专题40,概率中单调性与最值问题（原卷版）.docx
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专题40,概率中单调性与最值问题（原卷版） 1 专题 40 概率中的单调性与最值问题 一、题型选讲 题型一 、概率中的单调性问题 例 1、【2021 年高考浙江卷】设 0＜a＜1，则随机变量 X 的分布列是 X 0 a 1 P 13 13 13 则当 a 在（0 ， 1）内增大时， A． ( ) D X 增大 B． ( ) D X 减小 C． ( ) D X 先增大后减小 D． ( ) D X 先减小后增大 例 2、【2021 年高考浙江卷】设 0 1 p < < ，随机变量 的分布列是 0 1 2 P 12p - 12 2p 则当 p 在（0，1）内增大时， A．D（）减小 B．D（）增大 C．D（）先减小后增大 D．D（）先增大后减小 例 3、【2021 年高考山东】（多选题）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量 X 所有可能的取值为1,2, ,n ，且1( ) 0( 1,2, , ), 1ni iiP X i p i n p== = > = =，定义 X 的信息熵21( ) logni iiH X p p== - . A．若 n=1，则 H(X)=0 B．若 n=2，则 H(X)随着1p 的增大而增大 C．若1( 1,2, , )ip i nn= = ，则 H(X)随着 n 的增大而增大 D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为 1,2, ,m ，且2 1( ) ( 1,2, , )j m jP Y j p p j m+ -= = + = ，则H(X)H(Y) 题型二、 概率中的最值问题 例 4、（2021浙江温州中学高三 3 月月考）随机变量 x 的可能值有 1，2，3，且 ( ) 1 3 1 P p x = = - ，( ) 3 1 P p x = = - ，则 ( ) D x 的最大值为（ ） A．89 B．1716 C．2625 D．1 2 例 5、（2021 届浙江省杭州市第二中学高三 3 月月考）随机变量 的分布列如下： -1 0 1 其中 ， ， 成等差数列，则 的最大值为（ ） A． B． C． D． 例 6、（2021 届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初）已知 ， 两个不透明盒中各有形状、大小都相同的红球、白球若干个，A 盒中有 个红球与 个白球， 盒中有 个红球与 个白球（ ），若从 ， 盒中各取一个球， 表示所取的 2 个球中红球的个数，则当 取到最大值时， 的值为（ ） A．3 B．5 C．7 D．9 例 7、（2021浙江省温州市新力量联盟高三上期末）随机变量 的分布列如下： 1 2 3 其中 ， ， 成等差数列，则 的最大值为（ ） A． B． C． D． 例 8、（2021 届山东省日照市高三上期末联考）某公司准备投产一种新产品，经测算，已知每年生产万件的该种产品所需要的总成本 （万元），依据产品尺寸，产品的品质可能出现优、中、差三种情况，随机抽取了 1000 件产品测量尺寸，尺寸分别在 ，， ， ， ， ， （单位： ）中，经统计得到的频率分布直方图如图所示. P a bca b c D23592934A Bm 10 m -B 10 m -m 0 10 m < x nh4 3 2p ab cx2 3 4p ab cE E x h > D D x h < E E x h > D D x h =E E x h > D D x h > E E x h < D D x h = 5 X -1 0 1 Y -1 0 1 P P a b c 若 ，随机变量 满足 ，其中随机变量 相互独立，则 取值范围的是（ ） A． B． C． D． 6、（2021 届浙江省十校联盟高三下学期开学）设 ，相互独立的两个随机变量 ， 的分布列如下表： -1 1 -1 1 则当 在 内增大时（ ） A． 减小，增大 B． 减小，减小 C． 增大，增大 D． 增大，减小 7、（2021浙江温州中学 3 月高考模拟）已知随机变量 X 的分布列如下表： X 0 1 P a b c 其中 a，b， .若 X 的方差 对所有 都成立，则（ ） A． B． C． D． 8、（2021 届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考）设 ，随机变量 的分布列是： 0 1 则当 在 内增大时（ ） A． 增大 B． 减小 C． 先增大后减小 D． 先减小后增大 131216( ) ( ) 1 E Y P Y = =-x XY x =XY ( ) E x3,14 - 1,018 - 1,118 3,14 112p < < xhxhP2313P1 p -pp1,12 ( ) E x h + ( ) D x h + ( ) E x h + ( ) D x h +( ) E x h + ( ) D x h + ( ) E x h + ( ) D x h +1 -0 c > ( )13D X ( ) 0,1 a b -13b 23b 13b 23b 023a < < XX 1 -Pa23-a13a203 ，( ) D X ( ) D X ( ) D X ( ) D X 。
