六年级奥数组合的基本应用(一)学生版-7页.pdf

1 / 7 六年级奥数组合的基本应用一学生版2.了解组合数的意义,能根据具体的问题,写出符合要求的组合；3.掌握组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；4.会分析与数字有关的计数问题,以及与其他专题的综合运用,培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；通过本讲的学习,对组合的一些计数问题进行归纳总结,重点掌握组合的联系和区别,并掌握一些组合技巧,如排除法、插板法等一、组合问题日常生活中有很多“ 分组 ” 问题如在体育比赛中,把参赛队分为几个组,从全班同学中选出几人参加某项活动等等这种“ 分组 ” 问题 ,就是我们将要讨论的组合问题,这里 ,我们将着重研究有多少种分组方法的问题一般地 ,从n个不同元素中取出m个mn元素组成一组不计较组内各元素的次序,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合从排列和组合的定义可以知道,排列与元素的顺序有关,而组合与顺序无关如果两个组合中的元素完全相同,那么不管元素的顺序如何,都是相同的组合,只有当两个组合中的元素不完全相同时 ,才是不同的组合从n个不同元素中取出m个元素mn的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数记作mnC一般地 ,求从n个不同元素中取出的m个元素的排列数nmP 可分成以下两步：第一步：从n个不同元素中取出m个元素组成一组,共有mnC种方法；第二步：将每一个组合中的m个元素进行全排列,共有mmP种排法根据乘法原理,得到mmmnnmPCP 因此 ,组合数12)1123 2 1mmnnmmPnnnnmCPmmm（） （）（） （）这个公式就是组合数公式二、组合数的重要性质知识要点教学目标7-5-1. 组合的基本应用（一）2 / 7 一般地 ,组合数有下面的重要性质：mn mnnCCmn这个公式的直观意义是：mnC表示从n个元素中取出m个元素组成一组的所有分组方法n mnC表示从n个元素中取出nm个元素组成一组的所有分组方法显然,从n个元素中选出m个元素的分组方法恰是从n个元素中选m个元素剩下的nm个元素的分组方法例如 ,从 5 人中选 3人开会的方法和从5 人中选出2人不去开会的方法是一样多的,即3255CC 规定1nnC,01nC模块一、组合之计算问题【例 1】计算：26C ,46C ；27C ,57C 【考点】组合之基本运用【难度】 1 星【题型】解答【解析】 22662265152 1PCP,4466446543154321PCP227722762121PCP,557755765432154321PCP【小结】注意到上面的结果中,有2466CC ,2577CC 【答案】 2615C,4615C2721C,5721C【例 2】计算：198200C；5556C；981001001002CC【考点】组合之基本运用【难度】 1 星【题型】解答【解析】 2198200 198220020020020022200199199002 1PCCCP；15556 551565656561156561PCCCP；298100210010010010022100992212249482 1PCCCP【答案】 19900 564948 【巩固】计算：312C ；9981000C；2288PC 【考点】组合之基本运用【难度】 1 星【题型】解答【解析】 3121211 10220321C99821000100010009994995002 1CC2288878756282821PC【答案】 312220C9981000499500C228828PC例题精讲3 / 7 模块二、组合之体育比赛中的数学【例 3】某校举行排球单循环赛,有12个队参加问：共需要进行多少场比赛？