自控原理(8).ppt

第八章 非线性控制系统 一、本章重点1. 相轨迹法及相轨迹的绘制方法；2. 系统描述函数的求取，利用描述函数分析非线性系统稳定性 二、本章难点1. 绘制系统的相轨迹；2. 求非线性系统描述函数三、本章考点1. 绘制系统的相轨迹；2. 非线性环节的合并、实际系统归一化为典型结构；3. 利用描述函数分析非线性系统稳定性，自振荡产生的条件、幅值与频率 Date1§8.1 概述 1、意义理想的线性系统不存在；非线性系统千差万别u对于非线性程度不严重的系统，视为线性系统；u对于非线性程度严重的系统，不能视为线性系统，采用相应的 非线性分析方法2、特征u非线性系统，不满足叠加原理；u非线性系统稳定性分析复杂；u可能存在自激振荡现象u频率响应出现畸变Date23、非线性系统分析、设计方法 u相平面法；u描述函数法；u逆系统法 4、典型非线性特性 控制系统中，常见的非线性特性： 1）、饱和特性：控制系统中的放大部件，由于器件性能及电路参数等的限制，一般都具有输出饱和现象 r（t）y（t）①晶体管放大器 特性（实际）bay（t）r（t）② 饱和特性（理想）kay（t）r（t）③ 饱和特性的增益曲线Date3根据图②可知： y（t）= k·r（t） ∣r（t）∣≤ab·sign r（t） ∣r（t）∣> a 其中： a —— 线性区宽度； b = k·a —— 饱和度 k —— 线性区特性的斜率； sign r（t）= ＋1 r（t）> 0－1 r（t） a 其中： a —— 死区宽度； k —— 线性输出的斜率； Date4特点：①、可降低系统开环增益→提高平稳性→减弱动态响应的振荡倾向;②、会使系统的稳态误差ess增大.3)、滞环特性（间隙特性） r（t）y（t）bay（t）= k·[r（t）－a· sign r（t ）] b· sign r（t） r′（t） =0 r′（t） =0其中 2a——间隙宽度 k——间隙特性斜率 特点：增大系统静差→动态响应的振荡加 剧→稳定性变坏Date54）、继电器特性 y（t）-bb-a -mama ar（t）0 －ma00 －a0 继电器特性的三种特殊情况： a）、当a=0时，ma=a=0 ——理想继电器特性 b）、当m=1时，ma=a ——含有死区无滞环继电器特 c）、当m=-1时，-ma=a ——仅含有滞环继电器特性 Date65、非线性系统的特点及分析方法 1）、时域响应：不仅与输入信号的形式有关，而且与其大小、初始条件有关； 2）、稳定性：不仅与系统本身的结构、参数有关，而且与初始条件、输入信号有关； 3）、频率响应：为非正弦周期函数（输出畸变）； 4）、容易产生自振荡； 5）、分析问题和设计方法特殊： 描述函数法 /相平面法 /小偏差线性化 /计算机求解等 §8.2 描述函数 1、描述函数法的应用条件 Date71）、非线性系统的结构图可以简化为只有一个非线性环节N和一个 线性环节部分G（S）串联的闭环结构形式；如下图所示。

