几种典型带电体的场强和电势公式.docx
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几种电荷分布所产生的场强和电势1、均匀分布的球面电荷（球面半径为R,带电量为q）电场强度矢量：电势分布为：E (r)=1 qr （球面外，即r > R）U (r )4k e9r30)=01q4k er 10q（球面内，即r < R）U (r )， （球外）4兀e R0球内）2、均匀分布的球体电荷（球体的半径为R,带电量为q）电场强度矢量：电势分布为：E(r) = 1 qr ,(球体内，即r < R)4兀 e R 3〔OfE(r) = qr球体外，即r > R)4k e r 30U (r )=^^ 纟, (r > R即球外)r < R 即球内）3、均匀分布的无限大平面电荷（电荷面密度为电场强度矢量：％）=暑（土力（平板两侧的场强与距离无关0电势分布为:U(r)= (r - r)2e 00其中假设r处为零电势参考点若选0取原点（即带电平面）为零电势参考点即U = 0那么其余处的 0电势表达式为：U (x )=- — x2eU (x )=— x2e4、均匀分布的无限长圆柱柱面电荷（圆柱面的半径为R,单位长度的带电量为入电场强度矢量 r > R,即在柱面外）（r < R,即在柱面内）电势分布为： 此时p 4兀 8 x 20带电圆环可视为点电荷进行处理 （b）当x << R 或 x t 0时E（0） = 0 即’带电圆环在其圆心处的电场强p度为零电势： u（0=丄（q、其中电势的零参考点位4兀80・2 + R2》；于无穷远处带电圆环在其圆心处的电势为：u（x）|二 J x=0 4兀8 R07、均匀分布的带电直线（其中，线电荷密度入，直线长为1）（1）在直线的延长线上，与直线的端点距离为d的P点处:电场强度矢量：d (/ + d ) 1U (d)=丄In巴p 4兀 8 d0（2）在直线的中垂线上，与直线的距离为d的Q点处:电场强度矢量为：EQ(d)=i（八2叮2丿九 214兀 8 0 dil 2 + 4d 2电势：i +U (d)= — ln-^—Q 4k 8 10 - i 刑 2X 1 + J12 + 4d 2 = ln4兀8 0 - 1 + J12 + 4d 2+ d 2 03)在直线外的空间中任意点处：电场强度矢量： E(r)= E i + E jxy其 中E = —^ (Sin9 - SinO )x 4兀 8 2 1九 0E = (CosO - CosO )y 4兀 8 1 20或者改写为另一种表示式:即:E (r,z) = E r0 + Ekp r z其中：X rE = r 4兀801,r 2 + (z — 2 )2 + r 2 + (z — 2 )2 (z + 2 )( r 2 + (z + 2- )2 + r 2 + (z + 2- )2XE 二一z 4兀801 1t'r2 + (z - 2 )2 丫7 2 + (z + 2 )21 ；( z + +「r2 + (z +电势：U =丄ln 「p 4兀 8 1 '0 z-■2 V1)21 ： ( I、2 + 1：'2 +(Z - 2)2(4)若带电直线为无限长时,那么，与无限长带电直线的距离为d的P点处:电场强度矢量:E Xd)= X 亦或 E (r)= X fp 2兀 8 d p 2兀 8 r 200电势：U (d)=九In伫或U (r)=九In■。 其中假设d p 2兀 8 d p 2兀 8 r00或(0:r )为电势的零参考点0(5)半无限长带电直线在其端点处:(端点与带电直线的垂直距离为d)xy电场强度矢量：E = E i + E j 其中E8、电偶极子p的电场强度和电势(1)在电偶极子的延长线上x处：其中(X>〉l)电场强度矢量：E(x)=丄竺 或E(r)=电势：U (x)=丄二1P4兀 8 x 20(2)在电偶极子的中垂线上4兀 8 r 20y处：其中(Y >>i)电场强度E (y)=- 1 卩电势：U (y )= 1=04兀80(3) 在空间中任意点r处：其中(r >>i)E (r )=4兀802 pCa ro+皿阮、r 3 r 3p 其大小为E = - 3Cos 26 +1 ，4兀 8 r 20方向为E串=arctg 6Er(E )(—6-=tg-1 IIE J丿r=tg -12其中申为E与r 0之间的电场强度矢量：(采用平面极坐标系)夹角电势：u（r）=丄P曲-i Pit 4 兀 £ r 2 4k 8 r 3o0电场强度矢量的另一种表达式为：e = 1 Lp + 3（r• p ）rl式中：r = F0为矢径r方向的单位矢量。 4k8 r 3 e e0上式电场强度矢量的表达式就是将电场强度E矢量分解在电偶极矩P和矢径F的方向上可以证明：该表达式与电场强度的平面 e极坐标表达式是相等的若采用二维笛卡尔坐标系（平面直角坐标系）：因 为 各 物 理 量 之 间 的 关 系为：r 2 = x2 + y 2 ， Cos0 = =所以电势的表达式为：Pxr Jx2 + y2U (r )=—4k 80而电场强度的表达式为：E _ E i + E jy其中：E=xau _dx 4k 801 P(x2 - y2 )auE _ — _y 6y 4k 803Pxy2 + y2^2P、；4 x 2 + y 2Cos0其大小为:E _ ：E2 + E2 _ Lx y 4K80 X + y2若采用三维笛卡尔坐标系（即三维直角坐标系）则有如下关系 式：ztv'x 2 + y 2 + z 2那么，电势的表达式为:而电场强度的表达式为其中:U C)=—4兀£0Pz2 + y 2 + z2 )2E = Ei +〔‘J + Ezk_au _ P / 3 x z 、°x 4兀 £0 (x2 + y 2 + z2 )i2；EyauQy3yz( X2 + y 2 + Z2auQzz2 x2 y2 )2 + y 2 + z 2 尸29、带电圆盘在其轴线上距离圆心为x点处:电场强度矢量:对上式结果进行讨论：E1_、x 二t - I%' x2 + R2 丿q — q "(a丿当 x >> R或x — g 时 E (x)仝 i 或 E (r)仝 rop 4k £ x 2 p 4k £ r 200此时带电圆盘可视为点电荷进行处理。 b)当x « R或x T 0时，则Ep(x)仝暑一即此时带电圆盘可视0为无限大带电平板进行处理电势： U (x) — (: R2 + X2 _ x)p 2&0带电圆盘在其圆心处附近处的电势为：u(x)|oR— x_02£ 010、均匀分布的带电半球面在其球心处：(球面的面电荷密度为球面的半径为R)电场强度矢量：E电势： Up此时电势并不是U Cp◎ R 二 Q2 & 4k 8 R00E • dr,因为E(x)丰 E (x)二o◎48。
