弹性地基梁计算理论及算例讲义课件.ppt

实用文档实用文档1.概述概述定定义：弹性地基梁，性地基梁，是指搁置在具有一定弹性地基上，各点与是指搁置在具有一定弹性地基上，各点与地基紧密相贴的梁地基紧密相贴的梁如铁路枕木、钢筋混凝土条形基础如铁路枕木、钢筋混凝土条形基础梁，等等梁，等等通通过这种梁，将作用在它上面的荷种梁，将作用在它上面的荷载，分布到，分布到较大面大面积的地基上，既使承的地基上，既使承载能力能力较低的地基，低的地基，能承受较大的荷能承受较大的荷载，又能使梁的变形减小，提高刚度降低内力载，又能使梁的变形减小，提高刚度降低内力地下建筑地下建筑结构构弹性地基梁可以是性地基梁可以是平放的，也可以是竖放平放的，也可以是竖放的的，地基介质可以是岩石、粘土等固体材料，也可以是，地基介质可以是岩石、粘土等固体材料，也可以是水、油之类的液体介质弹性地基梁是超静定梁，其计水、油之类的液体介质弹性地基梁是超静定梁，其计算有专门的一套计算理论算有专门的一套计算理论实用文档实用文档1.荷载种类和组合荷载种类和组合弹性地基梁与普通梁的区性地基梁与普通梁的区别：实用文档实用文档2.弹性地基梁的计算模型弹性地基梁的计算模型计算模型分算模型分类：.由于地基梁由于地基梁搁置在地基上，梁上作用有荷置在地基上，梁上作用有荷载，地基梁在荷，地基梁在荷载作用下与地基一起作用下与地基一起产生沉陷，因而梁底与地基表面存在相互作用生沉陷，因而梁底与地基表面存在相互作用反力反力，的大小与地基沉降的大小与地基沉降y有密切关系，很显然，沉降越大，反有密切关系，很显然，沉降越大，反力力 也越大，因此在弹性地基梁的计算理论中也越大，因此在弹性地基梁的计算理论中关键问题是如何确定地关键问题是如何确定地基反力与地基沉降之间的关系基反力与地基沉降之间的关系，或者说如何选取弹性地基的计算模，或者说如何选取弹性地基的计算模型问题。

型问题1.1.局部局部弹性地基模型性地基模型2.半无限体弹性地基模型半无限体弹性地基模型实用文档实用文档1.1.局部局部弹性地基模型性地基模型 1867年前后，温克尔（年前后，温克尔（E.Winkler）对地基提出如下假设：）对地基提出如下假设：地基表面任一点的沉降与该点单位面积上所受的压力成正比地基表面任一点的沉降与该点单位面积上所受的压力成正比即即式中式中,y为地基的沉陷，为地基的沉陷，m；k为地基系数，为地基系数，其物理意义为：，其物理意义为：使地基产生单位沉陷所需的压强；使地基产生单位沉陷所需的压强；p为单位面积上的压力强度，为单位面积上的压力强度，这个假设这个假设实际上是把地基模拟为刚性支座上一系列独立的弹簧实际上是把地基模拟为刚性支座上一系列独立的弹簧当地基表面上某一点受压力基表面上某一点受压力p时，由于时，由于弹簧是彼此独立的弹簧是彼此独立的，故只在该点局，故只在该点局部产生沉陷部产生沉陷y，而在其他地方不产生任何沉陷因此，这种地基模型，而在其他地方不产生任何沉陷因此，这种地基模型称作局部弹性地基模型称作局部弹性地基模型3.1）实用文档实用文档优点：点：可以考可以考虑梁本身的梁本身的实际弹性性变形，消除了反力直形，消除了反力直线分布假分布假设中的缺点。

