九年级数学提升精品讲义 相似三角形中的六大基本模型（解析版）.docx

初中数学精品讲义 模型构建专题：相似三角形中的六大基本模型模型一：（双）A字型相似模型①如图，在中，点D在上，点E在上，，则，．②模型拓展1：斜交A字型条件：，图2结论：； ③模型拓展2： 如图，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔．模型二：（双）8字型相似模型①如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔；②如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔． ③模型拓展：如图，∠A＝∠C⇔△AJB∽△CJD⇔．模型三：母子型相似模型如图为斜“A”字型基本图形．当时，，则有．．如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型．当时，，则有．模型四：手拉手型相似模型①如图，若△ABC∽△ADE，则△ABD∽△ACE.[来源:Zxxk.Com]②如图所示，和都是等腰直角三角形，的延长线与相交于点P，则，且相似比为，与的夹角为． 总结：旋转相似型中由公共旋转顶点、一点及其旋转后的对应点组成的三角形与由公共旋转顶点、另一点及其旋转后的对应点组成的三角形相似．③如图所示，，则，，且．模型五：K字型相似模型(1)“三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE.(2)“一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE.特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE. 　　补充：其他常见的一线三等角图形 模型六：三角形内接矩形模型由之前的基本模型（A型或AX型）推导出来的。

结论：AH⊥GF，△AGF∽△ABC，【题型一 （双）A字型相似】例1．：如图，在中，点分别在上，且．（1）求证：；（2）若点在上，与交于点，求证：．【答案】（1）见解析；（2）见解析【详解】解：（1）在△AEF和△ABC中，∵，，∴△AEF∽△ABC；（2）∵△AEF∽△ABC，∴∠AEF=∠ABC，∴EF∥BC，∴△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴,，∴．【变式1-1】（2023春·山东烟台·八年级统考期中）如图，在中，点，分别在边，上，，射线分别交线段，于点，，且．求证：．【答案】见解析【分析】先证明． 可得，结合，即可得到结论．【详解】证明：，，，，． ∵，，∴，∵，∴．【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．【变式1-2】（2023秋·江苏淮安·九年级统考期末）如图，D是的边AC上的一点，连接BD，使．(1)说明．(2)，，求线段AC的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据，再由公共角，利用两对角相等的三角形相似即可得证；（2）由相似得比例，即可求出的长．【详解】（1）∵，，∴；（2）∵，∴，∵，，∴，∴．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．【变式1-3】（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图，中，已知，点D、F是分别为垂足，．(1)求证：；(2)若，直接写出和的周长比．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）先判断，可证得，利用内错角相等，两直线平行可证明；（2）根据相似三角形的判定与性质求解即可．【详解】（1）证明：∵，垂足分别为D，F，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴和的周长比，∵，∴，∴和的周长比为．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练运用平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键．【题型二 （双）8字型相似】例2.（2023·全国·九年级专题练习）如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（   ）A． B．7 C． D．8【答案】C【分析】根据三角形中中位线定理证得，求出，进而证得，根据相似三角形的性质求出，即可求出结论．【详解】解：是的中位线，，，，，，∴．故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握三角形中位线定理和相似三角形的判定方法是解决问题的关键．【变式2-1】（2023秋·甘肃白银·九年级校考期末）如图，D、E分别是的边上的点，，若，则的值为（　　）  A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知条件易求得，由可证，，可得的值，再利用相似三角形的性质即可解决问题．【详解】解：∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∴， 故选：D．【点睛】本题考查了等高的两个三角形的面积之间的关系和相似三角形的判定和性质，属于基本题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键．【变式2-2】（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）如图，正方形的边长为3，点在边上，交于点，交于点，交于点，若，则 ．  【答案】【分析】由正方形性质，判定、，由相似比得到，即，再由勾股定理求出长即可得到答案．【详解】解：如图所示：  在正方形中，，，， ，，正方形的边长为3，，，，，解得，，在正方形中，，，，，，即，在正方形中，，，则由勾股定理可得，，故答案为：．