自动控制原理(4).ppt
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单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,自动控制原理,朱亚萍,,zhuyp@,,杭州电子科技大学自动化学院,第四章 根轨迹法,引言,,4.1,根轨迹的基本概念,,4.2,绘制根轨迹的基本条件和基本规则,,4.3,广义根轨迹,,4.4,基于根轨迹法的系统性能分析,,4.5,Matlab,绘制根轨迹,引言,1.,研究线性系统根轨迹的原因,,控制系统的稳定性由闭环极点唯一地确定，而控制系统过渡过程的基本特性由闭环极点、闭环零点共同决定,因此，可以利用系统的闭环零点和闭环极点的分布来间接地研究控制系统的性能对于高阶系统来说，手工求解特征方程的根较为困难尤其是当系统参数（比如开环增益、开环零点和开环极点等）发生变化时，闭环特征根需要重复计算，而且,不能看出系统参数变化对闭环特征根分布的影响趋势,2.,根轨迹法,根轨迹法是一种求取闭环系统的特征根的,图解法,基本思路是,：当开环系统的一个或多个参数发生变化时，根据系统的开环零点和极点，借助若干条绘图准则，绘制出闭环特征根变化的轨迹，简称根轨迹根轨迹定义,：当控制系统的某一参数（如开环增益,K,）由零连续变化到无穷大时，,闭环特征根,（闭环极点）在复平面上形成的,若干条,曲线。
4.1,根轨迹的基本概念,根据如下控制系统框图介绍根轨迹的基本概念图,4,－,1,,控制系统框图,2.,将两个,开环极点,p,1,=0,和,p,2,=,－,2,绘于,复平面,上，并用“,×”,表示1.,将图,4-1,所示系统的开环传递函数转化为：,上式便是绘制根轨迹所用的开环传递函数的标准形式,——,零极点增益形式,3.,求出,闭环系统的特征方程和闭环极点,,4.,闭环系统极点与,标准化参数,之间的关系可由图,4,－,2,表示,图,4,－,2,,二阶系统根轨迹,当,k,=0,时，,p,1,、,p,2,与,s,1,、,s,2,重合，即开环极点和闭环极点重合；,,当,0<,k,<1,时，,s,1,、,s,2,均为区间,(-2,，,0),内的负实数；,,当,k,=1,时，,s,1,＝,s,2,=-1,，即两闭环极点重合；,,当,1<,k,<,∞,时， ，即两闭环极点互为共轭；,,当,k,→,∞,时，将沿着直线,σ,=,－,1,,趋于无穷远处从图中可以看出：,讨论,:,,通过分析系统的根轨迹图可清楚地看出,闭环系统极点随系统某个参数变化之间的关系,；,,,从图,4,－,2,可以看出：无论,K,取何值，由图,4,－,1,表示的控制系统的闭环极点均位于复平面的左半平面，因此系统是闭环稳定的；而,k,=1,（,K=0.5,）是此二阶系统由过阻尼状态过渡到欠阻尼状态的分界点 。
根轨迹是,连续且对称于实轴,的，这也是根轨迹的一个特性；,绘制根轨迹时选择的可变参数可以是系统的任何参量，但最常用的是系统的,开环增益,（,常规根轨迹,）4.2,绘制根轨迹的基本条件和基本规则,将上式改写成：,或,一、绘制根轨迹的基本条件,绘制根轨迹，需要从系统的闭环特征方程入手,设,负反馈系统,的开环传递函数为,G,(,s,),H,(,s,),，其中,G,(,s,),和,H,(,s,),分别为控制系统的前向通道传递函数和反馈通道传递函数，则反馈系统的特征方程为：,幅值条件：,,相角条件：,,实际上满足相角条件的任一点，一定可以找到相应的可变参数值，使幅值条件成立相角条件也是根轨迹的充要条件,利用,相角条件可确定根轨迹的形状,，但利用,幅值条件,才可求得给定闭环极点所对应的,增益,K,进行相角计算时，规定正实轴方向为,0°,，,逆时针,方向为相角的,正方向,绘制根轨迹所依据的条件是：,系统开环传递函数通常可以写成两种因子式：,式中,,K,1,——,开环传递函数写成零、极点形式时的增益；,,,z,j,、,p,i,——,开环零、极点；,,,K,——,开环传递函数写成时间常数形式时的增益；,,τ,z,j,、,τ,p,i,,——,分之和分母中的时间常数。
