辽宁省抚顺市胜利中学高三数学文联考试题含解析.docx
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辽宁省抚顺市胜利中学高三数学文联考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 二战中盟军为了知道德国“虎式”重型坦克的数量，采用了两种方法，一种是传统的情报窃取，一种是用统计学的方法进行估计，统计学的方法最后被证实比传统的情报收集更精确，德国人在生产坦克时把坦克从1开始进行了连续编号，在战争期间盟军把缴获的“虎式”坦克的编号进行记录，并计算出这些编号的平均值为675.5，假设缴获的坦克代表了所有坦克的一个随机样本，则利用你所学过的统计知识估计德国共制造“虎式”坦克大约有（ ）A．1050辆 B．1350辆 C．1650辆 D．1950辆参考答案：B【考点】系统抽样方法．【分析】由题意=675.5，即可得出结论．【解答】解：由题意=675.5，∴n=1350，故选B．2. 如图，在中，，延长到，使，若，则的值是……………………（ ）A. B. C. D. 参考答案：C3. 将函数（）的图象按向量平移后所得的图象关于点中心对称，则的值可能为（ ）A．4 B．3 C．2 D．1 参考答案：C根据题意得函数按向量平移后的解析式为，又因为图像关于点中心对称，代入得，即，解得，当时的值可能为2，故选C 4. 已知，为平面向量，若与的夹角为，与的夹角为，则（ ）A． B． C． D．参考答案：D5. 椭圆（）的一个焦点为，若椭圆上存在一个点，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为（ ）A． B． C. D．参考答案：D6. 函数的图像大致是 （ ）参考答案：B7. P是双曲线C：x2﹣y2=2左支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线，P在l上的射影为Q，F2是双曲线C的右焦点，则|PF2|+|PQ|的最小值为（ ）A． B． C． D．参考答案：C【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的ab，c，以及一条渐近线方程，运用双曲线的定义，可得|PF2|+|PQ|=|PF1|+2+|PQ|，依题意，当且仅当Q、P、F1三点共线，且P在F1，Q之间时，|PF1|+|PQ|最小，且最小值为F1到l的距离，从而可求得|PF2|+|PQ|的最小值．【解答】解：双曲线C：x2﹣y2=2的a=b=，c=2，一条渐近线l方程为x﹣y=0，设双曲线的左焦点为F1，连接PF1，由双曲线定义可得|PF2|﹣|PF1|=2a=2，∴|PF2|=|PF1|+2，∴|PF2|+|PQ|=|PF1|+2+|PQ|，当且仅当Q、P、F1三点共线，且P在F1，Q之间时，|PF1|+|PQ|最小，且最小值为F1到l的距离，可得F1（﹣2，0）到l的距离d==，∴|PQ|+|PF2|的最小值为2+=3．故选：C．8. 定义在R上的偶函数满足：对任意的，有.则当时，有A . B. C. D.参考答案：C略9. 已知和是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出的是（ ） 参考答案：C10. 设函数，.若的图象与的图象有且仅有两个不同的公共点，则下列判断正确的是（ ） A. B.C. D.参考答案：B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知满足,则的最大值为 参考答案：312. 已知，则＝___▲___．参考答案： 13. 某学生猜测，若该学生回答正确，则 ．参考答案：试题分析：可由待定系数法求得，解得，所以.考点：合情推理.14. 一空间几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积为 cm3. 参考答案：略15. 给出下列四个命题:①已知椭圆的左右焦点分别为, 为椭圆上一点，并且,则；②双曲线的顶点到渐近线的距离为；③若⊙⊙,则这两圆恰有2条公切线；④若直线与直线互相垂直,则其中正确命题的序号是______.(把你认为正确命题的序号都填上)参考答案：②③16. （09南通期末调研）设函数，记，若函数至少存在一个零点，则实数m的取值范围是 ▲ ． 参考答案：答案： 17. 已知为等差数列,若,则的值为______.参考答案：答案：40 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知抛物线E：y2=8x，圆M：（x﹣2）2+y2=4，点N为抛物线E上的动点，O为坐标原点，线段ON的中点的轨迹为曲线C．（1）求抛物线C的方程；（2）点Q（x0，y0）（x0≥5）是曲线C上的点，过点Q作圆M的两条切线，分别与x轴交于A，B两点．求△QAB面积的最小值．参考答案：【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】（1）设P（x，y）为轨迹上任意一点，则N（2x，2y），把N点坐标代入抛物线E的方程化简即可；（2）设圆的切线斜率为k，得出切线方程，计算A，B的坐标，利用根与系数的关系计算|AB|，从而得出△QAB的面积关于x0的函数，求出此函数的最小值即可．