电大微积分初步考试小抄【最新完整版小抄】.doc

电大微积分初步考试小抄一、填空题⒈函数的定义域是（－∞，5）．5－＞0 →＜5⒉ 1 ．，⒊已知，则= ．⒋若，则．⒌微分方程的阶数是　三阶 ．∵6.函数的定义域是（-2，-1）U（-1，∞) ∴7.　2　． 8.若y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3)，则(0) = -6 y=x(x-1)(x-2)(x-3)=(x2-x)(x2-5x+6)=x4-5x3+6x2-x3+5x2-6x=x4-6x3+11x2-6x , （把0带入X）9.或10.微分方程的特解为 y=ex . 又y(0)=1 (x=0 , y=1) 11.函数的定义域是12.若函数,在处连续，则　1　． (在处连续) ∵ （无穷小量x有界函数）13.曲线在点处的切线方程是 ， 14. sin x+c 15.微分方程的阶数为 三阶 16.函数的定义域是（2,3）U（3，∞）17.　1/2　18.已知，则=　27+27ln3　 19.=　ex2+c 20.微分方程的阶数为 四阶 二、单项选择题⒈设函数，则该函数是（偶函数）．∵⒉函数的间断点是（）分母无意义的点是间断点∴⒊下列结论中（在处不连续，则一定在处不可导）正确．可导必连续，伹连续并一定可导；极值点可能在驻点上，也可能在使导数无意义的点上 ⒋如果等式，则（ ）⒌下列微分方程中，（ ）是线性微分方程． 6.设函数，则该函数是（奇函数）．7.当（2 ）时，函数在处连续.8.下列函数在指定区间上单调减少的是（）． 9.以下等式正确的是（）10.下列微分方程中为可分离变量方程的是（）11.设，则（）12.若函数f (x)在点x0处可导，则(，但)是错误的． 13.函数在区间是（先减后增）　14.(）15.下列微分方程中为可分离变量方程的是（）16.下列函数中为奇函数是（）17.当（）时，函数在处连续.18.函数在区间是（先单调下降再单调上升）　19.在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（y = x2 + 3）．20.微分方程的特解为（）．三、计算题⒈计算极限．解:⒉设，求.解：，u= -2x′·(-2x)′=eu·（-2）= -2·e-2x∴y′= -2e-2x+∴dy=(-2·e-2x+)dx⒊计算不定积分解：令u=,u′=∴∴·2du==2(-cos)+c= -2cos⒋计算定积分u=x，v′=ex,v= ex ∴v′dx=uv∴原式=25.计算极限6.设，求解：y1=lncosxy1=lnu1,u=cosx ∴y1=∴dy=()dx7.计算不定积分解：令u=1-2x , u′= -2 ∴8.计算定积分解：u=x,=9.计算极限10.设，求y1=sin3x y1=sinu , u=3x , ∴y′=2xln2+3cos3x ∴dy=(2xln2+3cos3x)dx11.计算不定积分 u=x , v′=cosx , v=sinx12.计算定积分令u=lnx, u′=, du=dx , 1≤x≤e 0≤lnx≤1∴∴原式=1+5·=13.计算极限解：14.设，求解：() , , , )15.计算不定积分解： u=2x-1 ,=2 du=2dx∴16.计算定积分解： u=x , , 四、应用题（本题16分） 用钢板焊接一个容积为4的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？解：设水箱的底边长为x，高为h,表面积为s，且有h= 所以S(x)=x2+4xh=x2+令（x）=0，得x=2因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以x=2，h=1时水箱的表面积最小。

此时的费用为S（2）×10+40=160元欲用围墙围成面积为216平方米的一块矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽各选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？ 设长方形一边长为x，∵S=216 ∴另一边长为216/x∴总材料y=2x+3·216/x=2x +y′=2+648·(x-1)′=2+648·(-1·)=2 - y′=0得2 = ∴x2=324 ∴x=18∴一边长为18，一边长为12时，用料最省. 　欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？