高等数学：11-6高斯公式.ppt

第6节Green 公式Gauss 公式推广一、高斯公式二、通量与散度 上页 下页 返回 结束 高斯公式一、高斯 ( Gauss ) 公式定理6.1 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲 上有连续的一阶偏导数 ,下面先证:函数 P, Q, R 在面 所围成, 的方向取外侧, 则有 (Gauss 公式)上页 下页 返回 结束 证明: 设为XY型区域 , 则上页 下页 返回 结束 所以若 不是 XY型区域 , 则可引进辅助面将其分割成若干个 XY型区域,故上式仍成立 .正反两侧面积分正负抵消,在辅助面类似可证 三式相加, 即得所证 Gauss 公式：上页 下页 返回 结束 例1. 利用Gauss 公式计算积分其中 为锥面解: 作辅助面取上侧介于 z = 0 及 z = h 之间部分的下侧. 所围区域为,则 上页 下页 返回 结束 利用对称性上页 下页 返回 结束 （P233页第1题第（4）小题类似题：本题曲面不封闭）例2. 设 为曲面取上侧, 求 解: 作取下侧的辅助面用柱坐标用极坐标上页 下页 返回 结束 在闭区域 上具有一阶和二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公式例3. 设函数其中 是整个 边界面的外侧. 分析: 高斯公式上页 下页 返回 结束 证:令由高斯公式得移项即得所证公式上页 下页 返回 结束 二、通量与散度(课本248页)引例. 设稳定流动的不可压缩流体的密度为1, 速度场为理意义可知, 设 为场中任一有向曲面, 单位时间通过曲面 的流量为 则由对坐标的曲面积分的物 由两类曲面积分的关系, 流量还可表示为上页 下页 返回 结束 若 为方向向外的闭曲面, 当 0 时, 说明流入 的流体质量少于 当 0 时, 说明流入 的流体质量多于流出的, 则单位时间通过 的流量为 当 = 0 时, 说明流入与流出 的流体质量相等 . 流出的, 表明 内有泉; 表明 内有洞 ;根据高斯公式, 流量也可表为上页 下页 返回 结束 方向向外的任一闭曲面 , 记 所围域为, 设 是包含点 M 且为了揭示场内任意点M 处的特性, 在式两边同除以 的体积 V, 并令 以任意方式缩小至点 M 则有此式反应了流速场在点M 的特点: 其值为正,负或 0, 分别反映在该点有流体涌出, 吸入, 或没有任何变化. 上页 下页 返回 结束 定义:设有向量场其中P, Q, R 具有连续一阶偏导数, 是场内的一片有向 则称曲面, 其单位法向量 n, 为向量场 A 通过有向曲面 的通量(流量) .在场中点 M(x, y, z) 处 称为向量场 A 在点 M 的散度.记作上页 下页 返回 结束 表明该点处有正源, 表明该点处有负源, 表明该点处无源, 散度绝对值的大小反映了源的强度.若向量场 A 处处有 , 则称 A 为无源场. 例如, 匀速场 故它是无源场.上页 下页 返回 结束 说明: 由引例可知, 散度是通量对体积的变化率, 且小 结1. 高斯公式及其应用公式:应用:(1) 计算曲面积分 (非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)(2) 推出闭曲面积分为零的充要条件: 上页 下页 返回 结束 2. 通量与散度 设向量场P, Q, R, 在域G内有一阶 连续 偏导数, 则 向量场通过有向曲面 的通量为 G 内任意点处的散度为 上页 下页 返回 结束 思 考所围立体,判断下列演算是否正确?(1)(2) 为上页 下页 返回 结束 作 业P233 A类：1 奇数题; 2 ; B类: 2上页 下页 返回 结束 。