【解答】解：（1）设线段ON的中点坐标为P（x，y），则点N（2x，2y），∵N为在抛物线y2=8x上的动点，∴4y2=16x，即y2=4x，∴曲线C的方程为：y2=4x．（2）设切线方程为：y﹣y0=k（x﹣x0），令y=0，得x=x0﹣，∴切线与x轴的交点为（x0﹣，0），圆心（2，0）到切线的距离为d==2，∴（2k+y0﹣kx0）2=4（1+k2），整理得：（x02﹣4x0）k2+（4y0﹣2x0y0）k+y02﹣4=0，设两条切线的斜率分别为k1，k2，则k1+k2=，k1k2=，∴S△QAB=|（x0﹣）﹣（x0﹣）|?|y0|=y02||==2[（x0﹣1）++2]令x0﹣1=t，则f（t）=t++2，t∈[4，+∞），则f′（t）=1﹣＞0，∴f（t）在[4，+∞）上单调递增，∴f（t）≥f（4）=，∴S△QAB=2f（t）≥，∴△QAB的面积的最小值为．19. （本小题满分14分）等差数列的首项为，公差，前项和为，其中。
Ⅰ）若存在，使成立，求的值；（Ⅱ）是否存在，使对任意大于1的正整数均成立？若存在，求出的值；否则，说明理由．参考答案：解：（Ⅰ）由条件得，整理得：由求根公式，知必为完全平方数， ，逐个检验知，=1符合要求，此时；…………………………7分（Ⅱ）由，代入得整理，变量分离得： 取到最小值， 故不存在，使对任意大于1的正整数均成立 ………………… 14分20. 已知向量，，且.（1）当时，求; （2）设函数，求函数的最值及相应的的值.参考答案：所以，当时，. ，当，即时，；当，即时，.略21. 设函数f（x）=m（x+1）2ln（x+1）+[f′（e﹣1）﹣3e]x，其中x＞﹣1，曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为y=0（Ⅰ）求f（x）的解析式（Ⅱ）证明：当x≥0时，f（x）≥x2（Ⅲ）若当x≥0时，f（x）≥ax2恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出导函数f′（x）．利用f′（e﹣1）求出m的值，从而求出函数的解析式；（Ⅱ）设g（x）=（x+1）2ln（x+1）﹣x﹣x2，（x≥0），求出导函数，利用导函数的判断函数的单调性，推出g（x）≥g（0）=0．推出结果f（x）≥x2．（Ⅲ）设h（x）=（x+1）2ln（x+1）﹣x﹣mx2，求出导函数h′（x），利用（Ⅱ） 中的结果，通过讨论m的范围，求解即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=2m（x+1）ln（x+1）+m（x+1）+f′（e﹣1）﹣3e，∴f′（e﹣1）=2me+me+f′（e﹣1）﹣3e，故m=1，曲线y=f（x）在（0，0）处的切线方程是：y=0，∴f′（0）=m+f′（e﹣1）﹣3e=0，∴f′（e﹣1）=3e﹣1，∴f（x）=（x+1）2ln（x+1）﹣x；（Ⅱ）f（x）=（x+1）2ln（x+1）﹣x，设g（x）=（x+1）2ln（x+1）﹣x﹣x2，（x≥0），g′（x）=2（x+1）ln（x+1）﹣x，（g′（x））′=2ln（x+1）+1＞0，∴g′（x）在[0，+∞）上单调递增，∴g′（x）≥g′（0）=0，∴g（x）在[0，+∞）上单调递增，∴g（x）≥g（0）=0．∴f（x）≥x2；（Ⅲ）设h（x）=（x+1）2ln（x+1）﹣x﹣mx2，h′（x）=2（x+1）ln（x+1）+x﹣2mx，（Ⅱ） 中知（x+1）2ln（x+1）≥x2+x=x（x+1），∴（x+1）ln（x+1）≥x，∴h′（x）≥3x﹣2mx，①当3﹣2m≥0即m≤时，h′（x）≥0，∴h（x）在[0，+∞）单调递增，∴h（x）≥h（0）=0，成立．②当3﹣2m＜0即m＞时，h′（x）=2（x+1）ln（x+1）+（1﹣2m）x，h′′（x）=2ln（x+1）+3﹣2m，令h′′（x）=0，得x0=﹣1＞0，当x∈[0，x0）时，h′（x）＜h′（0）=0，∴h（x）在[0，x0）上单调递减，∴h（x）＜h（0）=0，不成立．综上，m≤．【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及导函数的单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力．22. (本小题满分10分)在如图所示的多面体中，四边形为正方形，四边形是直角梯形，，平面，．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的大小．参考答案：（1）由已知，，，两两垂直，可以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系． ……………………1分设，则，，，，故，，， ………………2分因为，，故，，即，， 又 ……4分所以，平面． ………………………5分（2）因为平面，所以可取平面的一个法向量为， --------------------------------6分点的坐标为，则，， 设平面的一个法向量为，则，，故即取，则，故． -------------------------------------------------------------------------------------------8分设与的夹角为，则．-------------------------------------- 9分所以，平面与平面所成的锐二面角的大小为------------------------------。
