高等数学上第八讲.ppt

高等数学（上）高等数学（上） 第八讲第八讲第一章第一章第四节第四节无穷大与无穷小无穷大与无穷小教学内容教学内容•无穷小无穷小•无穷大无穷大•无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系备注备注教学要求教学要求•理解理解无穷小与无穷大的概念、无穷小与无穷大的概念、•理解理解无穷小与无穷大的性质无穷小与无穷大的性质•掌握无穷小性质的应用掌握无穷小性质的应用教学重点教学重点•无穷小性质的应用无穷小性质的应用教学难点教学难点•无穷小性质的应用无穷小性质的应用§1—1.4 无穷大与无穷小无穷大与无穷小则称则称f (x)是该极限过程中是该极限过程中的的1 1、定义、定义1.1. 若若lim f (x)=0,一、无穷小量一、无穷小量例：例：(省去省去xxo , x 的极限的极限符号符号“ lim” 表示任一极限过程表示任一极限过程).一个无穷小量一个无穷小量极限为极限为0的数列的数列xn也称为也称为时的无穷小时的无穷小 注意！注意！注注1 1：：无穷小量与极限过程分不开无穷小量与极限过程分不开, 不能脱离极不能脱离极限过程谈无穷小量限过程谈无穷小量,小量小量, 但但如如sinx是是x0时的无穷时的无穷注注2 2：：注注3 3：：0是任何极限过程的无穷小量是任何极限过程的无穷小量.除除0外的任何常数（外的任何常数（即使其绝对值很小即使其绝对值很小）不是无穷小）不是无穷小由于由于limC = C(常数常数),所以所以, 是该极限过程中的无穷小量是该极限过程中的无穷小量. A为常数为常数.>0,    >0, 定理定理1.1.证：证：类似可证类似可证x时情形时情形.必要性必要性充分性充分性当当0<|x – x0|<  时时,有有|f (x) –A|<  定理定理4 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小. .证证2、、无穷小的运算性质无穷小的运算性质:定理定理3 有限个无穷小的代数和仍是无穷小有限个无穷小的代数和仍是无穷小. .无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. . 注意！注意！在同一过程中在同一过程中推论推论1 1 在同一过程中在同一过程中, ,有极限的变量与无穷小的有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小乘积是无穷小. .推论推论2 2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小. .推论推论3 3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小. .都是无穷小都是无穷小定义定义2 2：：若若  >0(无论多么大无论多么大), 记作：记作：则称则称f (x)是是x x0 时的无穷大量时的无穷大量. 二、无穷大量二、无穷大量   >0当当0<|x–xo|<  时，时，有有|f (x)|>M,(或或 X>0),(或或|x|>X)(或或x  )绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大.01-11xxyyx1+x1–例例1 1：：证证：： 3. 根据定根据定义证明明: 函数函数为当当x0时的无的无穷大大. 问x应满足什么条件足什么条件, 能使能使|y|>104？？ 证明证明 要使要使|y| M, 只须只须 即即使当使当0 |x 0|   时时, 有有 所以当所以当x0时时, 函数函数 是无穷大是无穷大. 取M104, 则 时时, |y|>104. 习题习题1—4—3例例2 2：：定理定理2 2：：在某极限过程中在某极限过程中, 若若f (x)为无穷大量为无穷大量, 则则反之反之, 若若f (x)为无穷小量为无穷小量三、无穷小与无穷大量的关系三、无穷小与无穷大量的关系注意：注意： 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论都可归结为关于无穷小的讨论.例例2:2: 试从函数图形判断下列极限试从函数图形判断下列极限.课堂练习课堂练习解：解： (1)xy0xyy = tgxxy(2) xoyxxyyx+四、小结四、小结1、主要内容、主要内容:两个定义两个定义;四个定理四个定理;三个推论三个推论.2、几点注意、几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（（1）） 无穷小（无穷小（ 大）是变量大）是变量,不能与很小（大）的数不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；混淆，零是唯一的无穷小的数；（（2 2））无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小；无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小；（（3）） 无界变量未必是无穷大无界变量未必是无穷大.。