【考点】组合之基本运用【难度】 1 星【题型】解答【解析】 因为比赛是单循环制的,所以 ,12个队中的每两个队都要进行一场比赛,并且比赛的场次只与两个队的选取有关而与两个队选出的顺序无关所以,这是一个在12个队中取2个队的组合问题由组合数公式知,共需进行21212116621C场比赛【答案】21266C【巩固】芳草地小学举行足球单循环赛,有24个队参加问：共需要进行多少场比赛？【考点】组合之基本运用【难度】 1 星【题型】解答【解析】 由组合数公式知,共需进行22424232762 1C场比赛【答案】224276C【例 4】六个人传球 ,每两人之间至多传一次,那么最多共进行次传球【考点】组合之基本运用【难度】 2 星【题型】填空【关键词】迎春杯,三年级 ,初赛 ,7 题【解 析】本题是一道比赛场数计数问题,“ 每两个人之间至多传一次” ,让 6 个人最多次地传球,则是 5432115次 .但要看是否可以传回去,在传递过程中两人是否重复.15 条线 ,代表传球15 次,根据一笔画问题,行不通 ,应减少奇数点的个数,共有 6 个奇数点 ,应该去掉两条直线,也就是去掉 4个奇数点 ,还剩下 2个奇数点 ,就可以传递回来了 .所以答案为54321213次 .ABCDEF【答案】 13次【例 5】一批象棋棋手进行循环赛,每人都与其他所有的人赛一场,根据积分决出冠军,循环赛共要进行 78场 ,那么共有多少人参加循环赛？【考点】组合之基本运用【难度】 2 星【题型】解答【解析】 从若干人中选出2人比赛 ,与选出的先后顺序无关,这是一个组合问题依题意,假设有n个人参加循环赛,应该有21782 1nnnC（）,所以178213 12nn（）,所以13n,即一共有 13 人参加循环赛【答案】13n【例 6】某校举行男生乒乓球比赛,比赛分成 3个阶段进行 ,第一阶段：将参加比赛的48名选手分成 8个小组 ,每组 6人,分别进行单循环赛；第二阶段：将8个小组产生的前2名共 16人再分成4个小组 ,每组4人,分别进行单循环赛；第三阶段：由4个小组产生的4个第1名进行2场半决赛和2场决赛 ,确定1至4名的名次问：整个赛程4 / 7 一共需要进行多少场比赛？【考点】组合之基本运用【难度】 2 星【题型】解答【解析】 第 一阶段中 ,每个小组内部的6个人每2人要赛一场,组内赛2665152 1C场,共 8个小组 ,有 158120场；第二阶段中 ,每个小组内部4人中每2人赛一场 ,组内赛2443621C场,共4个小组 ,有 6424场；第三阶段赛224场根据加法原理 ,整个赛程一共有120244148场比赛【答案】 148【例 7】有8个队参加比赛,采用如下图所示的淘汰制方式问在比赛前抽签时,可以得到多少种实质不同的比赛安排表？【考点】组合之基本运用【难度】 3 星【题型】解答【解 析】 法 1先选 4 人,再考虑组合的方法8 选 4 有4870C种组合 ,其中实质不同的有一半,即 70235 种；对每一边的4 个人 ,共有实质性不同的2423C种, 所以 ,可以得到 3533315 种实质不同的比赛安排表法 2先考虑所有情况,再考虑重复情况首先是 8!8765432 1考虑到实质相同：2；3、4；5、6；7、8；一、二；三、四；A、B, 以上 7 组均可交换 ,即每一种实际上重复计算了72 次,答案为：78! 2315【答案】 315模块三、组合之数字问题【例 8】从分别写有1、 3、 5 、 7 、 9 的五张卡片中任取两张,做成一道两个一位数的乘法题 ,问： 有多少个不同的乘积？ 有多少个不同的乘法算式？【考点】组合之基本运用【难度】 3 星【题型】解答【解析】 要考虑有多少个不同乘积由于只要从5 张卡片中取两张,就可以得到一个乘积,所以 ,有多少个乘积只与所取的卡片有关,而与卡片取出的顺序无关,所以这是一个组合问题5 / 7 由组合数公式 ,共有225522541021PCP个不同的乘积 要考虑有多少个不同的乘法算式,它不仅与两张卡片上的数字有关,而且与取到两张卡片的顺序有关,所以这是一个排列问题由排列数公式 ,共有255420P种不同的乘法算式【答案】 2510C2520P【巩固】9、8、7、6、5、3、 0这10个数字中划去7个数字 ,一共有多少种方法？