福建师范大学21春《复变函数》在线作业三满分答案6.docx
18页
福建师范大学21春《复变函数》作业三满分答案1. 假设φ(t，c1，c2，…，cn-k)是方程(4.58)的通解，而函数ψ(t，c1，c2，…，cn)是x(k)=φ(t，c1，c2，…，cn-k)的通解，试证ψ(t，假设φ(t，c1，c2，…，cn-k)是方程(4.58)的通解，而函数ψ(t，c1，c2，…，cn)是x(k)=φ(t，c1，c2，…，cn-k)的通解，试证ψ(t，c1，c2，…，cn)就是方程(4.57)的通解，这里c1，c2，…，cn-k，…，cn为任意常数．φ(t，c1，c2，…，cn-k)是方程(4.58)：F(t，y，y'，…，y(n-k))=0的通解，即有 F(t，φ，φ'，…，φ(n-k))≡0， 且c1，c2，…，cn-k是彼此独立的常数．而函数ψ(t，c1，c2，…，cn)是x(k)=φ(t，c1，c2，…，cn-k)的通解，即 ψ(k)(t，c1，c2，…，cn)≡φ(t，c1，c2，…，cn-k)． 于是 ψ(t，c1，c2，…，cn)≡∫…∫φ(t，c1，c2，…，cn-k)dt…dt+cn-k+1tk-1+cn-k+2tk-2+…+cn， 其中cn-k+1，cn-k+2，…，cn是彼此独立的常数． 将x=ψ(t，c1，c2，…，cn)代入(4.57)：F(t，x(k)，x(k+1)，…，x(n))=0中有 F(t，ψ(k)，ψ(k+1)，¨，…，ψ(n))≡F(t，φ，φ'，…，φ(n-k))≡0， 即ψ(t，c1，c2，…，cn)是方程(4.57)的解．且因c1，c2，…，cn-k彼此独立，即有 于是 即常数c1，c2，…，cn-k，…，cn彼此独立．ψ(t，c1，c2，…，cn)是方程(4.57)的通解． 2. 求半径为R的均匀球面(设面密度为1)对空间一单位质点的引力．求半径为R的均匀球面(设面密度为1)对空间一单位质点的引力．在球面上的任取一点(x，y，z)和含此点的面积微元dS(取定坐标系如图所示， 定点在(0，0，a)处． 则 dF的三个分量为 ， 所求力F={Fx，Fy，Fz}． 则由对称性知 Fx=Fy=0 而 球面参数方程为 x=Rcosθsinψ，y=Rsinθsinψ z=Rcosψ 所以 dS=R2sinψdθdψ， 故 注意引力是一个向量．向量的叠加不能用模去加，必须用分量去加． 令a2+R2-2aRcosψ=t2 则 所以 此结果表明：当质点在球内，引力为零；当质点在球外，引力如同球面的质量集中于球心时对该点的引力． 注：我们可以在此题基础上，对题给出另一种解法，即求均匀球体对单位质点的引力．不妨只就a＜R的情况来做，我们用x2+y2+z2=r2来分割球体．当Δr→0时，认为球壳r2≤x2+y2+z2≤(r+Δr)2为均匀球面，半径为r．则只考虑r≤a．这个球壳的面密度在数值上为dr(体密度为1)．于是这一层对定点的引力为 所以 (a≤R) 所得结果与题完全一致．读者不难仿此得到当a＞R的情况． 3. 2．一平面经过原点和另一点(6，3，2)且与平而5x+4y-3z=8垂直，求此平面方程。
2．一平面经过原点和另一点(6，3，2)且与平而5x+4y-3z=8垂直，求此平面方程2．-17x+28y+9=04. 什么是刚性方程组?为什么刚性微分方程数值求解非常困难?什么数值方法适合求刚性方程?什么是刚性方程组?为什么刚性微分方程数值求解非常困难?什么数值方法适合求刚性方程?在求解微分方程组时，经常出现解的分量数量级差别很大的情形，这给数值求解带来很大困难，这种问题称为刚性问题． 求刚性方程数值解时，若用步长受限制的方法就将出现小步化计算大区间的问题，因此最好使用对步长h不加限制的方法． 如欧拉后退法及梯形法，即A-稳定的方法， 通常求解刚性方程的高阶线性多步法是吉尔方法还有隐式龙格-库塔法． 5. 设函数，f&39;(x)连续，且f(0)=0．设函数，f'(x)连续，且f(0)=0．A=0时，F(x)在x=0处连续$当x≠0时，，而 又 故F'(x)在x=0处连续． 6. 设星形线x=acos3t，y=asin3t上每一点处的线密度的大小等于该点到原点距离的立方，在原点O处有一单位质点，求星设星形线x=acos3t，y=asin3t上每一点处的线密度的大小等于该点到原点距离的立方，在原点O处有一单位质点，求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力．7. 求方程x2ydx=(1－y2＋x2－x2y2)dy的通解．求方程x2ydx=(1-y2+x2-x2y2)dy的通解．8. 设函数f(x)在(-∞，+∞)内有定义，下列函数中必为偶函数的有( )． A．y=|f(x)| B．y=f(x2) C．y=f(x)+f(-x) D．设函数f(x)在(-∞，+∞)内有定义，下列函数中必为偶函数的有( )． A．y=|f(x)| B．y=f(x2) C．y=f(x)+f(-x) D．y=cBCD[解] 选项A不对，例如f(x)=1+x．9. 求由抛物线y2=8x与直线x＋y－6=0及y=0(y≥0)所围成平面图形的面积．求由抛物线y2=8x与直线x+y-6=0及y=0(y≥0)所围成平面图形的面积．10. 使用最小平方法配合趋势直线时，求解a、b参数值的那两个标准方程式为______。
