一类解析函数类的Hankel行列式的上界估计.pdf

第 3 3 卷第4期 2 0 1 3年 l 2月 数学理论与应用 MATHEMAT I C AL THEORY AND AP P LI CAT I ONS Vo 1 ． 3 3 No ． 4 De e ．2 0 1 3 Up p e r Bo u n d o f S e c o n d Ha n k e l De t e r mi n a n t f o r Ce r t a i n Cl a s s o f An a l y t i c Fu nc t i o n s I i Xi a o f e i ( Y a n g t z e U n i v e r s i t y C o l l e g e o f T e c h n o l o g y a n d E n g i n e e r i n g ， Y a n gt z e U n i v e r s i t y ， J i n g z h o u 4 3 4 0 2 0， C h i n a ) A b s t r a c t I n t h i s p a p e r ， l e t R ^ ( A， B )d e n o t e t h e s u b c l a s s o f n o r ma l i z e d a n al y t i c u n i v a l e n t f u n c t i o n s f d e ft n e d b y ( 1 一A ) + A 厂 ( )0 ．I f f a n d g a r e a n al y t i c i n U， w e s a y t h a t fi s s u b o r d i n a t e t o g， w r i t t e n f0 ． T h e s u b c la s s R w a s i n tro d u c e d s y s t e m a t i c a l ly b y M a c g r e g o r [ 5 ]a n d s t u d i e d b y J a n t e n g e t a1． [ 6 一 B 。

． I n [ 9 ] ， N o o n an a n d Tho m a s s t a te d th a t t h e q th H a n k e l d e t e r m i n a n t o f f i s d e fi n e d fo r q ≥1 a n d n≥ 1 b y ( n )= a n a n+l ⋯ a n q一1 a n+l a n+ 2 ⋯ an+q o n —l n n g ⋯ an+2 q 一2 A c l ass i c al t h e o r e m o f F e k e t e a n d S z e g o ㈨ c o n s i d e r e d t h e H ank e l d e t e rmi n a n t o f f∈S f o r q=2 and n = 1． = 1． The y m a d e a n e a r ly s t u d y fo r t h e e s t i m a te s o f I a 3 一 ／x a ； 1 w h e n ／ x r e a1 ． T h e u p p e r b o u n d o f I a 3 一 ／ x a l i s c a l l e d F e k e t e —S z e g o q u e s t i o n ．H e r e ， w e c o n s i d e r t h e Ha n k e l d e t e r mi n a n t o f f∈S for q 一类解析函数类的 H a n k e l 行列式的上界估计 H 2 ( 2 )= a 2 a 3 a3 a4 a 2 a 4 a ； I ， a n d o b t a i n a n u p p e r b o u n d t o t h e f u n c t i o n a l ( 2 )f o r )i n R ^ ( A， B ) ．Ma n y a u t h o r s h a v e o b — ta i n e d s h a r p u p p e r b o u n d s o f ( 2 ) fo r d i f f e r e n t c l a s s e s o f a n al y t i c f u n c t io n s ( s e e [ 1 1 ， 1 2 ] ) ．I n 0 r ． d e r t o p r o v e o u r m a i n r e s u l t s ， w e r e q u i r e t h e f o l l o w i n g l e m m a s d u e t o [ 1 3 ， 1 4 ] ． L e mma 1 ． 1 I f p ( z )∈P， t h e n I c I ≤ 2 fo r e a c h k≥ 1 ， w h e r e p ( z )=1+C 1 +c 2 +c 3 +⋯ ， z∈ L e mma 1 ． 2 L e t t h e f u n c t i o n p ( z )∈P b e g i v e n b y t h e p o w e r s e r i e s( 1 ． 3 ) ，t h e n for s o me ，l I≤ 1 ， a n d 2 c =c +x ( 4一c ) 4 c 3 =c ； + 2 ( 4 一 c ) c l 一 c l ( 4一 c ) + 2 ( 4一 c ) ( 1 - I I z for s o me z ．I z I ≤ 1 ． 2 M a i n r e s ul t ( 1 ． 3 ) ( 1 ． 4 ) ( 1 ． 5 ) T h e o r e m 2 ． 1 L e t t h e f u n c t i o n f ( Z )g i v e n b y( 1 ． 1 )b e i n t h e c l a s s R ^ ( A， B) ， w h e r e A≥ 1 ， 一1 ≤ B0 ．F o r c o n v e n i e n c e o f n o t a t io n ， w e t a k e c l=C ( c∈[ 0 ， 2 ] ) ．A l s o ， s u b s t i t u t i n g t h e v a l u e s o f c 2 a n d c 3 r e s p e c t i v e l y ， f r o m ( 1 ． 4 )a n d( 1 ． 5 )i n( 2 ． 7 ) ， w e h a v e I。