【考点】组合之基本运用【难度】 2 星【题型】解答【解析】 相当于在10 个数字选出7 个划去 ,一共有10 9 8 7 6 5 4 7 6 5 4 3 2 1=10 9 8 3 2 1=120 种【答案】 120 【巩固】从分别写有1、2、 3、4、 5、 6 、 7 、 8 的八张卡片中任取两张,做成一道两个一位数的加法题,有多少种不同的和？【考点】组合之基本运用【难度】 2 星【题型】解答【解析】228822872821PCP种 【答案】2828C【例 9】有红、黄、蓝、绿四种颜色的卡片各5张 ,且每种颜色的卡片上分别标有1,2,3,4,5,从这些卡片中取出5张,要求 3、 5各一张 ,但四种颜色都要有,求共有 _种取法？【考点】组合之基本运用【难度】 3 星【题型】填空【关键词】学而思杯,4 年级 ,第 14 题【解析】 四种颜色都有 ,则有两个数是同一种颜色即可,其它三个数字和三种颜色一一对应。

21543!240CC种【答案】 240 种【例 10】 在 1100中任意取出两个不同的数相加,其和是偶数的共有多少种不同的取法？【考点】组合之基本运用【难度】 3 星【题型】解答【解析】 两个数的和是偶数,通过前面刚刚学过的奇偶分析法,这两个数必然同是奇数或同是偶数 ,而取出的两个数与顺序无关,所以是组合问题从 50 个偶数中取出2个 ,有250504912252 1C种取法；从 50 个奇数中取出2个 ,也有250504912252 1C种取法根据加法原理,一共有 122512252450 种不同的取法【小结】在本题中,对两个数的和限定了条件不妨对这个条件进行分类,如把和为偶数分成两奇数相加或两偶数相加这样可以把问题简化【答案】 2450【巩固】从 19、 20 、 、 93 、 94 这 76个数中 ,选取两个不同的数,使其和为偶数的选法总数是多少？【考点】组合之基本运用【难度】 3 星【题型】解答【解析】 19 、 20、 、 93 、 94 中有 38 个奇数 ,38 个偶数 ,从 38个数中任取2个数的方法有：238383770321C种 ,所以选法总数有：70321406 种 【答案】 14066 / 7 【例 11】 一个盒子装有10 个编号依次为1,2, 3,10 的球 ,从中摸出 6 个球 ,使它们的编号之和为奇数 ,则不同的摸法种数是多少？【考点】组合之基本运用【难度】 3 星【题型】解答【解析】 10 个编号中 5 奇 5 偶,要使 6 个球的编号之和为奇数,有以下三种情形：5 奇1偶 ,这时对奇数只有1种选择 ,对偶数有5 种选择由乘法原理,有 1 55种选择；3 奇 3 偶 , 这 时 对 奇 数 有355431032 1C 种 选 择 , 对 偶 数 也 有3554310321C种选择由乘法原理,有 1010100 种选择；1奇 5 偶,这时对奇数有5 种选择 ,对偶数只有1种选择由乘法原理, 有 515种选择由加法原理 ,不同的摸法有51005110 种【答案】 5 100 110【例 12】 用2个1,2个2,2个 3可以组成多少个互不相同的六位数？用2个 0,2个1,2个2可以组成多少个互不相同的六位数？【考点】组合之基本运用【难度】 3 星【题型】解答【解析】 先 考虑在6 个数位上选2个数位放1,这两个1的顺序无所谓,故是组合问题,有26651521C种选法；再从剩下的4个数位上选2个放2,有2443621C种选法；剩下的2个数位放 3,只有1种选法由乘法原理 ,这样的六位数有156190 个 在前一问的情况下组成的90 个六位数中 ,首位是1、2、3的各 30 个如果将 3全部换成 0 ,这 30 个首位是0 的数将不是六位数,所以可以组成互不相同的六位数903060个 【答案】 60【例 13】 从1,3,5 , 7, 9 中任取三个数字,从2,4, 6 ,8 中任取两个数字,组成没有重复数字的五位数 ,一共可以组成多少个数？【考。