一、填空题(本大题共14小题，每题5分，共70分．把答案填在题中横线上)1．曲线y＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率k是________． 解析：y′＝2x＋3，当x＝2时导数值为7，所以k＝7. 答案：72．函数f(x)＝2x2－x3在区间[0,6]上的最大值是________． 解析：f′(x)＝4x－x2＝－x(x－4)，由f′(x)＝0，知x＝0或x＝4.当0≤x<4时，f′(x)>0；当40知x∈R. 答案：(－∞，＋∞)7．曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小的切线方程为________． 解析：y′＝3x2＋6x＋6＝3(x＋1)2＋3≥3, 当x＝－1时导函数取最小值，y′min＝3，当x＝－1时，y＝－14，所以切线方程为y＋14＝3(x＋1)，即3x－y－11＝0. 答案：3x－y－11＝08．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，那么实数a的值是________． 解析： ∵f′(x)＝3x2＋2ax＋3且x＝－3时f(x)有极值，∴f′(－3)＝27－6a＋3＝0，∴a＝5(检验符合)． 答案：59．函数f(x)＝kx3＋3(k－1)x2－k2＋1(k>0)的单调递减区间是(0,4)，那么k的值是________． 解析：f′(x)＝3kx2＋6(k－1)x＝3kx(x＋)．因为函数的单调递减区间是(0,4)，所以－＝4.所以k＝. 答案：10．函数y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处有极大值，在x＝3处有极小值，那么a＋b＝________. 解析：y′＝3x2＋2ax＋b，那么－1,3是方程3x2＋2ax＋b＝0的两根，所以a＝－3，b＝－9. 答案：－1211．对任意x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是________． 解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋7a，当Δ＝4a2－84a≤0，即0≤a≤21时，f′(x)≥0恒成立，函数不存在极值点． 答案：0≤a≤2112．函数f(x)＝x3－3a2x＋a(a>0)的极大值为正数，极小值为负数，那么a的取值范围是________． 答案：a>13．假设f(x)＝x3－ax2－3x在[1，＋∞)上是增函数，那么实数a的取值范围是________． 解析：f′(x)＝3x2－2ax－3.∵f(x)在[1，＋∞)上是增函数，∴f′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立．由f′(1)≥0，得a≤0. 答案：a≤014．如果函数y＝f(x)的导函数的图象如下图，给出以下判断：①函数y＝f(x)在区间(－3，－)内单调递增；②y＝f(x)在区间(－，3)内单调递增；③y＝f(x)在区间(4,5)内单调递增；④当x＝2时，函数y＝f(x)有极小值；⑤当x＝－时，函数y＝f(x)有极大值．上述判断中正确的选项是________． 解析：由图知，x∈(－∞，－2)∪(2,4)时，f′(x)<0，x∈(－2,2)∪(4，＋∞)时，f′(x)>0，∴f(x)在(－∞，－2)和(2,4)上递减，在(－2,2)和(4，＋∞)上递增，经分析只有③正确． 答案：③二、解答题(本大题共6小题，共90分，解容许写出文字说明、证明过程或解题步骤)15．(本小题总分值14分)曲线C：y＝x3－3x2＋2x，直线l：y＝kx，且直线l与曲线C相切于点(x0，y0)(x0≠0)．求直线l的方程及切点坐标． 解：因为直线过原点，那么k＝(x0≠0)，由点(x0，y0)在曲线C上，那么y0＝x－3x＋2x0，所以＝x－3x0＋2，又y′＝3x2－6x＋2，所以在点(x0，y0)处曲线C的切线斜率应为k＝3x－6x0＋2，所以x－3x0＋2＝3x－6x0＋2，整理得2x－3x0＝0，解得x0＝(因为x0≠0)，这时y0＝－，k＝－.因此，直线l的方程为y＝－x，切点坐标为(，－)．16．(本小题总分值14分)f(x)＝ax3＋bx2－2x＋c在x＝－2时有极大值6，在x＝1时有极小值，(1)求a、b、c的值；(2)求f(x)在区间[－3,3]上的最大值和最小值． 解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx－2，由条件知解得a＝，b＝，c＝，(2)由(1)得f(x)＝x3＋x2－2x＋，f′(x)＝x2＋x－2，令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝1.列表：因此，在区间[－3,3]上，当x＝3时，f(x)max＝10，x＝1时，f(x)min＝.17．(本小题总分值14分)假设函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)内为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a的取值范围． 解：函数f(x)的导数f′(x)＝x2－ax＋a－1.令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝a－1.当a－1≤1，即a≤2时，函数f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，不合题意；当a－1>1，即a>2时，函数f(x)在区间(－∞，1)上为增函数，在区间(1，a－1)内为减函数，在区间(a－1，＋∞)上为增函数．依题意，当x∈(1,4)时，f′(x)<0；当x∈(6，＋∞)时，f′(x)>0，所以4≤a－1≤6，解得5≤a≤7，所以a的取值范围是[5,7]．18．(本小题总分值16分)函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在区间[0,1]上是增函数，在区间(－∞，0)和(1，＋∞)上是减函数，且f′()＝.(1)求f(x)的解析式；(2)假设在区间[0，m](m>0)上恒有f(x)≤x成立，求m的取值范围． 解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由得f′(0)＝f′(1)＝0，即解得由f′(x)＝3ax2－3ax，得f′()＝－＝，所以a＝－2，所以f(x)＝－2x3＋3x2.(2)由f(x)≤x，即－2x3＋3x2－x≤0，所以x(2x－1)(x－1)≥0，所以0≤x≤或x≥1.又f(x)≤x在区间[0，m]上恒成立，所以00；当x∈(－1,0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在(－∞，－1)和(0，＋∞)单调递增，在(－1,0)上单调递减．(2)f(x)＝x(ex－1－ax)，令g(x)＝ex－1－ax，那么g′(x)＝ex－a.假设a≤1，那么当x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)为增函数，而g(0)＝0，从而当x≥0时，g(x)≥0，即f(x)≥0.假设a>1，那么当x∈(0，lna)时g′(x)<0，g(x)为减函数，而g(0)＝0.从而当x∈(0，lna)时，g(x)<0，即f(x)<0.综合得a的取值范围为(－∞，1]．20．(本小题总分值16分)(2022年高考辽宁卷)函数f(x)＝(a＋1)lnx＋ax2＋1.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)设a≤－2，证明：对任意x1，x2∈(0，＋∞)，|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|. 解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝＋2ax＝.当a≥0时 ，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a≤－1时，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当－10；当x∈( ，＋∞)时，f′(x)<0.故f(x)在(0, )上单调递增，在( ，＋∞)上单调递减．(2)不妨设x1≥x2.由于a≤－2，故f(x)在(0，＋∞)单调减少．所以|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|等价于f(x2)－f(x1)≥4x1－4x2，即f(x2)＋4x2≥f(x1)＋4x1.令g(x)＝f(x)＋4x，那么g′(x)＝＋2ax＋4＝.于是g′(x)≤＝≤0.从而g(x)在(0，＋∞)上单调减少，故g(x1)≤g(x2)，即f(x1)＋4x1≤f(x2)＋4x2，故对任意x1，x2∈(0，＋∞)，|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|.用心 爱心 专心。
