2022-2023学年高二数学上学期题型归纳与分阶培优练08直线与圆综合大题归类（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）.pdf
40页
专题8直线与圆综合大题归类目录【 题型一】圆大题基础：轨迹一圆. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1【 题型二】圆大题基础：轨迹一直线. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3【 题型三】直线与圆：韦达定理型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5【 题型四】直线与圆：定点. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7【 题型五】直线与圆：定值. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9【 题型六】直线与圆：定直线. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11【 题型七】探索性、存在性题型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12【 题型八】面积与最值. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14【 题型九】直线与圆的应用题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16【 题型十】. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .错误! 未定义书签。
题型十一】. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .错误! 未定义书签培优第一阶——基础过关练. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20培优第二阶——能力提升练. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26培优第三阶——培优拔尖练. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32【 题型一】圆大题基础：轨 迹 - 圆【 典例分析】( 2 0 2 1 •全国•高二课时练习) 已知A ( 3 , 3 ) , 点 B是圆N+ y 2 = i 上的动点，点 朋是线段AB上靠近4 的三等分点，则点M的轨迹方程是()A . ( % - 2 )2 + ( y - 2 )2= l B . ( % - 2 )2+ ( y + 2 )2= lC . ( x - 3 )2+ ( y - 3 )2= 1 D . ( x - 3 >+ ( y + 3 ) 2 = !【 答案】A【 分析】通过定比分点坐标公式，用 M 的坐标表示8,把 8的坐标代入圆的方程，整理可得点M 的轨迹方程.【 详解】设 M 点的坐标( x , y ) , B ( a, b ) ,因为点M 是线段A B 上靠近A的三等分点，所以a= 3 x - 6 , b =3 y - 6 ,又点B是圆/ + ) 2 = i 上的动点，所以8的坐标适合圆的方程，即(X- 2 )2+ (J- 2 )2= 1故选：A . 【 提分秘籍】基本规律求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程. 特别是类似阿波罗尼斯圆这类型。
②定义法：根据圆定义列方程.③几何法：利用圆的几何性质列方程.④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.【 变式训练】1 . ( 2 0 2 2・ 全国•高二课时练习)已知直线4 ： 3 - y - 3 " +1 = °与4 ： X +冲 -3 m -1 = °相交于点P ,线段AB是圆C： ( x + l) 2 + ( y + T=4的一条动弦，且1钻1 = 2 ,则I P4+ P8 I的最小值是 ()A . 2近-拒C . 2 7 2 - 1【 答案】BB . 4 a -2GD . 4^2 - 2【 分析】由已知得到44过定点( 3 , 1 ) , 4过定点( 1 ， 3 ) ,从而得到点P轨迹为圆( x - 2 y + ( y - 2 ) 2 = 2 ,作线段先求得CD,求得归 |的最小值，再由| P4 + PB | = 2 | PD | 可得答案.