由上两式不难看出,由此可以得到另一种形式的幅值条件和相角条件：,或,,规则一,,系统根轨迹的各条分支是连续的，而且关于实轴对称系统的特征方程为代数方程，因为代数方程中的系数连续变化时，代数方程的根也连续变化，所以特征方程的根轨迹是连续的；,,由于闭环极点或为实数或为共轭复数，所以根轨迹是对称于实轴的二、绘制根轨迹的一般规则,,,规则二,,根轨迹的起点、终点和根轨迹的分支数,,系统的根轨迹,起点为开环极点,，,终点为开环零点,（或无穷远处）,由于系统的特征方程有,n,个根，所以当可变参数,K,1,由零变化到无穷时，这,n,个特征根必然会随,K,1,的变化出现,n,条根轨迹，有,m,条分支趋向开环零点，另外,n,－,m,条分支趋向无穷远处根轨迹在复平面上的分支数等于闭环特征方程的阶数，也就是说，,根轨迹的分支数等于闭环极点的个数，也等于开环极点的数目（为什么？）,证明,根据幅值条件,可知，当,K,1,＝,0,时，只有,s,=,p,i,才能满足上式，故根轨迹各分支的起点即为各开环极点上式可改写为：,当,K,1,→∞,时，只有,s,→,z,j,，或,s,→∞,才能满足上式的幅值条件因此当,K,1,→∞,时，根轨迹的,m,条分支趋向开环零点，另外,n,－,m,条分支趋向无穷远处。
规则三,,实轴上的根轨迹,,实轴上的根轨迹由位于实轴上的开环极点和零点确定根据相角条件可以证明，,实轴上根轨迹区段右侧的开环零极点数目之和为奇数,规则三可用相角条件来证明渐近线与实轴正方向的夹角,：,规则四,,根轨迹的渐近线,,,如果开环零点的数目,m,小于开环极点数,n,，即,m
即当,s,→∞,时，,1,＋,G,(,s,),H,(,s,)=0,的根轨迹的,(,n,－,m,),条分支趋向,1,＋,P,(,s,)=0,的根轨迹的,(,n,－,m,),条分支这就是说，可以把后者视作前者的渐近线例,4-2,,已知一四阶系统的特征方程为,,,试大致绘制其根轨迹解,先在复平面内标出开环零极点的位置，极点用“,×”,表示，零点用“,○”,表示，并根据实轴上根轨迹的确定方法绘制系统在实轴上的根轨迹根据根轨迹渐近线与实轴的夹角和交点公式有：,图,4-4,,例,4-2,根轨迹图,,,规则五,,根轨迹的分离点,,两条或两条以上的根轨迹分支在复平面上相遇又分开的点称为分离点一般常见的分离点多位于实轴上，但有时也产生于共轭复数对中在分离点必然是重根点，根据代数中重根条件有：,,注意,：规则中用来确定分离点的条件,只是必要条件,，而不是充分条件因此，利用上式求出的分离点，必须位于根轨迹上，否则应当舍去检验的方法是分离点所对应的,K,1,必须大于零例,4,－,3,,对于例,4,－,2,给出的四阶系统，试确定其分离点坐标解,利用分离点计算公式有,,,d,1,=,－,4,，,d,2,=,－,2.5994,，,,,d,3,=,－,0.7003+0.7317j,，,d,4,=,－,0.7003,－,0.7317j,将这四个值代入闭环系统方程，可知,d,3,和,d,4,对应的,K,不满足大于零的要求，所以将其舍去。
另外，可以发现,d,1,=,－,4,正是系统的开环极点所以此系统的分离点坐标为（,－,2.5994,，,0j),,规则六,,根轨迹的入射角和出射角,,所谓根轨迹的出射角（或入射角）指的是根轨迹离开,开环复数极点,处（或进入,开环复数零点,处）的切线方向与实轴正方向的夹角，图,4,－,5,中的 为出射角， 为入射角图,4-5,根轨迹出射角和入射角,由于根轨迹的对称性，对应于同一对极点（或零点）的出射角（或入射角）互为相反数即有,式中,φ,=∑,θ,z,-,∑,θ,p,为其他开环零、极点对出射点或入射点提供的相角根轨迹从复数极点出发的出射角为：,,根轨迹到达复数零点的入射角为,:,解上式，就可以求得根轨迹与虚轴的交点,ω,坐标，以及此交点相对应的临界参数,K,c,规则七,,根轨迹与虚轴的交点,根轨迹与虚轴相交，说明控制系统有位于虚轴上的闭环极点，即特征方程含有纯虚数的根将,s=j,ω,代入特征方程，则有,例,4-4,,求例,4-2,所给出的系统根轨迹与虚轴的交点坐标解,将,s=j,ω,代入例,4,－,2,所给出的系统的特征方程，可得,写出实部和虚部方程：,由此可求得根轨迹与虚轴的交点坐标为：,因为,ω,34,对应的,K,小于零，所以舍去。