NG（S）2）、非线性环节N的输入输出静特性曲线是奇对称的，即: y（x）=－y（-x），以保证非线性元件在正弦信号作用下的输出不包 含直流分量； 3）、系统的线性部分G（S）要具有良好的低通滤波特性 2、描述函数的定义 c（t）yxr（t）=0NG（S）Date8设上图中非线性环节N的输入为： x（t）=Asinωt 则 y（t）一般为周期性非正弦信号，并可以展开为傅氏级数： 若系统满足“条件2）”，则有： Date9当n越大时，谐波分量的频率越高，An、Bn越小 若系统又满足“条件3）”，则高次谐波分量会被充分衰减， 因此可以近似地认为非线性环节N的稳态输出就只含有基波分量： 其中: Date101）、描述函数的定义: 非线性元件稳态输出的基波分量与输入正 弦信号的复数比定义为非线性环节的描述函数 并用N（A）表示： 2）、描述函数的特点: A）、描述函数类似于线性系统的频率特性，因此它可以把非线 性元件近似处理为线性元件（谐波线性化），并可利用频率法 来分析非线性系统 B）、描述函数表达了非线性元件对基波正弦量的传递能力 Date113、描述函数的求取步骤 1）、由非线性静特性曲线，画出正弦信号输入下的输出波形， 并写出输出波形y（t）的数学表达式； 2）、利用傅氏级数求出y（t）的基波分量； 3）、将求得的基波分量代入定义式，即得到N（A）。

4、典型非线性特性描述函数的计算 1）、理想继电器特性 输入为x（t）=A sinωt时，理想继电器特性的输出波形如右： -MxyMπ2π ωtx2ππyωtMDate12由于输出的周期方波信号为奇函数，则傅氏级数中的直流分 量A0与基波偶函数分量的系数A1均为零： A0 = A1 = 0而基波奇函数分量的系数B1为： 故基波分量为： 因此，理想继电器特性的描述函数为： Date132）、饱和特性 输入为x（t）=Asinωt，且A大于线性区宽度a时，饱和特性 的输出波形如下： ψ1π2π ωtxkayMx2π ψ1yωt由于输出的周期方 波信号为奇函数，则傅 氏级数中的直流分量A0 与基波偶函数分量的系 数A1均为零： A0= A1=0 又因为y（t）具有半波和四分之一波对称性，故基波奇函数 分量的系数B1为：Date14其中 ： 因此，饱和特性的描述函数为： （A≥a） Date15x（t）y1（t）y2（t）y（t）N1N2当输入： x（t）= Asinωt 时，则有： y1（t）= N1 Asinωty2（t）= N2 Asinωt 总的输出为：y（t）= y1（t）+ y2（t）=（N1+ N2）Asinωt 故总的描述函数为： N = N1+ N2 当N1 和N2为复数时上式仍成立。

5、组合非线性特性的描述函数 1）、非线性特性并联时描述函数的求取 设系统中有两个非线性特性并联，且其非线性特性都是单值 函数，因此它们的描述函数N1和N2都是实数，见下图: Date16结论： 数个非线性特性并联后，总的描述函数等于各个非线性环节描述函数之和 例如，下图为一个死区非线性环节和一个具有死区的继电非线性 环节相并联的结构： y1y2y=y1+y2xxy其等效的描述函数为: (A≥Δ) Date172）、非线性特性串联时描述函数的求取 当两个非线性环节串联时，其总的描述函数不等于两个非线 性环节描述函数的乘积，而是需要通过折算，先求出这两个非线 性环节的等效非线性特性，然后再根据等效的非线性特性求出总 的描述函数: xzyN1N2xyN比如，下图为一个死区非线性环节与一个饱和非线性环节 相串联的结构： 1zxK1=1(a)z2yK2=2(b)yx K=221 2x(c)Date18由于非线性特性对称于原点，故只分析X>0或Z>0的情况即可 （a）图 （b）图 （c）图01时（即z=x-1）01时（即x>2）y=2根据上表可得（c）图中X>0部分，同样可得（c）图中X0部分，同样可得（c）图中X<0部分， 因此等效后系统的非线性特性入图（c）所示。