中的缺点1.1.局部局部弹性地基模型性地基模型缺点：缺点：p没有反映地基的没有反映地基的变形形连续性性，当地基表面，当地基表面在某一点承受压力时，实际上不仅在该点局在某一点承受压力时，实际上不仅在该点局部产生沉陷，而且也在邻近区域产生沉陷部产生沉陷，而且也在邻近区域产生沉陷由于没有考虑地基的连续性，故温克尔假设由于没有考虑地基的连续性，故温克尔假设不能全面地反映地基梁的实际情况，不能全面地反映地基梁的实际情况，特别对特别对于密实厚土层地基和整体岩石地基，将会引于密实厚土层地基和整体岩石地基，将会引起较大的误差起较大的误差p但是，如果地基的上部为较薄的土层，下但是，如果地基的上部为较薄的土层，下部为坚硬岩石，则地基情况与图中的弹簧模部为坚硬岩石，则地基情况与图中的弹簧模型比较相近，这时将得出比较满意的结果型比较相近，这时将得出比较满意的结果实用文档实用文档2.半无限体弹性地基模型半无限体弹性地基模型优点：点：缺点：缺点：本章所本章所讨论的的弹性地基梁性地基梁计算理算理论采用局部弹性地基模型采用局部弹性地基模型实用文档实用文档3.弹性地基梁的挠度曲线微分方程弹性地基梁的挠度曲线微分方程式及其初参数解式及其初参数解 基本假基本假设：实用文档实用文档1.弹性地基梁的挠度曲线微分方程式弹性地基梁的挠度曲线微分方程式 左左图所示所示为局部局部弹性地性地基梁上的基梁上的长为l、宽度、宽度b为单位宽为单位宽度度1的等截面直梁，在荷载的等截面直梁，在荷载及及Q作用下，梁和地基的沉陷为作用下，梁和地基的沉陷为，梁与地基之间的反力为，梁与地基之间的反力为。

在局部弹性地基梁的计算中，在局部弹性地基梁的计算中，通常以沉陷函数通常以沉陷函数作为基本未知作为基本未知量，地基梁在外荷载量，地基梁在外荷载、Q作作用下产生变形，最终处于平衡状用下产生变形，最终处于平衡状态，选取坐标系态，选取坐标系xoy，外荷载，地，外荷载，地基反力，梁截面内力及变形正负基反力，梁截面内力及变形正负号规定如右图所示号规定如右图所示实用文档实用文档1.弹性地基梁的挠度曲线微分方程式弹性地基梁的挠度曲线微分方程式 为建立建立应满足的足的挠曲微分方程，在梁中截取一微段曲微分方程，在梁中截取一微段，考察考察该段的平衡有：段的平衡有：得：得：得：得：化简得：化简得：将上式将上式对于于x求导得：求导得：略去二略去二阶微量得：微量得：（3.2）（3.3）（3.4）实用文档实用文档 如如果果梁梁的的挠度度已已知知，则梁梁任任意意截截面面的的转角角Q，弯弯矩矩M，剪剪力力Q可可按按材材料力学中的公式来计算，即料力学中的公式来计算，即:1.弹性地基梁的挠度曲线微分方程式弹性地基梁的挠度曲线微分方程式 此即此即为弹性地基梁的性地基梁的挠曲微分方程式曲微分方程式实用文档实用文档令令，若地基梁若地基梁宽度度为b，则有，则有2.对应齐次微分方程的通解对应齐次微分方程的通解 上面推上面推导得得弹性地基梁的性地基梁的挠曲微分方程式是一个四曲微分方程式是一个四阶常系数常系数线性非性非齐次微分方程，令式中次微分方程，令式中，即得，即得对应齐次微分方程：次微分方程：由微分方程理由微分方程理论知，上述方程的通解由四个知，上述方程的通解由四个线性无关的特解性无关的特解组合而成。

合而成为寻找四个找四个线性无关的特解，令性无关的特解，令并代入上式有：并代入上式有：或或由复数开方根公式得：由复数开方根公式得：是与梁和地基的是与梁和地基的弹性性性性质相关的一个相关的一个综合参数，反映了地基梁与地基合参数，反映了地基梁与地基的相的相对刚度，度，对地基梁的受力特性和地基梁的受力特性和变形有重要影响，通常把形有重要影响，通常把称为特征系数称为特征系数，称为换算长度称为换算长度3.7）（3.8）（3.9）实用文档实用文档2.对应齐次微分方程的通解对应齐次微分方程的通解 由上式（由上式（3.8），分别令时），分别令时k=1,2,3时，即可得四个线性无关的特解，将其进行时，即可得四个线性无关的特解，将其进行组合并引入四个积分常数，即得齐次微分方程式（组合并引入四个积分常数，即得齐次微分方程式（3.7）的通解；）的通解；利用双曲函数关系：利用双曲函数关系：且令且令则有有式中式中B1B1、B2B2、B3B3、及、及B4B4均为待定积分常数均为待定积分常数式（式（3.103.10）和式（）和式（3.113.11）均为微分方程（）均为微分方程（3.73.7）的通解，在不同的）的通解，在不同的问题中，有各自不同的方便之处。