【 详解】设圆C的 半 彳 仝为4 ,直线《 ： ” 就一) ， -3 m + 1 = 0与4 ： x + sy - 3 〃 Ll = 亚直,又4过定点( 3 , 1 ) ,过定点( 1 , 3 ) ,从而得到点尸轨迹为圆( x - 2 ) 2 + ( y - 2 ) 2 =设圆心为 〃 ，半径为4 ，作垂直线段C D J _ A3,则= = & ，」「0mhi = 1 CM | - 4 -弓=30- 百 - & = 20-6，阿 +■ = 2 |叫2,. ■ \PA+PB\的最小值为4忘 -2A/L 故选:2 . ( 2 0 1 7. 北京海淀. 高二期中) 若动点P在直线4： x -y-2 = 0上， 动点Q在直线4： x - y - 6 = 0上，设线段P Q的中点为且( % - 2 ) 2 +( % + 2 ) 2 4 8 ,则+ 的取值范围是【 答案】[ 8 ,1 6 ]【 分析】 根据题意确定出动点的轨迹，利用数形结合，转化为原点与线段上动点的距离的平方求解即可. 【 详解】由直线方程可知两直线斜率相等,所以〃 〃 2 ,由平行线的几何性质知M的轨迹为平行于《 且与/ „/2等距离的立线,故直线方程为x _ y _ 4 = o ,又“ 点在圆（ x - 2 y + （ y + 2 ） 2 = 8 I ： 及圆的内部，故M 的轨迹是如图所示的线段，如图,| 4 | I-* + y ； 即原点和M 距离d的平方. 由图可知，d g = 4 , dmin= -f ^= = 2j 2 ,8 < + Jo = < 1 6 ,故答案为：［ 8 ,1 6 ］ .3 . （ 2 0 2 0 •全国•高三专题练习）在平面直角坐标系xO y 中，已知8 ,C 为圆W + /=4上两点，UUIT 1 /UlU u u nx点4 （ 1 ,1 ） , 且 A B - A C = 0 ，AM=］（ A 8 + A C ） , 则AO4M面 积 的 最 大 值 为 .【 答案】昱2uuir 1 zuun uumx i _ ___________【 解析】 由A&AC = 0 , AM=5（ A B + A C ） 可得AM=aBC, 在圆。
中可得3 c = 2"一 O " ，从而有A M 2 + O A / 2 = 4 , 即可求出点M 的轨迹，然后就可得出AO4M面积的最大值.UULT 1 , UlU UUH\【 详解】因为A B A C = 0 ，AM=5（ A B + A C ） 所以A3LAC, 且 M 是BC的中点所以•J4 - OM2 ,即113设点M（ x,y ） , 贝 I］ 有一 1 ） 2 +（ 、 - 1 ） 2 + / + 丁= 4化简得：（ X - - ）2 + （ y - - ）2 = -即点M 的轨迹是圆心为（ g， ； ） ，半径 为 手 的圆因为O A = 上 ，I I 直线4 经过点所以点M 到直线4 的距离的最大值就为半径 直 所以AQ4M面枳的最大值为21后 瓜- x 72 x ------------2 2 2故答案为：立2【 题型二】圆大题基础：轨 迹 - 直线【 典例分析】. （ 2 0 2 2 ・ 全国•高二课时练习）已知点（ ， 加 〃 ） 在过（ - 2 ,0 ） 点且与直线2 x- y = 0 垂直的直线上,则圆C：1 - 3 有 丫 +（ ＞ + 1 ） 2 = 4 上的点到点加（ 根 ,〃 ） 的轨迹的距离的最小值为（ ）A . 1 B . 2 C . 5 D . 3 7 5 ［ 答案］A【 I ■ 析 】利用直线垂直的性质、直线的点斜式以及直线与圆上的点的位置关系进行求解.【 详解】过点（ - 2 ,0 ） 且与直线2 x- y = 0 垂直的直线为：y = — g* + 2） ,已知点（ ， " ," ） 在该直线上，所以〃= 一， m + 2 ） , Q P m+2n + 2 = 0 ,所以点M（ 孙〃） 的轨迹方程为x+2 y + 2 = 0 , 乂圆C：1 - 3 石 『+ （ y + iy = 4 ,所以圆心C （ 3 石 ,7 ） , 半径“ 2, 所以圆C上的点到点M。
