概论与统计第五章 极限定理.pptx

本章要解决的问题1. 为何能以某事件发生的频率作为该事件的概率的估计？2. 为何能以样本均值作为总体 期望的估计？3. 为何正态分布在概率论中占 有极其重要的地位？4. 大样本统计推断的理论基础 是什么？大数定律中心极限定理第一节 大数定律切比雪夫不等式大数定律的背景及概念依概率收敛定义及性质三个大数定律 1.1 切比晓夫（Chebyshev）不等式:（2） X的方差越小，P(|X -EX|0，有EXEX-EX+（3） 当随机变量X的期望、方差已知而分布未知时，切比雪夫不等式提供了估计事件 |X -EX| 0，都有： 则称随机变量序列 X n 依概率收敛于 a，简记为： a a- a+ (3)若X 是一随机变量,且 ,则称随机变量序列 X n 依概率收敛于X ，简记为： (2) X n依概率收敛于a意味着对任给正数 e ，当 n 充分大时， 事件“|X n- a|0，恒有注：（1）结论等价于即 这意味着：只要n充分大，尽管n个随机变量可以各有分布， 但其算术平均以后得到的随机变量 将较密集地聚集在它的期望 附近，不再为个别随机变量所左右大数定律大数定律（3）切比雪夫大数定律是1866年被俄国数学家切比雪夫所证明，它是关于大数定律的一个相当普遍的结论，很多大数定律的古典结果是它的特例。

切比晓夫大数定律推论： 设X1, X2, , Xn, 是独立同分布的随机变量序列，EXi = , DXi = 2 （i=1，2， ），则对于任意的 0，恒有 推论中方差的存在性可去掉， 得如下结论 这一推论使算术平均值的法则有了理论根据假使要测量某一个物理量a ,在不变的条件下重复测量 n 次，得到的观测值x1, x2, , xn 是不完全相同的，这些结果可以看作是服从同一分布并且期望值为a 的n 个相互独立的随机变量 X1, X2, , Xn 的试验数值由推论可知，当n充分大时, 取( ) 作为 a 的近似值，可以认为所发生的误差是很小的即对于同一个随机变量X 进行 n 次独立观察，则所有观察结果的算术平均数依概率收敛于随机变量的期望值 EX 辛钦大数定律 定理1.3：设X1,X2, ,Xn, 是独立同分布的随机变量序列EXi = , （i=1，2， ），则对于任意的 0，恒有 伯努利大数定律证：令定理1.4 设 mn 为 n 重伯努利试验中事件 A 发生的次数，p 是 A 在每次试验中发生的概率，则对任意的 0 有或X1, X2, , Xn 独立同分布,都服从0-1分布，EXi = p, DXi = p(1-p)由辛钦大数定理得：对于任意的 0，恒有此定理说明了频率的稳定性。

伯努利大数定律伯努里大数定律的重要意义： (1)从理论上证明了频率具有稳定性 （2)提供了通过试验来确定事件概率的方法: 这种方法是参数估计的重要理论基础 （3）是“小概率原理”的理论基础 小概率原理：实际中概率很小的随机事件在个别试验中几乎是不可能发生的第二节 中心极限定理中心极限定理的背景中心极限定理的定义中心极限定理 中心极限定理的客观背景 在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机因素的综合（或和)影响所形成的.例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素（如瞄准，空气阻力，炮弹或炮身结构等）综合影响的.每个随机因素的对弹着点（随机变量和）所起的作用都是很小的.那么弹着点服从怎样分布 ？ 如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因素的综合影响所造成，而每一个别因素对这种综合影响中所起的作用不大. 则这种随机变量一般都服从或近似服从正态分布.中心极限定理定义 概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布是正态分布的一系列定理称为中心极限定理 定理2.1(林德贝格-勒维中心极限定理） 由林德贝格-勒维中心极限定理得：表明：独立同分布随机变量之和的极限分布为正态分布林德贝格-勒维中心极限定理(独立同分布的中心极限定理)的意义 对于独立同分布的随机变量序列，只要期望和方差存在，不管原来的分布是什么分布，和的极限分布都是正态分布。

