，a2a3=32=a1a4，解得a1=2，a4=16；或a1=16，a4=2．∴2q3=16，或16q3=2，则公比q=2或．故选：C．9. 已知集合，，则等于 （ ）A. B. C. D. 参考答案：C略10. 已知函数，正实数满足且，若在区间上的最大值为2，则的值分别为( )A. B. C. D. 参考答案：A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 点P（x，y）是﹣60°角终边与单位圆的交点，则的值为 ．参考答案：【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【分析】直接利用任意角的三角函数，求解即可．【解答】解：角﹣60°的终边为点P（x，y），可得：tan（﹣60°）=．故答案为：．12. 已知，的值是 参考答案：略13. 已知函数f（x）的定义域为{x|x∈R，x≠0}，且f（x）为奇函数．当x＜0时，f（x）=x2+2x+1，那么当x＞0时，f（x）的递减区间是 ．参考答案：[1，+∞）【考点】二次函数的性质．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】先确定当x＞0时，f（x）的解析式，利用配方法，即可求函数的递减区间．【解答】解：设x＞0，则﹣x＜0．∵当x＜0时，f（x）=x2+2x+1，∴f（﹣x）=x2﹣2x+1，∵f（x）为奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣x2+2x﹣1=﹣（x﹣1）2，∴当x＞0时，f（x）的递减区间是[1，+∞），故答案为：[1，+∞）．【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．14. 下列各式中正确的有 ．（把你认为正确的序号全部写上）（1）=﹣；（2）已知，则；（3）函数y=3x的图象与函数y=﹣3﹣x的图象关于原点对称；（4）函数是偶函数；（5）函数y=lg（﹣x2+x）的递增区间为（﹣∞，]．参考答案：（3）【考点】复合函数的单调性；指数函数的图象变换；对数函数的单调性与特殊点．【分析】（1）利用指数运算法则进行运算即可；（2）由＜1=logaa，结合对数函数y=logax的单调性的考虑，需要对a分当a＞1时及0＜a＜1时两种情况分别求解a的范围（3）根据函数的图象变换进行变换即可判断；（4）考察函数是偶函数的定义域即可；（5）首先，对数的真数大于0，得x﹣x2＞0，解出x∈（0，1），在此基础上研究真数，令t=x﹣x2，得在区间（，1）上t随x的增大而增大，在区间（0，）上t随x的增大而减小，再结合复合函数的单调性法则，可得出原函数的单调增区间．【解答】解：（1）∵，故错；（2）＜1=logaa则当a＞1时，可得，此时可得a＞1当0＜a＜1时，可得，此时综上可得，a＞1或．故（2）错；（3）函数y=3x的x→﹣x，y→﹣y得函数y=﹣3﹣x，它们的图象关于原点对称，故正确；（4）考察函数是偶函数的定义域[0，+∞），其不关于原点对称，故此函数是非奇非偶函数，故错；（5）：先求函数的定义域：x﹣x2＞0，解出0＜x＜1，所以函数的定义域为：x∈（0，1），设t=x﹣x2，t为关于x的二次函数，其图象是开口向下的抛物线，关于y轴对称∴在区间（，1）上t随x的增大而增大，在区间（0，）上t随x的增大而减小，又∵y=lg（x﹣x2）的底为10＞1 ∴函数y=lg（x﹣x2）的单调递增区间为（0，），故（5）错．故答案为（3）．15. 已知，则 参考答案：略16. 已知幂函数的定义域为，且过点，则满足不等式的的取值范围是 .参考答案：217. 函数过定点 ；参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点（3，1），离心率e=（1）求椭圆C的方程；（2）分别过椭圆C的四个顶点作坐标轴的垂线，围成如图所示的矩形，A，B是所围成的矩形在x轴上方的两个顶点．若P，Q是椭圆C上两个动点，直线OP、OQ与椭圆的另一交点分别为P1、Q1，且直线OP、OQ的斜率之积等于直线OA、0B的斜率之积，试问四边形PQP1Q1的面积是否为定值？若为定值，求出其值；若不为定值，说明理由（0为坐标原点）．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）由题意可得，四条垂线的方程为x=±2，y=±2，A（2，2），B（﹣2，2），可得kOA?kOB=﹣，设P（x1，y1），Q（x2，y2），运用椭圆方程，求得x12+x22=12，讨论若x1=x2，若x1≠x2，运用点到直线的距离公式和三角形的面积公式，以及椭圆的对称性，计算即可得到所求面积为定值．【解答】解：（1）由e=，可得==1﹣e2=，即a2=3b2，又+=1，解得a=2，b=2，即有椭圆的方程为+=1；（2）由题意可得，四条垂线的方程为x=±2，y=±2，A（2，2），B（﹣2，2），可得kOA?kOB=﹣，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则=﹣，|PQ|=，由P，Q在椭圆上，可得y12=4（1﹣），y22=4（1﹣），由x12x22=9y12y22=（12﹣x12）（12﹣x22），即有x12+x22=12，若x1=x2，则P，P1，Q，Q1分别是直线OA，OB与椭圆的交点，四个点的坐标为（，），（﹣，﹣），（﹣，），（，﹣），四边形PQP1Q1的面积为8；若x1≠x2，则直线PQ：y﹣y1=（x﹣x1），化为（y2﹣y1）x﹣（x2﹣x1）y+x2y1﹣x1y2=0，则O到直线PQ的距离为d=，即有△OPQ的面积为S=|PQ|?d=|x1y2﹣x2y1|====2，由椭圆的对称性可得，四边形PQP1Q1的面积为4S=8．综上可得，四边形PQP1Q1的面积定值8．19. 袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a,b的两个黑球和编号为c,d,e的三个红球，从中任意摸出两个球.（1）求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率：（2）求至少摸出1个黑球的概率．参考答案：（1）；（2）.【分析】（1）记事件恰好摸出个黑球和1个红球，列举出所有的基本事件，确定所有的基本事件数和事件所包含的基本事件数，再利用古典概型的概率公式求出事件的概率；（2）记事件至少摸出个黑球，确定事件所包含的基本事件数，再利用古典概型的概率公式求出事件的概率.【详解】（1）记事件恰好摸出个黑球和1个红球，所有的基本事件有：、、、、、、、、、，共个，事件所包含的基本事件有：、、、、、，共个，由古典概型的概率公式可知，；（2）事件至少摸出个黑球，则事件所包含的基本事件有：、、、、、、，共个，由古典概型的概率公式可知，.【点睛】本题考查古典概型概率的计算，解题的关键在于列举出基本事件，常见的列举方法有枚举法与树状图法，列举时应遵循不重不漏的基本原则，考查计算能力，属于中等题。
20. 已知向量．（1）求的值；（2）若与共线，求实数k的值．参考答案：（1）； （2）.【分析】（1）用坐标表示出，从而求得模长；（2）分别用坐标表示出和，利用向量共线定理，构造方程，求得结果.【详解】（1）（2），与共线解得：21. 本题满分12分）已知函数为奇函数，（1）求函数的解析式； (2) 若，求的值；（3）求函数的值域．参考答案：（1）（2）（3） 22. （12分）为了检测某种产品的质量，抽取了一个容量为100的样本，数据的分组情况与频数如下：1)完成频率分布表；(2)画出频率分布直方图以及频率分布折线图；(3)据上述图表，估计数据落在[10.95,11.35)范围内的可能性；(4)数据小于11.20的可能性是百分之几频率分布表如下：分组频数频率[10.75,10.85)30.03[10.85,10.95)9 [10.95,11.05)130.13[11.05,11.15)160.16[11.15,11.25) 。