" ） 的轨迹的距离的最小值为:d . : + 4_2 = 3 _2 = 1 . 故 A , B , D 错误.m， n 也故选：A .【 提分秘籍】基本规律非圆形特别是未知型曲线，常用求轨迹的方法：①定义法： 根据题目所给的几何条件判断动点满足哪类常见轨迹， 确定相应基本量得出方程；②参数法：找出动点纵横坐标与第三变量的关系，消参后得出方程；③转译法：找出动点与相关点的坐标关系，利用相关点的方程得出动点的轨迹方程；④几何法：建系设点，由题设所给出的几何等式，转化为代数等式，整理可得方程.【 变式训练】1 . （ 2 0 2 1 . 江苏. 高二专题练习）已知圆G： / + y 2 = 4 与圆C 2 ： （ x- l ） 2 +（ y - 3 ） 2=4, 过动点尸 3 ,力分别作圆C-圆C 2 的切线P M , PN, （ M,N分别为切点） ，若| PM | = | PN | , 则a2 +b ~ — 6a — 4Z > + 1 3 的最小值是A . 5 B . — C . — , s / 1 0 D.—3 5 5【 答案】D【 解析】P 的轨迹为线段GG的中垂线：2 x + 6 y - 1 0 = 0 ,由〃 2 + 〃 - 6 〃 一 4%+ 1 3 = （ “ 一 3 ） 2 + 9 - 2 ） 2,得 到 / + 从 一 6 4- 4） + 1 3 的最小值是点（ 3 , 2 ） 到直线2 x + 6 y - 1 0 = 0的距离的平方，由此能求出结果.【 详解】• • •圆6 ： / + 丁 = 4 与圆。
2 ： （ 万 一 1 ） 2 + （ 尸 3 ） 2 = 4,G（ 0 , 0 ） , C2（ l, 3 ） ,V 过动点P（ a, b ）分别作圆G、 圆C 2 的切线P M , P N , （ M , N分别为切点） ， I P M | = | PN | ,I P M |2 + 4 = | PN |2 + 4, . - . | PC , |2= | PC212, | PC , | = | PC2\1 3・ ••尸的 轨 迹 为 线 段 的 中 垂 线 ，线 段 的 中 点 坐 标 为 弓， 彳 ） ，线段GG的斜率〃 =j = 3 , GG的中垂线所在直线的斜率为k = _g 3・・・尸 的轨迹方程为y —G= — § ( / —5 ) ,即2x+6y —10 = 0,；/ + 2 - 6a - 4b+ 13 = (a - 3)2 + (b- 2)2 表示点(a,加与(3,2)距离的平方，/ . / + 加 ―6a—46 + 13的最小值是点0,2)到直线2x+ 6y-10 = 0的距离的平方，.c 」2 z|2x3 + 6 x2 -1 0 l 2 8：♦ a2+〃~ —6a —48 + 13 的最小值为：d = ( “ + 36 = -故选：D.2. (2020•全国•高二)己知圆 C ” /+ y2 = l 与圆 C?： (x-2)2+(> -4 )2 = 1 ,过动点 P(a，6 )分别作圆G、圆G的切线P M、P N ( M 、N分别为切点)，若 P M = P N ,则"(. I + 3 + 1)2的最小值是()A 石 R 2>/5 0 3 非 6 4 65 5 5 5【 答案】B【 解析】 利用RfAPMG与RQPNC?全等，得到尸G = P G，得出点尸段GC2的垂直平分线上，乂由J (a —5)2 + S + 1)2表示尸 3 , 力与。
(5,- 1)两点间的距离, 结合点到直线的距离公式，即可求解.【 详解】由题意，在R A P M G与必APNC2中，P M = P N , M C = N G = 1,所以R/APMG与Rt\PNC2全等，所以有PC , = PC2,则尸段G G的垂直平分线上,根据G(0,0)、G(2,4)可求得其垂直平分线为x + 2 y -5 = 0,乂由J(a_5)2+S +1)2表示P(a,b)与Q (5,-1)两点间的距离，所以最小值就是Q到x + 2 y -5 = 0的距离，由点到直线的距离公式， 可得至」5 + 挛V l2 + 22 5故选：B.即痴 -5)2+ 3 + 1 )2的最小值竽.【 题型三】直线与圆：韦达定理型【 典例分析】(2021. 广东. 西樵高中高二阶段练习)已知过点4 0 ,2 )且斜率为我的直线/ 与圆C:(x-2)2 + (y -3 )2 = l 交于 M , N 两点.(1)求 女 的取值范围；(2)若OM .ON = 1 2 ,其中O为坐标原点，求|M N |.【 答案】(l)(o， ， (2)|MN| = 2【 分析】(1 )根据直线与圆的位置关系，利用圆心到直线的距离公式，即可求解;( 2 )直线》 = 依 + 2与圆的方程联立，利用韦达定理表示OM .ON = 1 2 ,求得衣=可知圆心在直线上，即|M N |为直径长.⑴ 圆C：(x_2)2+(y_3)2 = ] ,圆心(2 ,3 ) ,半径r = 1设直线/ 的方程为y = h + 2 ,即k x -y + 2 = 0因为直线/ 与圆c交于两点， 所以今|2攵三-3 +三 2|< 1 ,解得0 < A <；4所以左的取值范围为( o g ) .J1 +公3(2)设N(W，% ).联立y = kx+2(x —2)2 + (。
