建模能力.doc

数学教学中如何培养学生的建模能力河南省鹿邑县马铺高中 司庆帅 邮编 477200 摘要：什么是数学建模？在数学教学实践中如何培养学生的建模能力，并对数学建模的规律进行总结、阐发关键词：数学建模，抽象，概括，简化，构造，原型，回归检验 数学是人们在认识、改造客观世界的活动中总结、提炼出来的一门科学，是研究其他学科的有效工具它有很强的逻辑性、抽象性，还具有很高的美学价值，如定理、性质的简洁美、对称美、和谐美等对人类的智力发展具有很强的启发性、激发性一、什么是数学建模数学模型一般包括数学模式、数学模拟和狭义的数学模型三类我们所说的数学模型指的是第三个且它又有广义和狭义两种解释从广义上讲，一切数学概念、数学理论体系、各种数学公式、各种方程式、各种函数关系等，以及由公式系列构成的算法系统等现在数学建模已是一项专项技能和专门学科，具有很强的可操作性和广泛的实用性，如桥梁抗震力模型，体育训练模型、最优化模型等渗透到我们的生产、生活各个方面我们现在讲的是狭义的数学模型，那么什么是数学模型呢？数学模型就是用数学的语言和方法对各种生活实际对象作出抽象或模仿而形成的一种数学构造建立数学模型的过程就叫做数学建模。

它要将所考察的实际问题转化为数学问题，构造出相应的数学模型，通过对数学模型的研究和解答，使原来的实际问题得到解答，在此过程中必须对所研究的实际对象进行概括、简化，因此，它不等同于实际对象本身，它必须舍弃实际对象质的规定性，而从量的关系上对实际对象作形式化的描述和刻画，在这一过程中常常略去实际对象的某些次要性质或因素，抓住其主要性质或因素，然后研究或解答这个经过抽象、概括、简化的模型，从而得到问题的答案，然后还须把这个答案返回到原型中去应用和检验，即回归检验，如果得到的结论和原型的实际结果不合或与原实际问题所期望的结论相差甚远或风马牛不相及，则须进一步调整或重新建立数学模型二、如何培养学生的建模能力数学建模对中学生来讲并不是一个很抽象、很遥远、可望不可及的事情数学建模的例子在中小学的学习中可谓是随处可见，只是没有形成系统化、观念性、理论化和规律化，没有把它作为一个独立的成熟的理论系统加以揭示，像几何中的线段就是客观生活中一段路，一条光缆的数学模型在数学教学中要培养学生的建模能力，首先是要培养学生敏锐的观察力洞悉力，即要求学生会用数学的观点去观察分析实际问题质的规定性和形式上的规律、特点，各部分之间的协调性和牵制性，观察要有明确的目的、准确、全面和深刻，随之要进行分析、比较、选择、综合、判断，培养学生的转化、迁移、变通能力。

从而达到培养学生的数学观察、数学发现、数学猜想、数学论证能力其次，要使学生会根据事物的特点进行合理有效的抽象、概括、简化、提炼，然后进行数学构造，即建立行之有效的合乎客观实际的数学模型构造数学模型是一项创造性的工作，在提炼数学模型时，需妥善处理精确性和简单化的关系，使模型能反映实际问题的质的方向和关系，又要注意到简约化，以便于操作，在保证足够精确性的情况下，模型愈简化愈好 数学模型的典型例子就是历史上的哥尼斯堡七桥问题18世纪，东普鲁士的哥尼斯堡有条普莱格尔河，这条河有两条支流，在城中汇成大河，在市内有七座各具特色的大桥，连接岛（A、B）和两岸如下图所示，每逢傍晚或节假日，许多居民来这里散步，观赏美丽的风光，年长日久，便有人提出这样的问题，能否从某地出发，经过每一座桥一次且只一次，恰好返回出发地 这个问题很长时间未得到解决，1735年，几个大学生写信给大数学家欧拉，请他帮助解决，欧拉经过反复观察思索，敏锐地发现，整个问题与所走的路程无关，而且，整个岛区与两岸无非就是桥梁的连接点，因此，欧拉把两个岛和两岸抽象为四个点，把七座桥抽象为七条线，这样，问题就变成了能否一笔画出右图的问题，一个图形能否一笔画时，必须这个网络是连通的，且奇次点的个数是0或2，（一个点是奇次的是指与它相连的线的条数是奇数），在右图中，A、B、C、D都是奇次点，所以不能一笔画出。