设底边长为a ∴底面积为a2a2h=v=32 ∴ h=∴表面积为a2+4ah= a2+4a·= a2+y= a2+ , y′=2a+128·( -)=2a-y′=0 得 2a= ∴a3=64 ∴a=4∴底面边长为4， h==2设矩形的周长为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大解：设矩形一边长为x ，另一边为60-x以AD为轴转一周得圆柱，底面半径x，高60-x∴V=得：∴矩形一边长为40 ，另一边长为20时，Vmax作业（一）————函数，极限和连续一、填空题（每小题2分，共20分）1.函数的定义域是　　　　　　　　． 答案： 2．函数的定义域是　　　　　　　　． 答案： 3.函数的定义域是　　　　　　　　． 答案： 4.函数，则 ． 答案： 5．函数，则　　 ． 答案： 6．函数，则　　 ． 答案： 7．函数的间断点是　　 　　　． 答案： 8.　　　　　． 答案： 1 9．若，则　　　　　． 答案： 2 10．若，则　　　　　． 答案： 1.5； 二、单项选择题（每小题2分，共24分）1．设函数，则该函数是（　）．答案：BA．奇函数 　B．偶函数　　C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数2．设函数，则该函数是（　）．答案：AA．奇函数 　B．偶函数　　C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 3．函数的图形是关于（　）对称．答案：DA． 　B．轴　　C．轴 D．坐标原点4．下列函数中为奇函数是（ C ）．A． B． C． D． 5．函数的定义域为（ ）．答案：DA． B． C．且 D．且 6．函数的定义域是（　）．答案：DA． 　 B．　　C． D． 7．设，则（ ）答案：CA．　 B． 　 C．　 D． 8．下列各函数对中，（ ）中的两个函数相等．答案：D A．， B．，C．， D． 9．当时，下列变量中为无穷小量的是（ ）答案：C.A． 　　　B． C．　 　　D． 10．当（ ）时，函数，在处连续. 答案：BA．0 　　　B．1 C．　　　 D． 11．当（ ）时，函数在处连续 答案：DA．0 　　　B．1 C．　　　 D． 12．函数的间断点是（ ）答案：AA． B． C． D．无间断点三、解答题（每小题7分，共56分）⒈计算极限． 解 2．计算极限 解 3. 解：原式＝4．计算极限 解 5．计算极限． 解 6.计算极限． 解 7．计算极限 解 8．计算极限．解 一、填空题（每小题2分，共20分）1．曲线在点的斜率是　　　　． 答案：2．曲线在点的切线方程是　　　　　 ． 答案： 3．曲线在点处的切线方程是 ． 答案： 4． ． 答案：或5．若y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3)，则(0) = ． 答案：6．已知，则=　　　． 答案：7．已知，则=　　　　　　　　． 答案：8．若，则 ． 答案：9．函数的单调增加区间是　　 　． 答案：10．函数在区间内单调增加，则a应满足 　 ． 答案： 二、单项选择题（每小题2分，共24分）1．函数在区间是（ ）　答案：DA．单调增加　　 B．单调减少 C．先增后减　 D．先减后增2．满足方程的点一定是函数的（ ）答案：C.A．极值点　　B．最值点 C．驻点　D． 间断点3．若，则=（　 ）． 答案：C A. 2　 B. 1 　C. -1　 D. –2 4．设，则（　 ）． 答案：B A． B． C． D．5．设是可微函数，则（ ）． 答案：D A． B． C． D． 6．曲线在处切线的斜率是（ ）． 答案：C A． B． C． D．7．若，则（ ）．答案：C A． B． C． D． 8．若，其中是常数，则（ ）．答案C A． B． C． D． 9．下列结论中（ A ）不正确． 答案：C A．在处连续，则一定在处可微. B．在处不连续，则一定在处不可导. C．可导函数的极值点一定发生在其驻点上. D．若在[a，b]内恒有，则在[a，b]内函数是单调下降的. 10．若函数f (x)在点x0处可导，则( )是错误的． 答案：B A．函数f (x)在点x0处有定义 B．，但 C．函数f (x)在点x0处连续 D．函数f (x)在点x0处可微 11．下列函数在指定区间上单调增加的是（ ）．答案：BA．sinx B．e x C．x 2 D．3 – x12.下列结论正确的有（ ）． 答案：A A．x0是f (x)的极值点，且(x0)存在，则必有(x0) = 0 B．x0是f (x)的极值点，则x0必是f (x)的驻点 C．若(x0) = 0，则x0必是f (x)的极值点 D．使不存在的点x0，一定是f (x)的极值点 三、解答题（每小题7分，共56分）1设，求． 解 或 2．设，求. 解 3．设，求. 。