-3)2 = 1 ,整 理 得 伊 +1卜2—(2左+4户 +4 = 0 , ul t、 r 2k + 4 4 t、 I所以X ] + 工2 =左2 +]，内'2二记石，所以uuir num4 k （ 2 + k ）O M - O N = x]x2 + y% = （ 1 + 22） %/2 + 2Z（ 尤 [+ w ） + 4 = —— -—— ^ + 8 .1 । rt由题设得也学+ 8 = 1 2 ,解得〃=:,所以直线/ 的方程为y = ；x + 2 , 所以圆心C（ 2,3） 在直线/ 上，所以|MN| = 2.【 提分秘籍】基本规律解决直线与圆相交问题，韦达定理题型常用步骤：（ 1）得出直线方程，设交点为A & ,% ） ，8 （ 0 为） ；（ 2 ）联立直线与圆方程，得到关于x （ 或 V ）的一元二次方程；（ 3）写出韦达定理；（ 4 ）将 所 求 问 题 或 题 中 关 系 转 化 为 玉 形 式 ；（ 5）代入韦达定理求解.【 变式训练】（ 2021 •江苏省镇江中学高二阶段练习） 如图，已知图C : f + y2 = 9 与x 轴的左右交点分别为A, B,与 y 轴正半轴的交点为O.（ 1）若直线/ 过点（ 3,4） 并且与圆C 相切，求直线/ 的方程；（ 2）若点M , N 是圆C 上第一象限内的点，直线A " , AN分别与V轴交于点尸，。
点P 是线段中点，直线MN/ fBD,求直线AM 的斜率.【 答案】（ 1） x = 3 或 7x-24y + 75 = 0 ； （ 2 ） .4【 分析】 （ 1） 分斜率不存在和存在两种情况讨论， 当斜率存在时， 设切线方程为y- 4 = k （ x- 3 ） ,根据圆心到切线的距离等于半径求出斜率，即可得出答案；（ 2 ）显然直线AM 的斜率存在，故设直线4 0 的方程为y = % （ x + 3） , （ k>0） , 联立/y = &（ x+3）,2 c ，求得M 点的坐标，根据点P 是线段中点，得直线AN的斜率+ y =96k_0kA N=kA Q= — — = 2kf再根据肠V //8D ,即可得出答案.U 一（ 一 3） 【 详解】解：( 1 ) 当斜率不存在时，宜线x = 3满足要求；当斜率存在时，设切线方程为y-4 = m ( x -3) ,即 *- y + 4 - 3 m = 0 , 则由相切得d = r , 即14 -3/n |yJm2 +17解得相= = 7,综上得：切线方程为x = 3或加 -24 ) ， + 75 = 0 ；( 2 ) 显然直线A "的斜率存在，故设直线A "的方程为y = M x + 3) , ( k > 0) ,由｛ I；：： ： ： ,，消去N 得( 1 + 公 产 + 6 心 + 9公一 9 = 0 , 因为乙= 一3 , 所以为=富1,代入户 小 + 3 ) , 得 “品，所以M 襦, 3>在 y = Z ( x + 3) 中，令x = 0 , 得 %= 3左，而点P 是线段。
的中点，所以为 = 6 攵，所以直线A N的斜率％ 4 N = % AQ = T~~ T~ ^ \ = 2k .u — （ T ）.（ 3 - 3 k2 6 k ）上 । ra 小,„ （3-12A:2 12k ｝山…（LM\T点中，用2& 代 火，得 N , “2• 所以11 + / \ + k ） I 1 + 4 f 1 + 4 Z ~J12k 6k . 、1 + 4 A「 1 + V A（ J 2 % 2 ）3-12fc2 3 - 3 k2 - 3 k2\ + 4 k2 ~ l + k2因为M V//BD ,所以的 = -1 , 即= 一1，即 2严+ 3左 一 1 = 0,乂Q所以解 得 心 牛,即百线A M的斜率为牛.【 题型四】直线与圆：定点【 典例分析】( 2022•四川省德阳中学校高二开学考试) 己知两个定点4 ( 0,4 ) 、8( 0,1) ,动点尸满足| B4 | = 2| P 8| ,设动点尸的轨迹为曲线E, 直线/:尸乙-4 .( 1) 求曲线E的方程；( 2) 若& = 1 , 是直线/上的动点，过。