由上可知：欧拉对七桥问题的巧妙解决，是通过构造数学模型来实现的在那里，七桥问题是一个具体的实际问题，属于数学模型的现实原形，经过理想化抽象所得到的一笔画问题，便是七桥问题的数学模型容易看出，在一笔画模型里，只保留了一次过七桥的基本属性，而其他一切非数学属性则全部舍弃了，所以从总体说，数学模型只是近似的展现了现实原型中的某些属性，而就对所要解决的实际问题而论，数学模型则更深刻、更正确、更完全地反映着现实，由此得到一笔画的网络理论和图论思想并且，我们在一笔画问题上进行推理，得到无解的结论后，就可以返回到七桥问题上，作出七桥问题无解的正确判断 在中学教学中，数学建模最常见的是代数问题的几何模型数轴是最简洁明了的代数问题的几何模型，它把代数中所有的实数与数轴上的所有点建立了一一对应关系，直观现象，一目了然现在再举两个代数问题建立几何模型的例子： 例1、求 （a>0）的值 我们要先从观察这个代数求值问题的形式入手，很容易发现它的形式上的规律和特点，改变它的形式即为S==，再根据幂乘积的法则，S=，下面就转化为求的值的问题，这对高中学生来说就是一个首项为，公比为的无穷等比数列的求和问题，利用无穷等比数列的求和公式S=（0

但如果我们建立一个它的几何模型，则很容易很直观地得到它的答案 为此，我们构造一个边长为1的正方形，（如右图所示）显然它的面积为1，把这个正方形沿两边折叠，则可把它分成相等的两部分，即两个，再把右边的再折叠，又可得到两个，再把下面的折叠，则得到，依次平分下去，又可以得到，由上图我们可以直观简洁明了地发现： 几乎可得到整个正方形，恰好为1从而，我们通过这个几何模型得到了代数问题的答案 建立这个代数问题的几何模型，关键是要引导学生观察、分析所给代数问题的整体、部分之间和形式上的规律、特点和联系，然后联想创造性的建立几何模型，对此解决，学生感到很惊奇，认为数学真奇妙，此题的解决方法、技巧真直观简洁明了，一目了然，易理解，使学生产生了数学真奇妙和数学方法的奥妙与它的鬼斧神工的功效，激发了学生探索数学问题的兴趣和信心，在此过程中培养了学生创造性地思考、联想、类比、迁移和变通能力 下面再举一个例子，如两人会面问题：甲乙两人相约在12—1在某地相见，约定甲乙两人中先到者等候15分钟后即离去，则两人相见的几率是多少？ 分析上例我们易知和地点无关，二者共同拥有1小时（60分钟）。

为此，我们建立如下平面直角坐标系， XX轴、Y轴分别表示甲乙到达的时刻，则 S甲乙相见的区域（时间段）是， O S Y即阴影部分，我们根据平面几何知识易知S =3600，S=S=，所以，S= S—2 S=3600—2，所以相见几率是=，这个代数问题的几何模型是建立在时间的延续性和时刻性，又有二者共同经营，故联想到建立如图坐标系三、数学建模的规律由以上三个例子我们可以发现数学建模是一项创造性的思维活动，要求每一个学生有敏锐的观察力，高度的抽象概括能力和简约化思想和丰富的联想能力，具体问题具体分析的灵活机动能力一般规律是：1、准备阶段时，要对所解决的问题首先了解其实际背景，明确问题的实际意义和目的要求，然后用数学语言来描述问题2、假设简化：明确了问题的目的，根据对象的特征对问题做进一步的精简，用精确的语言提出恰当的假设3、建模：在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻画各变量之间的应变关系，建立相应的数学结构，即建模4、参数估计：利用特例或获取的数据对模型中所有可能进行估计5、检验：将结果带回到原形中去验证，对可能结果与实际相比较，来验证它的准确性。

以上可简化为三条基本规律：1、从现实模型抽象简化到数学模型2、在数学模型中进行逻辑推理、论证或演算，求得数学问题的解3、从数学模型回归检验到原始模型不合乎规则的则需调整或重新建立新的数学模型在数学教学中要认真培养学生的抽象、概括、简化、提炼能力，尤其是培养他们敏锐的观察力、洞悉力，通过典型例题使其掌握数学建模的方法规律和步骤，培养他们良好的思维品质 创新是一个民族进步的不竭的动力和源泉，我们要全面贯彻推行、贯彻实施素质教育，培养与培育具有创新意识的构造能力的未来的建设者，使我们中华民族永葆青春和活力，永远屹立于世界民族之林 参考文献：数学思想方法论 戴启学 主讲 高等数学研究 李明振 主编 。