2019年高考文科数学全国卷Ⅰ文数(附参考答案和详解).doc

绝密★启用前 6月7日15:00-17:002019年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ）数学（文史类）总分：150分 考试时间：120分钟★祝考试顺利★注意事项：1、 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑2、 选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效3、 填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效4、 考试结束后，将本试卷和答题卡一并上交第I卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.（2019全国卷Ⅰ·文）设，则（ ） A. B. C. D.【解析】因为，所以.故选C.【答案】C2.（2019全国卷Ⅰ·文）已知集合，，，则（ ） A. B. C. D.【解析】因为，，所以.又，所以.故选C.【答案】C3.（2019全国卷Ⅰ·文）已知，，，则（ ） A. B. C. D.【解析】由对数函数的单调性可得，由指数函数的单调性可得，，所以.故选B.【答案】B4.（2019全国卷Ⅰ·文）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为，头顶至脖子下端的长度为，则其身高可能是（ ） A. B. C. D.【解析】设某人身高为m cm，脖子下端至肚脐的长度为n cm，则由腿长为105 cm，可得，解得.由头顶至脖子下端的长度为26 cm，可得，解得.所以头顶到肚脐的长度小于.所以肚脐到足底的长度小于.所以此人身高.综上，此人身高m满足.所以其身高可能为175 cm.故选B.【答案】B5.（2019全国卷Ⅰ·文）函数在的图象大致为（ ） A. B. C. D.【解析】因为，所以为奇函数，排除选项A.令，则，排除选项B，C.故选D.【答案】D6.（2019全国卷Ⅰ·文）某学校为了解名新生的身体素质，将这些学生编号为，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取名学生进行体质测验．若号学生被抽到，则下面名学生中被抽到的是（ ） A.号学生 B.号学生 C.号学生 D.号学生【解析】根据题意，系统抽样是等距抽样，所以抽样间隔为.因为46除以10余6，所以抽到的号码都是除以10余6的整数，结合选项知正确号码为616.故选C.【答案】C7.（2019全国卷Ⅰ·文）（ ） A. B. C. D.【解析】.故选D.【答案】D.8.（2019全国卷Ⅰ·文）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. 【解析】设，的夹角为，因为，所以，即.又，所以，所以.又因为，所以.故选B.【答案】B9.（2019全国卷Ⅰ·文）如图是求的程序框图，图中空白框中应填入（ ） A. B. C. D.【解析】对于选项A，第一次循环，；第二次循环，，此时，不满足，输出的值.故A正确；经验证选项B，C，D均不符合题意.故选A.【答案】A10.（2019全国卷Ⅰ·文）双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则的离心率为（ ） A. B. C. D.【解析】由题意可得，所以.故选D.【答案】D11.（2019全国卷Ⅰ·文）的内角，，的对边分别为，，，已知，，则（ ） A. B. C. D.【解析】因为，所以由正弦定理得，即.由余弦定理得，所以.故选A.【答案】A12.（2019全国卷Ⅰ·文）已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点．若，，则的方程为（ ） A. B. C. D.【解析】设椭圆的标准方程为，由椭圆定义可得.因为，所以.又，所以，所以.又因为，所以.所以A为椭圆的短轴端点.如图，不妨设，又，，所以.将B点坐标代入椭圆方程，得，所以.所以椭圆C的方程为.故选B.【答案】B第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分。

13.（2019全国卷Ⅰ·文）曲线在点处的切线方程为 ．【解析】因为，所以.令，得切线的斜率为.又切点坐标为，所以切线方程为.【答案】14.（2019全国卷Ⅰ·文）记为等比数列的前项和．若，，则 ．【解析】设等比数列的公比为，则.因为，所以，即，解得，所以.【答案】15.（2019全国卷Ⅰ·文）函数的最小值为 ．【解析】因为，令，则，所以.又函数的图象的对称轴，且开口向下，所以当时，有最小值.【答案】16.（2019全国卷Ⅰ·文）已知，为平面外一点，，点到两边，的距离均为，那么到平面的距离为 ．【解析】如图，过点P作PO⊥平面ABC于点O，则PO的长度为P到平面ABC的距离.再过点O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，连接PC，PE，PF，则PE⊥AC，PF⊥BC.又，所以，所以CO为∠ACB的平分线，即.在Rt△PEC中，，所以，所以，所以.【答案】三、解答题：本题共70分17.（2019全国卷Ⅰ·文）某商场为提高服务质量，随机调査了名男顾客和名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到如表列联表：满意不满意男顾客4010女顾客3020附：，（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异?【解析】（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为．女顾客中对该商场服务满意的比率为，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为．（2）．由于，故有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．18.（2019全国卷Ⅰ·文）记为等差数列的前项和，已知．（1）若，求的通项公式；（2）若，求使得的的取值范围．【解析】（1）设的公差为．由得．由得．于是，．因此的通项公式为．（2）由（1）得，故，．由知，故等价于，解得．所以的取值范围是．19.（2019全国卷Ⅰ·文）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，，，分别是，，的中点． （1）证明：；（2）求点到平面的距离．【解析】（1）连接，．因为，分别为，的中点，所以，且．又因为为的中点，所以．由题设知且，可得且，故且，因此四边形为平行四边形，．又，所以．（2）过作的垂线，垂足为．由已知可得，，所以，故．从而，故的长即为到平面的距离，由已知可得，，所以，故．从而点到平面的距离为．20.（2019全国卷Ⅰ·文）已知函数，为的导数．（1）证明：在区间存在唯一零点；（2）若时，，求的取值范围．【解析】（1）设，则，．当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减．又，，，故在存在唯一零点.所以在存在唯一零点.（2）由题设知，，可得．由（）知，在只有一个零点，设为，且当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减．又，，所以，当时，．又当，时，，故．因此，的取值范围是．21.（2019全国卷Ⅰ·文）已知点，关于坐标原点对称，，过点，且与直线相切．（1）若在直线上，求的半径；（2）是否存在定点，使得当运动时，为定值?并说明理由．【解析】（1）因为过点，，所以圆心在的垂直平分线上．由已知在直线上，且，关于坐标原点对称，所以在直线上，故可设．因为与直线相切，所以的半径为．由已知得，又，故可得，解得或．故的半径或．（2）存在定点，使得为定值．理由如下：设，由已知得的半径为，．由于，故可得，化简得的轨迹方程为．因为曲线是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，所以．因为，所以存在满足条件的定点．22.（2019全国卷Ⅰ·文）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为． （）求和的直角坐标方程； （）求上的点到距离的最小值．【解析】（）由得：，又，所以．整理可得的直角坐标方程为：，又，，所以的直角坐标方程为：．（）设上点的坐标为：，则上的点到直线的距离．当时，取最小值，则．23.（2019全国卷Ⅰ·文）已知，，为正数，且满足．证明：（1）；（2）．【解析】（1）因为，，，又，故有．所以．（2）因为，，为正数且，故有所以．第1页（共1 页）。