作曲线E的两条切线Q M、QN ,切点为M 、N ,探究：直线MN 是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.【 答案】⑴ V +■ = 4 ( 2) 直线M N过定点【 分析】( 1) 设点尸的坐标为( x ,y) ,由| R 4 | = 2| P 8| 结合平面内两点间的距离公式化简可得出点尸的轨迹方程；( 2 ) 设6 ( 七,九) 为圆/ + ) ， 2 = 4 上任意一点，先证明出圆/ + 丁 = 4在点G 处的切线方程为5+为 丫 = 4, 设点Q &/ — 4 ) 、〃( % ,凶) 、N ( w ， %)，可写出直线Q M、Q V 的方程，将点的坐 标 代 入 直 线 Q N 的方程，可求得百线MN 的方程，化 简 直 线 的 方 程 ，可求得直线MN 所过定点的坐标.( 1)解：设点尸的坐标为( X ,y) ,由1P Ai = 2归身可得，西+所4)2 =2 6+仃_ ] ) 2 , 整理可得f +/2= 4 ,所以曲线E的方程为X2 + V = 4 . ( 2)解：设 ％匕) ) 为圆/ + = 4上任意一点，则x ； + y： = 4 ,当x 。
% 二 时; k0 G =*(0为坐标原点) ，% 0此时，圆》 2 +/ =4在点G 处的切线方程为卜 治 = -兴 ( X - % ) , 即x 0x + y0y = 4：当％ = 0时， 圆/ + 9 =4在点G 处的切线方程为> = 2 或 尸 -2,切线方程满足毛x + % y = 4；当先=0 时， 圆f + > 2 = 4 在点G 处的切线方程为x = 2或x = -2,切线方程满足与工+ % 丫 = 4 .因此，圆f + V = 4在点G 处的切线方程为x ( ) x + % y = 4 .当4 = 1时,直线/的方程为y = x- 4, 设点 " 一 4 ) 、M & M 、N ( s ， % ) ,则直线Q M的方程 为 平 + = 4, 直线QN的方程为々x + y2y = 4 ,rrrlr 5 + ( — 4 ) 乂 = 4t x2 + 4 ) % = 4所以，点 〃 、N 的坐标满足方程a + ( r- 4 ) y = 4 ,故直线MV 的方程为a + ( f- 4 ) y = 4, 即f( x + y) -4 ( y+ l ) = 0,y = 0 〃 , fx = l由:解得 i[ y + l = 0 [ y = -l因此，直线MN 过定点( 1,-1) .【 提分秘籍】基本规律定点题型：1 .证明直线过定点，一般情况下，通过题中条件，寻找直线y= k x + b 中b = f ( k ) 的函数关系，或者设参，求解出含参直线方程，再求解出含参直线所过的定点。
2 .证明定点，可以通过特殊化法先确定定点坐标，再证明定点适合题意 变式训练】( 2 02 1 .江苏.高二专题练习) 在平面直角坐标系xO y 中， 圆 C ： ( x- a) 2 + ( y - 6 ) 2 =4 与圆G ：Y + y 2 - 6 x- 8 y + 1 6 = 0相切于点且直线/： x + y - 1 = 0 与圆C有公共点.⑴ 求 圆 C的方程；( 2 ) 设点尸为圆C上的动点，直线/分别与x 轴和y 轴交于点M, N.①求证：存在定点B ,使得P 3 = 2PM ；②求当尸M +g/ W取得最小值时，直线PN的方程.【 答案】(D f+ V =4 ( 2 ) ①证明见解析；② x+ 4 y - 4 = 0.【 分析】本题考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，与圆有关的最值，( 1 ) 由两圆的位置关系求圆C方程； ( 2 )①由= 直接法得2 ( % - 4卜 +2 %广卜： + 北一1 6 ) = 0 ,由点P为圆C上的动点得，% + " 6 = 0,8 ( 4 , 0)在 圆C外，N ( 0, l)在圆C内，点尸为线段8N与圆C的公共点时“ = ” 能成立.从而得直线方程.⑴圆 + 9 - 6 x- 8 y + 1 6 = 0 ,即 G ： ( x- 3 )2+ ( y - 4 ) 2 = 9 ,所以圆心为 G( 3 , 4 ) ,圆&的半径4 = 3 .由圆G与圆C： ( …了 + ( …相切于点/ 空],得， 8 ，即a -3 65’ 解得kQ =。
U或 ，5i由直线/： x + y r = °与圆c有公共点,b =——5邑 ”42,所以[ ：= ? ，所以圆C的方程为V + y 2 =4 ., 2 [b = 0( 2 )直线/分别与无轴和y轴交点M W).① ：设点 8 (如 % ) , P(x, y ) , J U ! ] x2 + y2 = 4,由 P 8 = 2PM 得,J ( x _ x j + ( y _ % y = 2 j ( xT ) ， y 2 ,x0 - 4 = 0,即2 ( x「4 ) x + 2 % y —( 片+ y ； —1 6 ) = 0 ,由点P为圆C上的动点得， %= 0 ， 即.片+ $ - 1 6 = 0,%=4 ,[%= ，故存在定点8 ( 4 , 0) ,使得=② ：由① 得 ，PM = g P B ,所以 PM +gpN = g ( P B + P N ) 2 ：B N =易知，3 ( 4 , 0)在圆C外，N ( 0, l)在圆C内，所以线段8N与圆C有公共点，即( * ) 中“ = ” 能成立.