提供了计算独立同分布随机变量和的分布的近似方法只要和式中加项个数充分大就可以利用正态分布近似 例1:设某商店每天接待顾客100人,设每位顾客的消费额服从0,60上的均匀分布,且顾客的消费是相互独立的.求商店的日销售额超过3500的概率 则X i服从0，60的均匀分布 解一第i个顾客的消费额为X i(元),（i=1.,2,100). X i独立同分布 EXi=30， DXi=300 例1:设某商店每天接待顾客100人,设每位顾客的消费额服从0,60上的均匀分布,且顾客的消费是相互独立的.求商店的日销售额超过3500的概率 则X i服从0，60的均匀分布 解二第i个顾客的消费额为X i(元),（i=1.,2,100). X i独立同分布 EXi=30， DXi=300 例2：一袋盐的重量(千克)是一随机变量,期望为1,方差为0.01,一箱 装有100袋.求一箱中每袋平均重量在0.98至1.02千克之间的概率. 解：第i袋盐的重量为Xi(千克),（i=1.,2,100). Xi独立同分布 EXi=1， DXi=0.01 例3：一射击运动员，在一次射击中所得环数X 的概率分布如下表所示问在 100 次射击中所得的总环数介于 900 环与 930 环之间的概率是多少？超过 950 环的概率是多少？ 解：令 X i 表示第 i 次所得环数，则诸 X i ( i = 1, 2, , 100) 具有同一分布，且相互独立。

易得：EXi =9.15 EXi2 =84.77DXi =EXi2 (EXi )2 = 84.779.152 1.05 将林德贝格-勒维定理用到贝努利试验的场合，得到下面的定理：设Yn 服从参数为 n， p（ 0p1）的二项分布,则对任意实数x有: 证： 令 Xi 为独立,服从参数为p的0-1分布， (i =1, 2, , n) 且 EXi = p，DX i = p(1-p)由林德贝格-勒维定理即得本定理 定理2.2 （隶莫弗-拉普拉斯定理） EYn=np，DYn= np(1-p) 由定理4.4得:二项分布的极限分布是正态分布. 即: 若XB(n,p), n充分大时, X近似服从N(np,np(1-p) 可用正态分布近似计算二项分布 例4：设有 10000 盏电灯,夜晚每一盏灯开灯的概率都是 0.7, 假定各灯开关彼此独立,求同时开着的灯数在 6800 与 7200 之间的概率解：令X 为同时开灯的数目,则X B(10000, 0.7). 如果准确计算，应为：X B(10000, 0.7),则 X 近似服从N(7000,2100) 例5：食堂为 1000个学生服务，每个学生去食堂吃早餐的概率为0.6, 去与不去食堂用餐忽不影响。

问食堂想以99.7% 的把握保障供应，每天应准备多少份早餐？解：应准备N份早餐令X 为到食堂用餐的学生数， 则XB(1000, 0.6).X B(1000, 0.6),则 X 近似服从N(600,240)保障供应(XN). 例6：产品为废品的概率为 p = 0.005，求10000 件产品中废品数 不大于 70 的概率 解：令 X为10000件产品中的废品数，则X B(10000, 0.005)例7:每颗炮弹命中飞机的概率为0.01,求 500发炮弹中命中5发的概率 解:命中飞机的炮弹数X B(500, 0.01) 这一讲我们介绍了中心极限定理 在后面的课程中，我们还将经常用到中心极限定理. 中心极限定理是概率论中最著名的结果之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实.极 限 定 理 二项分布的随机变量可看作许多相互独立的 0-1 分布的随机变量之和，下面是当 X B(20,0.5) 时，X的概率分布图：极 限 定 理 泊松分布相当于二项分布中 p 很小 n 很大的分布， 因此，当参数l = np 很大时也相当于 n 特别大，这个时候泊松分布也近似服从正态分布，下面是 l =30 时的泊松概率分布图。

基本要求:1 了解随机变量依概率收敛的概念2 了解大数定律的意义和内容，理解贝努里、辛钦 及切贝晓夫大数定理3 理解中心极限定理的含义及其客观背景,要掌握 独立同分布的中心极限定理和隶莫夫拉普拉斯 定理,会利用中心极限定理解决一般实际应用问题重点：中心极限定理及其运用难点：证明随机变量服从大数定理基本要求与重点、难点。