2 口 4一 32 l_ T l c ( d l+2 d 2+d 3+4 d 4 )+2 x c 2 ( 4一c ) ( d l+d 2+d 3 ) +( 4一c ) ( 一d l c +d 3 ( 4一c ) )+2 d l c ( 4一c ) ( 1一 } I ) I ． An a p p l i c a t i o n o f t ria n g l e i n e q u ali t y ，r e p l a c e me n t o f l I b y p! a n d s u b s t i t u t i n g t h e v a l u e s o f d l ， d 2 ， d 3 a n d d 4 f r o m ( 2 ． 9 ) ， w e g e t I 一 n 2， l ≤ 4 c ‘ ( 1 一 p ) B + 8 I B i 2 ．N e x t ， w e a s s u m e t h a t t h e u p p e r b o u n d f o r ( 2 ． 1 0 )o c c u r s a t a l l i n t e ri o r p o i n t 1 一 D 0 f t h e r e c t a n g l e[ 0 ， 2 ] ×[ 0 ， 1 ] ．D iff e r e n t i a t i n g F ( c ， ) i n( 2 ． 1 0 ) p a a ial ly w i t h r e s p e c t t o p , ， w e h a v e ：r [ 2 I B I( 1一 p ) c 2 ( 4一c )+2 p! ( 4一c ) ( c一 2 ) ( c一 ) ] ． ( 2 ． 1 1 ) o ／． t F 0 r o 0 ．1 1 1 e r e f 0 r e F ( c ， )i s a n i n c r e a s i n g f u n c ti o n o f p!， t h i s c o n t r a d i c t s o u r a s s u m p t i o n t h a t t h e m a x i mu m v a l u e o f F ( c ， ) O c c u r s a t a n i n t e ri o r p o i n t o f t h e r e c t a n g le[ 0 ， 2 ] ×[ 0 ， 1 ] ． M o r e o v e r ， fo r fi x e d c ∈[ O ， 2 ] ， M ax F( c ， )=F ( c ， 1 )=G ( c ) ． T h us ， G ( c )=t i c ( 1 一p ) ( 一2 l B I 一1 )+ 4 c ( 2 I B I ( 1 一 p )+1— 2 p )+1 6 p ] ． Ne x t ， G c )=4 c T [ c ( 1一 P ) ( B 一2 l B I 一1 )+2 ( 2 I B I ( 1一 P )+1 —2 p ) ] =4 c T [ c ( 1一 P ) ( B 一2 I B I 一1 )+2 { ( 1一 P ) [ 2 l B I +1 ]一 P } ] ． S o G ( C )G ( 2 ) ． T h e r e f o r e ， ma x - i mu m o f G ( C )o c c u r s a t c=0 ．The r e f o r e ， t h e u p p e r b o u n d o f F ( c ， )c o r r e s p o n d s t o p! 1 a n d C =0．He n c e， · 口 ：口 一 口 ，2 · ≤ · 6 p = l_ 筹． 数学理论与应用 T h i s c o mp l e t e s t h e p r o o f o f t h e T h e o r e m． Co r o l l a r y 2 ． 2 I f f ( z )∈R． t h e n。