所以当点P为线段B N 与圆C的公共点时，PM +g/ W取得最小值，-+y = 1此时，直线PN的方程为4 ',即x + 4 y - 4 = 0.【 题型五】直线与圆：定值【 典例分析】( 2 02 2•江苏省如皋中学高二开学考试) 已知直线/: ( 〃7+ 2口+ (1 - 2 ，浦＞+ 6 〃?- 3 = 0与圆 C : x2 + y2 -4 x = 0 .(1)求证：直线/过定点，并求出此定点坐标；(2)设0为坐标原点， 若直线/与圆C交 于 两 点 ， 且直线OM, ON的斜率分别为勺，k2,则勺+ 网是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由.4【 答案】(1)证明见解析，定点(0,3)(2)是定值，定值为§【 分析】(1 )由已知(m + 2 )x+ (l-2机 )y + 6机—3 = 0,可得(2x+ y—3) + /n(x-2y + 6) = 0.根据过定点的宜线系方程计算方法可得/恒过定点(0,3).( 2 )设出直线/的方程.联立直线与圆的方程，利用韦达定理求解进而即可得结果.（ 1）由直 线 /“ + 2） x + （ l —2，w） y + 6，" - 3 = 0得〃? （ x —2y + 6） + （ 2x+y — 3） =0 ,联立《x - 2y + 6 = 02x + y -3 = 0x = 0y = 3，解得直线/恒过定点(0,3).（ 2）圆C： / + y2- 4x = 0的圆心为（2,0）,半径为2 ,直线/过点直线/与圆C交于M, N两点，则直线/的斜率存在，设真线/方程为丫 =氏 +3,f y = Ax 4- 3 _ .联立匕 2 ）八，得（ 1 +公） f + （ 6A-4） x+9 = °，[x + y -4 x = 062一4 9设 M（N，y ） , M%,%），510^）+X, = ---―7 T , XjX. ="-T V,1+%- l+k~&+ 汰 =乂 + & = ^ ^ + ^ ^ = 2% + 3区+ 々）= 2" + 3 （ 4 ： 6人 ）=!是定值,X] x2 % x2 XjX2 9 3定值【 变式训练】(2021・ 湖南•怀化五中高二期 中 )已知圆C的圆心坐标为C(3.0),且该圆经过点40,4).⑴ 求 圆C的标准方程；(2)直线〃交圆C于M, N两点，若直线AN的斜率之积为2 ,求证：直线〃过一个定点，并求出该定点坐标.(3)直线〃? 交圆C于M, N两点，若直线AM, AN的斜率之和为0 ,求证：直线机的斜率是定值，并求出该定值.【 答案】(l)(x -3)? + y2=25； (2)证明见解析，(-6,-12)： (3)证明见解析，【 分析】(1)根据给定条件，求出圆C的半径即可作答.( 2 )在直线〃的斜率存在时，设其方程丫 = 履 + ， ，再与圆C的方程联立，借助韦达定理及已知探求k, r的关系，然后讨论斜率不存在的情况作答.( 3 )设出直线4例，AN的方程，与圆C的方程联立，求出点M, N的坐标，再用斜率坐标公式计算作答.(1)依题意，圆C的半径不= 5， 所以圆C 的标准方程是：(x-3)2 + y2=25.(2)当直线”的斜率不存在时. ，设M(a,3),N(4 ,-Z 0 ,由直线AM, AN的斜率之积为2 , 得b-4 -b -4 一----------------= 2 ，a a即廿= 1 6 - 2 6 ,又由点M, N 在圆C 上得( " 3 ) 2 + / = 2 5 ,消去b 得：«2+6a = 0.而4 * 0 , 则。
= - 6 , 此时廿＜0 ，因此，无解，当直线”的斜率存在时，设其方程为y = H + ， ，由= 2 c u 消去丫并整理得：[(x-3) +y =25(*2 + l)x2 + 2(fo- 3)x+Z2 - 16 = 0 , 设 ”(芯, ％), % * 2， %),则 再 + 々 =一 警 :3 ), 中 2 = 与 当 ，直线. 斜 率 原 材 = 入 二 3, 直线4V斜率怎、= 丝 心 ，F + l K +1 X [ X2x} x2 x{x2 XxX2= 二 + 乩 _ 4). -2仃+ 6 + (公 + 1)(-4 )2 二公" + 4 ) - 2 - + 6% + ( / + 1)”4)r2-16 * -]6 f + 46k -4-1 — 4=/ + 4 = 2 , 整理得f = 6 " 1 2 ,此时直线n：旷= % (》 + 6) — 12过定点(- 6,-12),所以直线〃过个定点，该定点坐标是(-6,-12).