因此，系统根轨迹与虚轴交点坐标为,(0,，,4.5204j),和,(0,，,－,4.5204j),规则八,,根轨迹的重心,（,适用于,n,－,m,≥,2,情况）,如果,n,－,m,≥,2,，闭环系统的特征方程为：,设闭环系统的极点为,λ,i,（,i,=1~,n,），于是闭环系统特征方程为：,比较上两式闭环系统的特征方程，得,即,可见，当,n-m,≥2,时，系统的闭环极点之和等于开环极点之和因此，在绘制根轨迹时，如果随着,K,1,值增加，一些根轨迹向左方移动，必有另一些根轨迹向右方移动，以使闭环极点之和保持不变j,0,j,0,j,0,j,0,j,0,j,0,0,j,0,j,0,j,j,0,0,j,j,0,j,0,j,0,0,j,j,0,j,0,j,0,j,0,,0,j,j,0,,0,j,j,0,n=1;d=conv([1 2 0],[1 2 2]);rlocus(n,d),,n=[1 2];d=conv([1 2 5],[[1 6 10]);rlocus(n,d),,以,非开环增益,为可变参数绘制的根轨迹绘制参数根轨迹的法则与绘制常规根轨迹的法则完全相绘制参数根轨迹的方法：,,写出系统的闭环特征方程：,1+,G,(,s,),H,(,s,)=0;,,变换该方程为：,1+,K,*,,G,1,(,s,)=0,，其中,K,*,,G,1,(s),称为,等效开环传递函数,；,,按照常规根轨迹法则，再绘制以,K,*,为参变量的根轨迹。
4.3,广义根轨迹,一、参数根轨迹,解 写出系统的闭环特征方程：,等价开环传函为：,变形得：,例,：对于开环传函为,的负反馈系统，试绘制其以,K,s,为参变量的根轨迹即,二、零度根轨迹（正反馈系统）,如果系统的特征方程的形式为：,1,－,G,(,s,),H,(,s,)=0,其根轨迹叫,零度根轨迹,此时因为其相角遵循条件：,零度根轨迹的绘制，原则上可参照常规根轨迹的绘制法则，但在与相角条件有关的一些法则中，需作适当调整4.4,基于根轨迹法的系统性能分析,一、增加开环零、极点对根轨迹的影响,开环零、极点的分布决定着系统根轨迹的形状如果系统的性能不尽人意，可以通过调整控制器的结构和参数，改变相应的开环零、极点的分布，调整根轨迹的形状，改善系统的性能1.,增加开环零点对根轨迹的影响,例 两个单位反馈系统的开环传递函数分别为,,,,试分别绘制两个系统的根轨迹增加一个开环零点使系统的根轨迹,向左移动或弯曲,；,,相当于增大了系统阻尼，使系统的瞬态过程时间减小，超调量减小；,,提高了系统的相对稳定性；,,开环负实零点离虚轴越近，这些作用越显著；,,若增加的开环零点和某个极点重合或距离很近时，构成偶极子，则二者作用相互抵消；因此，可以通过加入开环零点的方法，抵消有损于系统性能的极点。
由上例可见：,2.,增加开环极点对根轨迹的影响,例 两个单位反馈系统的开环传递函数分别为,试分别绘制两个系统的根轨迹由上例可见：,增加一个开环极点使系统的根轨迹,向右偏移,；,,相当于减小了系统的阻尼，系统的瞬态过程时间增加；,,降低了系统的稳定性；,,开环负实极点离虚轴越近，这些作用越显著二、控制系统的稳定性分析,稳定的系统，其闭环特征根必须全部位于,s,平面左半侧，而且在,s,平面左半侧距虚轴距离越远，其相对稳定性越好根轨迹正好直观地反映了系统闭环特征根在,s,平面上随参数变化的情况，因此，由根轨迹很容易了解参数变化对系统稳定性的影响，确定使系统稳定的参数变化范围参数在一定范围内取值才能使闭环系统稳定，这样的系统称为,条件稳定系统,对于条件稳定系统，可由根轨迹图确定使系统稳定的参数取值范围例：设某负反馈系统的开环传递函数为,试绘制根轨迹图，并讨论使闭环系统稳定的,K,＊,取值范围解：利用根轨迹的绘制法则可绘出,K,＊,从,0,变化到,∞,时系统的根轨迹如右图所示由图可见，当,0<,K,＊,<14,及,64<,K,＊,<195,时，闭环系统是稳定的，而当,14≤,K,＊,≤,64,及,K,＊,≥,195,时，系统是不稳定的。