使用最小平方法配合趋势直线时，求解a、b参数值的那两个标准方程式为______∑y=na+b∑t ∑ty=a∑t+b∑t2 11. 设总体X有E(X)=μ，D(X)=σ2，从X中分别抽得样本容量分别为n、m的两组独立样本，样本均值分别记为．设总体X有E(X)=μ，D(X)=σ2，从X中分别抽得样本容量分别为n、m的两组独立样本，样本均值分别记为．因为，故T为μ的无偏估计．$ 令(D(T))'a=0，解得 而，可见D(T)在处取得唯一的极值且为极小值，故知时，D(T)最小． 12. 设有任意两个n维向量组α1，…，αm和β1，…,βm，若存在两组不全为零的数λ1，…，λm和k1，…，km，使(λ1+k1)α1+…+(λm+km)αm设有任意两个n维向量组α1，…，αm和β1，…,βm，若存在两组不全为零的数λ1，…，λm和k1，…，km，使(λ1+k1)α1+…+(λm+km)αm+(λ1-k1)β1+…+(λm-km)βm=0，则( ) A．α1…，αm和β1，…，βm都线性相关 B．α1，…，αm和β1，…，βm都线性无关 C．α1+β1，…，αm+βm，α1-β1，…，αm-βm线性无关 D．α1+β1，…，αm+βm，α1-β1，…，αm-βm线性相关D13. 计算曲线y=cosh x上点(0，1)处的曲率.高等数学复旦大学出版第三版上册课后答案习题二计算曲线y=coshx上点(0，1)处的曲率.计算曲线y=cosh x上点(0，1)处的曲率.答案仅供参考，不要直接抄袭哦14. 有界可测集的测度为有限数，无界可测集的测度为+∞。
)A.正确B.错误参考答案：B15. 假设目标出现在射程之内的概率为0.7，这时射击命中目标的概率为0.6，试求两次独立射击至少有一次命中目标的概假设目标出现在射程之内的概率为0.7，这时射击命中目标的概率为0.6，试求两次独立射击至少有一次命中目标的概率p．0.58816. 在数集{1，2，…，100}中随机地取一个数，已知取到的数不能被2整除，求它能被3或5整除的概率．在数集{1，2，…，100}中随机地取一个数，已知取到的数不能被2整除，求它能被3或5整除的概率．提示：以A2，A3，A5分别表示取到的数能被2，3，5整除，所求的概率为： 17. 设，2元实二次型XAX的一个特征值是λi，证明：Rn中存在非零向量α=(α1,α2……αn)，使得αAα=λ(α12,α22……αn设，2元实二次型XAX的一个特征值是λi，证明：Rn中存在非零向量α=(α1,α2……αn)，使得αAα=λ(α12,α22……αn2)正确答案：因为λi是A的一个特征值设α为对应于λ的特征向量且α=(α1α2……αn)则Aα=λiα从而f(α1α2……αn)一αTAα=αTλiα=λαTα=λi(α12α22……αn2)．因为λi是A的一个特征值,设α为对应于λ的特征向量,且α=(α1,α2……αn),则Aα=λiα从而f(α1,α2……αn)一αTAα=αTλiα=λαTα=λi(α12,α22……αn2)．18. 在lp(1≤P＜∞)中定义算子如下：y=Tx，其中 x={ξ1，ξ2，ξ3，…}， y={ξ2，ξ3，…} 证明：ρ(T)由满足|λ|＞1的一切点λ组成，在lp(1≤P＜∞)中定义算子如下：y=Tx，其中 x={ξ1，ξ2，ξ3，…}， y={ξ2，ξ3，…} 证明：ρ(T)由满足|λ|＞1的一切点λ组成，T的特征值由满足|λ|＜1的一切点λ组成，对于|λ|=1，λI-T是单映射。
1)‖T‖=1显然，所以|λ|＞1时，λ∈ρ(T) (2)|λ|＜1时， 它有非零解 x=ξ1{1，λ，λ2，…)∈lp(ξ1≠0)， 故|λ|＜1时，|λ|∈σp(T)(特征值)从而 σ(T)={λ‖λ‖≤1}，ρ(T)={λ||λ|＞1} (3)|λ|=1时，由(λI-T)x=0可知x必具有形式 ξ1{1，λ，λ2，…}， 故当且仅当ξ1=0时有x∈lp所以在lp中(λI-T)x=0只有零解，即|λ|=1时，(λI-T)是单映射 19. 试证明一棵二元完全树必有奇数个结点．试证明一棵二元完全树必有奇数个结点．方法一：设二元完全树T有n个结点，m条边．依定义，T中每个分支结点都关联两条边，所以m必为偶数．又因为T是树，有n=m+1，故n为奇数，因此二元完全树必有奇数个结点 方法二：设二元完全树T有n个结点，l片叶子，b个分支结点，则有n=l+b及b=l-1，所以n=l+b=l+l-1=2l-1，即n为奇数．本题可根据二元完全树的特点，树和图中边、结点的关系，经综合考虑得出结论 20. 设X，Y为拓扑空间，证明T：X→Y连续当且仅当对Y的每个闭集A，T-1(A)是X的闭集．设X，Y为拓扑空间，证明T：X→Y连续当且仅当对Y的每个闭集A，T-1(A)是X的闭集．[证明]记X，Y上的拓扑分别为τX，τY． 充分性 设B∈τY，则令A=Bc，A是闭集，有T-1(A)是闭集．于是T-1(B)=T-1(Ac)=[T-1(A)]c∈τX，这表明T连续． 必要性 设T连续，A是闭集，则Ac∈τY，从而[T-1(A)]c=。