[y = rx+^⑶设直线AM方程为：丫 = " + 4 , 由1 (X- 3 )2 + / = 2 5消去), 并整理得：(r2 + l)x2+2(4r-3)x = 0则有点M(6 -8 r -4 r2 +6r + 4产 + 1 ' r2 +1而直线AN：-4 , 同理N（ 鬻6 + W z'* -三4/* 2 ¥— 6尸 + 4 ） ‘- 4 /+ 6 — +4 - 6r+4于是得直线MN的斜率kMN=-々1 金士」一O — o r O + o /r2 +1 r2+l3所以直线机的斜率是定值，该定值为-4【 题型六】直线与圆：定直线【 典例分析】(2022•四川・ 遂宁中学高二开学考试(文) ) 已知直线/ ： * = 冲 - 1 , 圆C:W + /+ 4 x = o.(1)证明：直线/ 与圆C 相交；(2)设 / 与 C 的两个交点分别为A、B ,弦 4 8 的中点为M ,求点M 的轨迹方程；(3)在 ( 2 ) 的条件下，设圆C 在点A 处的切线为4 , 在点B 处的切线为4 ，4 与4 的交点为。
. 试探究：当机变化时，点 是否恒在一条定直线上？若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由.【 答案】⑴证明见解析；(2 ) / + 丁 + 3万+ 2 = 0 ；⑶ 点 恒在直线x=2上，理由见解析.【 分析】(1 ) 求出直线/ ： 》 = 加 )- 1过定点(― 1,0), 得到(-1,0)在圆内部，故证明直线/ 与圆C 相交；(2 ) 设出点M (x ,y ) ,利用垂直得到等量关系，整理后即为轨迹方程；(3 ) 利 用 A、B、C 四点共圆，得到此圆的方程，联立C :X2 + V + 4X = 0 ,求出相交弦的方程，即直线/ 的方程，根据直线/ 过的定点，得到毛 =2 , 从而得到点恒在直线x = 2 匕 (1)证明：直线， ： x=m y-i过定点(-1 ,0 ),代入C:x2 + V +4x=0得：1 + 0 -4 < 0 ,故(一1,0)在圆内，故直线/ 与圆c相交；(2)圆C :f + y2 + 4x = 0的圆心为一2,0),设点〃(x ,y ),由垂径定理得：kC M- k ,=- \,即上二±匕2 = - 1 ,化简得：X2 + /+ 3X+2 = 0 , 点M的轨迹方程为：X2 + /+ 3X+2 = 0x + 1 x+2(3)设点。
, % )， 由题意得：Q、A、8、C四点共圆， 且圆的方程为：(x - %)(x+2)+ (y -%)y = 0,[l|Jx2+y2+(2-xo)x-yoy-2Ao= O ,与圆 C的方程C:/ + /+4% = 联立，消去二次项得:(天+2)x+% y+2% =0,即为直线/ 的方程，因 为 直 线 = 过定点(一1,0),所以2%=% + 2 ,解得：々 =2 ,所以当冽变化时，点 恒在直线x=2上 .【 变式训练】(2021 . 江西. 高二阶段练习(理))已知圆C经过P(0,2),Q(l,g )两点，圆心在直线x -y =上 .⑴ 求 圆C的标准方程；⑵ 若 圆C与y轴相交于A, B两 点(A在B上方). 直线/ ： y =丘+ 1与圆C交于M, N两点，直线AM, 8N相交于点T.请问点T是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由.【 答案】(1 )/ + >2=4(2)是，y =4【 分析】(1)由已知设出圆心C (a ,a),再由圆心到P,Q的距离都为半径列出方程解出答案即可；( 2 )联立直线与圆的方程并化简，然后求出直线AM和BN的方程，进而结合根与系数的关系得到答案. _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _⑴依题意可设圆心C Q "),则半径r = > " ° )2+(a-2)2 = J(a- 1)2+(“一a 2 =2,解a = O, r = 2 ,故C (0,0),即圆C的标准方程为Y + y2=4.⑵ 设" ( f) ”(知必)，由(1 )可知，A(O,2),B(O,-2),联立方程组4，消去x并化简得(二+ 1 )/ + 2丘-3 = 0 ,容易判断直线所过定点(0,1)在圆内，即直线与圆一定有两个交点，2k 3所以玉+ W =-层节=一后节，直线A M的方程为y =上 二 》 +2…①，直线BN的方程为y = ^^x -2…②，% x?k -3, , , 〃 、e么 ,Z z2 = h zl , % = ♦ ( 依 T ) = 3 %一 % = .F Z T f = 1" 人' ”> + 2 X , %+ 2 5+ 3) k x]x2+3 x] , -3 ( - 2k \ 3'k2 + \ { k2 + \ - )由上二! = :，化筒得y = 4 ,故点T在定直线y = 4上 .y + 2 3【 题型七】探索性、存在性题型【 典 例 分 析 】 (2022•江苏•南京二十七中高二开学考试)己知圆C 过点4(2,6), 且与直线4 ： x+ y-10 = 0 相切于点8(6,4).⑴求圆C 的方程：⑵过点P ( 6,24)的直线勾与圆C 交于" , N 两点， 若 △C W 为直角三角形， 求直线乙的方程;(3)在直线4 ： y = x - 2 上是否存在一点Q ,过点。