其等效的非线性环节 为一个既有死区又有饱和的非线性特性，故总的描述函数为： （A≥1） 注意：如果调换串联的非线性环节之顺序，则等效的非线性特 性会发生改变，总的描述函数也不再一样 §8.3 描述函数法 1、非线性系统的稳定性分析 很多非线性系统通过适当的等效简化后，都可以化为由线性部 分和非线性部分串联而成的系统，如下图所示 注意:非线性系统等效简化的原则是“r（t）=0”时的等效 Date20系统的闭环频率特性为 系统的闭环特征方程为： 即： ……… 非线性特性的负倒描述函数 非线性系统满足上式的条件与线性系统中G（jω）曲线穿过临界 点（-1，j0）的情况相当，故： 就是非线性系统产生自振荡的条件，在复平面上－1/N（A）曲 线（即负倒特性曲线）是临界线 c（t）yxr（t）=0 N（A）G（jω）Date212、非线性系统稳定性判定 推广的奈氏判据：若复平面上已知G（jω）曲线和－1/N（A）曲 线，且G（S）开环稳定，则可根据两条曲线的相对位置来判断非线性 系统的稳定性： 1）、若G（jω）曲线不包围－ 1/N（A）曲线，则非线性系统稳 定，且两者距离越远，稳定程度越 高。

见右图（a） 2）、若G（jω）曲线包围了－1/N （A）曲线，则非线性不系统稳定， 当受到扰动后，系统的输出将无限 增加，直至发生故障或增至极限位 置为止见右图（b） －1/N（A）0jG（jω）（b）不稳定－1/N（A）0jG（jω）（a）稳定Date22AB－1/N（A）0jG（jω）（c）自振荡 “自振荡”确定如下： 在复平面上自振荡点的附近，当幅值A增加时，－1/N（A）曲线是 从不稳定区进入稳定区，则该点为稳定的自振荡（如c图A点）；3）、若G（jω）曲线与－1/N（A ）曲线相交，则非线性系统中存在 着近似正弦的周期运动即自振荡（ 极限环），此时可以稳定也可以不 稳定见右图（c） 反之，当幅值A增加时，而－1/N（A）曲线是从稳定区进入不稳 定区，则该点为不稳定的自振荡（如c图B点） Date233、自振荡问题分析 自振荡的振幅和频率求取方法： 1）、图解法； 2）、自振荡条件法通过非线性系统的闭环特征方程式: 即 ： |N（A）G（jω）| = 1及∠N（A）G（jω）=－π来求得 例题1：具有理想继电特性的非线性系统如图（a）所示， （b）-11c（t）yxr（t）=0NG（S）（a）其中非线性特性如图（b）所示，线性部分的传递函数为： Date24, 试计算该系统的自振荡的振幅和频率。

解：因为理想继电器的描述函数为： 即: 当A=0时，-1/N（A）=0； 当A=∞时，-1/N（A）= －∞，因此－1/N（A）曲线为整个 负实轴区间而线性部分的频率特性为： 故系统的－1/N（A）和G（jω）曲线如下： Date25-2 -1-1/N（A）G（jω）j要计算系统的自振荡的振幅和频率，就是求取两条曲线的交点处的幅值A及ω： 令 Im[G（jω）] = 0 得到， ω=1.414此时有Re[G（jω）] = －1.66 即 －1/N（A）= －πA/4= -1.66 故 A=2.1, (rad/s)Date26例题2：试将图（a）和图（b）所示两个非线性系统归一化 为一个非线性部分和一个线性部分串联的典型结构 rcNG1G2（a）解：图（a）中，由于G1和G2构 成一个内环负反馈，且等效于 故图（a）所示非线性系统可归一化为如下典型结构： rcNGDate27图（b）中，先将主反馈回 路（外环）与G构成闭环回 路，即: rcNGHrcNG 1 + GHrcNG H1 + GrcNGH（b）Date28例题3、系统动态框图如图所示1) 当时，分析系统是否会产生自持振荡。

若有自振，求自振的频 率和振幅2) 当时，分析分析系统的稳定性Date29解：变换框图如下图所示线性部分传递函数即所以Date30由于故且Date31较大的A值表示自持振荡，故2) 当Date32例题4：教材P418例题8-5； 例题5：参考教材二P296例题7-4； Date33。