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，涉及正方形性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．【变式2-3】（2023春·广西南宁·九年级南宁市天桃实验学校校考阶段练习）【模型启迪】（1）如图1，在中，为边的中点，连接并延长至点，使，连接，则与的数量关系为______，位置关系为______；  【模型探索】（2）如图2，在中，为边的中点，连接，为边上一点，连接交于点，且．求证：；【模型应用】（3）如图3，在(2)的条件下，延长至点，使，连接，交的延长线于点．若，，，求线段的长．【答案】(1)；(2)见解析；(3)【分析】（1）根据证明，得到，，得到，以此即可解答；（2）延长至点，使，连接，利用中方法同理可证，得到，，由可得，根据等边对等角可得和对顶角相等可得，进而可得，以此即可证明；（3）延长至点，使，连接，由可知，可得，，进而可得，易得，由相似三角形的性质得，设，表示出，建立方程，解方程，即可求解．【详解】（1）解：∵为边的中点，，在和中，，，，，∴，故答案为：，；（2）证明：延长至点，使，连接，  由（1）同理可得：，，，，，，，即，；（3）解：延长至点，使，连接，  由（2）可知，，，，，，设，，，整理得：，解得：，经检验，是原方程的解，．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．【题型三 母子型相似】例3. 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，AD＝BD．(1)求证：△ABC∽△BDC．(2)若∠C＝90°，BC＝2，求AB的长．【答案】(1)见解析；(2)4．【分析】（1）先证明∠A＝∠DBA，进而得到∠A＝∠CBD，再根据∠C＝∠C，即可证明△ABC∽△BDC；（2）根据∠C＝90°得到∠A＋∠ABC＝90°，根据（1）得到∠A =∠ABD＝∠CBD，即可求出∠A＝30°，即可求出AB＝4．（1）证明：如图，∵AD＝BD，∴∠A＝∠DBA，∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴∠CBD＝∠DBA，∴∠A＝∠CBD，∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC；（2）解：如图，∵∠C＝90°，∴∠A＋∠ABC＝90°，由（1）得∴∠A =∠ABD＝∠CBD，∴∠A＋∠ABD＋∠CBD＝3∠A＝90°，∴∠A＝30°，∵BC＝2，∴AB＝4．【点睛】本题考查了相似三角形的证明和直角三角形的性质，熟知相似三角形的判定方法是解题关键，第（2）步中求出∠A＝30°是解题关键．【变式3-1】如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA．（1）求证：AC2＝BC•CD；（2）若AD是△ABC的中线，求的值．【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）首先利用相似三角形的判定得出，得，进而求出，再利用相似三角形的性质得出答案即可；（2）由可证，进而得出，再由（1）可证，由此即可得出线段之间关系．【详解】（1）证明：，，，，，，，．（2）解：，，，，AD是△ABC的中线，，，即：，∴．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及重心的性质等知识，根据已知得出是解题关键．【变式3-2】（2023春·山东泰安·八年级统考期末）小军在学习相似三角形时，遇到这样一个问题：  (1)如图1，在中，是边上一点，连接，若，求证：；(2)如图2，已知，，，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据相似三角形的判定定理求解即可；（2）首先证明出，然后利用相似三角形的性质得到，然后利用三角形内角和定理求解即可．【详解】（1）∵，∴；（2）∵，∴∴∵∴∴∵∴解得∴．【点睛】本题考查相似三角形，三角形内角和定理，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．【变式3-3】在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC交AC于点D．（1）如图（1），若AB＝3，AC＝5，求AD的长；（2）如图（2），过点A分别作AC，BD的垂线，分别交BC，BD于点E，F．①求证：∠ABC＝∠EAF；②求的值．【答案】（1）AD＝；（2）①见解析；②．【详解】（1）∵∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠ACB.又∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACB，∴，即，∴AD＝（2）①证明：∵AE⊥AC，AF⊥BD，∴∠AFB＝∠EAC＝90°.又∵∠ABF＝∠C，∴△ABF∽△ECA，∴∠BAF＝∠CEA.∵∠BAF＝∠BAE＋∠EAF，∠AEC＝∠ABC＋∠BAE，∴∠ABC＝∠EAP.②如图，取CE的中点M，连接AM.在Rt△ACE中，AM＝CE，∠AME＝2∠C.∵∠ABC＝2∠C，∴∠ABC＝∠AME，∴AM＝AB，∴．【题型四 手拉手型相似】例4. 如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M．（1）求证：△MFC∽△MCA；（2）求证△ACF∽△ABE；（3）若DM=1，CM=2，求正方形AEFG的边长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．【详解】解：（1）四边形是正方形，四边形是正方形，，，，，；（2）四边形是正方形，，，，同理可得，，，，；（3），，，，，，即，，，，即正方形的边长为．【变式4-1】如图，AB＝3，AC＝2，BC＝4，AE＝3，AD＝4.5，DE＝6，∠BAD＝20°，则∠。