问题中，有各自不同的方便之处3.10）（3.11）实用文档实用文档（一）初参数法（一）初参数法 3.初参数解初参数解 由式（由式（3.11），再据式（），再据式（3.5）有）有（3.12）式（式（3.12）中积分常数）中积分常数B1、B2、B3、B4的确定是一个重要环节，梁在任一的确定是一个重要环节，梁在任一截面都有四个参数量，即挠度截面都有四个参数量，即挠度y、转角、转角、弯矩、弯矩M、剪力、剪力Q、而初始截面、而初始截面（x=o）的）的四个参数四个参数、就叫做初参数就叫做初参数实用文档实用文档用初参数法用初参数法计算了算了弹性地基梁的基本思路是，性地基梁的基本思路是，把四个积分常把四个积分常数改用四个初参数来表示数改用四个初参数来表示，这样做的好处是，这样做的好处是:l使积分常数具有明确的物理意义使积分常数具有明确的物理意义;l根据初参数的物理意义来寻求简化计算的途径根据初参数的物理意义来寻求简化计算的途径3.初参数解初参数解 （二）用初参数表示（二）用初参数表示积分常数分常数如如图3.4所示，梁左端的四个边界所示，梁左端的四个边界条件（初参数）为条件（初参数）为（3.13）将上式代入式（将上式代入式（3.12），解出），解出积分常数得：积分常数得：实用文档实用文档（3.14）3.初参数解初参数解 再将式（再将式（3.14）代入式（）代入式（3.12），并注意），并注意，则有则有（3.15）实用文档实用文档3.初参数解初参数解 其中其中、称称为双曲线三角函数双曲线三角函数，它们之间有如下微分关系：，它们之间有如下微分关系：实用文档实用文档u式（3.15）即为用初参数表示的齐次微分方程的;，u该式的一个显著优点是式中每一项都具有明确的物理意义;u如式（3.15）中的第一式中，表示当原点有单位挠度（其他三个初参数均为零）时梁的挠度方程，u 表示表示原点有单位转角时梁的挠度方程原点有单位转角时梁的挠度方程，等等；，等等；u另一个另一个显著著优点是点是，在四个待定常数，在四个待定常数、中中有两个参数可由原点端的两个边界条件直接求出，有两个参数可由原点端的两个边界条件直接求出，另两个待定初参数由另一端的边界条件来确定另两个待定初参数由另一端的边界条件来确定。

这样就这样就使确定参数的工作得到了简化表使确定参数的工作得到了简化表3.1列出了实际工程列出了实际工程中常遇到的支座形式反荷载作用下梁端参数的值中常遇到的支座形式反荷载作用下梁端参数的值3.初参数解初参数解 实用文档实用文档3.初参数解初参数解 实用文档实用文档式（式（3.7）等价于地基梁仅在初参数作用下的挠曲微分方程，式）等价于地基梁仅在初参数作用下的挠曲微分方程，式（3.6）等价于地基梁既有初参数作用，又有外荷载作用的挠曲微分方程，其特）等价于地基梁既有初参数作用，又有外荷载作用的挠曲微分方程，其特解项就是仅在外荷载作用下引起的梁挠度的附加项下面根据梁上作用的各种解项就是仅在外荷载作用下引起的梁挠度的附加项下面根据梁上作用的各种形式荷载分别加以讨论形式荷载分别加以讨论4.弹性地基梁挠曲微分方程的特解弹性地基梁挠曲微分方程的特解 （一）集中荷（一）集中荷载作用的特解作用的特解项1、集中力作用的特解项集中力作用的特解项如如图3.5为一弹性地基梁，为一弹性地基梁，O端作用有初参数端作用有初参数、，A点有集中力点有集中力p设y1为为OA段的挠度表达式，段的挠度表达式，y2为为AB段的挠度表达式，由梁段的挠度表达式，由梁上无分布荷载作用，故上无分布荷载作用，故OA和和AB段的挠曲微分方程分别为段的挠曲微分方程分别为实用文档实用文档4.弹性地基梁挠曲微分方程的特解弹性地基梁挠曲微分方程的特解 其中其中式（式（3.16a）的解可用梁端初参数来表示，即）的解可用梁端初参数来表示，即（3.17）式（式（3.16b）的解可用）的解可用初参数作用下的解初参数作用下的解y1与集中力与集中力pi单独作用下引单独作用下引起的附加项叠加起的附加项叠加，即，即将式（将式（3.18）代入式（）代入式（3.16b），并注意式（），并注意式（3.16a）有）有（3.19）比比较式（式（3.16a）和式（）。