三、控制系统的暂态性能分析,利用根轨迹法可清楚地看到开环根轨迹增益或其他开环系统参数改变时，闭环系统极点位置及其暂态性能的变化情况以典型的二阶系统为例，开环传递函数和,闭环传递函数分别为,假设系统为欠阻尼情况，则系统的闭环极点为,闭环极点在,s,平面上的分布如下图所示闭环极点与负实轴构成的张角,β,满足,二阶系统的闭环极点分布图,β,为阻尼角，构成阻尼角的斜线称为等阻尼线闭环二阶系统的主要瞬态性能指标是超调量和调整时间这些性能指标和闭环极点位置的关系如下：,可见，二阶系统闭环极点的阻尼角,β,越大，系统的阻尼系数,ζ,越小，系统的超调量越大闭环极点离开虚轴的距离越大，系统的调整时间越小显然，如果二阶系统闭环极点处于图中工作区域，则必有,例：单位反馈控制系统的开环传递函数为,若要求闭环系统单位阶跃响应的最大超调量,σ,≤18%,，试确定系统的开环增益,K,*,,解：绘出,K,*,由零变化到,∞,时系统的根轨迹如图所示当,K,*,≥240,时，闭环极点是不稳定的根据,σ,≤18%,的要求，求得阻尼角应为,β,≤ 60°,，在根轨迹图上作,β,= 60°,的射线，并以此直线和根轨迹的交点,B,，,C,,作为满足性能指标要求的闭环系统主导极点，即闭环系统主导极为：,s,1,2,=,－,1.2±,j,2.1,根据根轨迹绘制,重心规则,：“系统开环极点之和等于系统闭环极点之和”，令系统的另一个闭环极点为,s,3,，则,解得,可见，,s,1,2,是系统的复数主导极点。
由于,由幅值条件,解得,K,*,≈44,四、控制系统的稳态性能分析,系统的稳态误差大小与系统的开环增益,K,成反比，开环增益与根轨迹增益,K,1,之间又有确定的比例关系在根轨迹上确定满足暂态性能的闭环极点后，可由根轨迹的幅度条件计算出零极点增益,K,1,值，然后再求得开环增益,K,若该开环增益值不满足系统提出的稳态性能要求时，可采用增加开环系统的极、零点的方法来解决增加实数极零点（偶极子）图,设在开环系统中增加一对极点比零点更接近原点的实数极、零点,−,p,c,和,−,z,c,（称为偶极子），这一对实数极、零点对离原点较远的,A,、,B,点附近根轨迹形状及,A,、,B,点的,K,1,值影响很小，但却使开环增益增加,D,倍，,D,=,z,c,/p,c,,，从而使系统稳态性能得到提高4.5,Matlab,绘制根轨迹,在,MATLAB,中提供了绘制系统根轨迹的,rlocus,( ),函数已知系统开环传递函数的形式，利用此函数可以方便地绘制出系统的根轨迹例,4-5,,设一单位负反馈系统的开环传递函数如下,,,试绘制该系统的根轨迹解,使用,MATLAB,绘制此根轨迹的程序如下：,,,%ex_4,－,5,,num=[1 1];,,den=conv([1 0],conv([1 2],[1 3]));,,G=,tf(num,den,);,,,rlocus(G,),,,title('');xlabel('Re');ylabel('Im,');,,程序运行结果如图,4,－,6,所示。
图,4-6,例,4-5,的,MATLAB,仿真结果,,试画出系统的根轨迹图解,用,MATLAB,绘制此系统根轨迹的程序如下,,,%ex_4,－,6,,num=[1 2 4];,,den=conv([1 0],conv([1 4],conv([1 6],[1 1.4 1])));,,G=,tf(num,den,);,,,rlocus(G,),,,title('');xlabel('Re');ylabel('Im,');,,程序运行结果如图,4,－,7,所示例,4-6,,设单位负反馈控制系统的开环传递函数为,可见随着参数,K,1,的增加，系统根轨迹穿过虚轴进入复平面右半平面，系统不稳定 图,4,－,7,,例,4,－,6,根轨迹图,P72 4,－,1,补充题,1,：设系统开环传递函数为 ，试画出,b,从零变到无穷时的根轨迹图补充题,2,：设单位反馈系统的开环传递函数为：,使绘制系统根轨迹的大致图形，并对系统的稳定性进行分析若增加一个零点,z,=,－,1,,，试问根轨迹图有何变化？对系统的稳定性有何影响？,第四章作业,第四章结束 ！,。