向圆C 引两切线， 切点为E ,F ,使△QE尸为正三角形，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.［ 答案］⑴ (x _ iy + (y + l)2=50⑵ x = 6 或12x— 5y+48 = 0⑶存在点 一 9,— 11)或(11,9)，使A QE F为正三角形【 分析】( 1) 设圆心为( , 匕 )，根据圆心和切点连线与切线垂直、圆心到圆上两点的距离相等可构造方程组求得圆心坐标，进而得到半径" ，由此可得圆的方程；( 2 ) 由等腰直角三角形性质可知圆心到直线4 的距离d = ^ r = 5 ; 分别在直线4 斜率不存2在和存在的情况下，根据d = 5构造方程求得结果；( 3 ) 由等边三角形性质可知|QC| = 2r =10及 ，设 2 ), 利用两点间距离公式可构造方程求得， ，进而得到点坐标.b - 4 ,------=1« - 6Jtz = 1⑴设圆心坐标为( "⑼ ，则 1( " 一 2) + 色 - 6) = (“ - 6 ) +(〃 -4 ) , 解得： 懒= 一1,. ・ •圆的半径 r = J (a -6 『+ ( 〃- 4)2 =5夜 ,• , •圆 C 的方程为：(x -l)2+(y + l)2 =50.(2) 为直角三角形，|CM TC N |, ...a w ，CN,则圆心C 到直线4 的距离"=也 「 = 5 ：当直线/ , 斜率不存在，即/ , " = 6时，满足圆心C 到2直线4 的距离d = 5 ；当直线％ 斜率存在时，可设/2： 、 - 24 = % (*-6), 即h — y — 6A + 24 = 0,\k + \- 6k + 24 \ I? 12 48:. d = ^——= = ~^ = 5 , 解得：k =— , :. l2: - x - y + — ^0,即 12x-5y+48 = 0 ；yJk2 + \ 5 5 5综上所述：直线4 的方程为％ = 6 或 12x-5y + 48 = 0.71( 3 ) 假设在直线4 存在点。
使△ 婀 为正三角形，…“ 石 ，•••|QC|=2r = l(x/2(- 2), .-.|2C|2= (r-l)2+(Z -2+l)2= 2 0 0 ,解 得 : 1 = -9 或， = 11,存在点 一 9,— 11)或(11,9)，使△QEF为正三角形.【 变式训练】(2021 ・ 江苏•高二专题练习) 已知圆O : Y + V = 1和点M (l,4).⑴ 过 M 作圆的切线，求切线的方程；(2)过M 作直线/ 交圆于点C, 两个不同的点，且 不 过 圆 心 ，再过点C, 分别作圆的切线，两条切线交于点E , 求证：点 E 在同一直线上，并求出该直线的方程；(3)己知4 2 ,8 ) ,设尸为满足方程以2 + P 2= ］ 06的任意一点，过点尸向圆引切线，切点为 B ,试探究：平面内是否存在一定点N, 使得 R 为定值？若存在，请求出定点N 的坐P N2标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.【 答案】( 1)) = 1和15x-8y + 17 = 0.(2)证明见解析, 直线方程为x + 1 = l.(3)存在,1 4N(——， ——)或n(-1,-4). 【 分析】( 1 ) 讨论斜率是否存在并设宜线方程，结合圆的切线性质及点线距离公式求参数,进而写出切线方程.( 2 ) 设, E(x0,y0),由 C E _ L C O 、O E J . O O 可得芭/ + % 为 = 1 、工 2 % + %%=1，即可知8 的方程，再由点在直线上即可证结论，并确定E所在的直线.( 3 )若 P ( x , y ), 由题设可知x 2 + V = 2 x + 8 y + 1 9 , 假设存在N ( 机 , 〃 )使 驾 =后为定值，利P N2用两点距离公式、圆的切线性质整理可得(2- 2k + 2mk )x+(^ - 8k + 2n k ')y+lS- l9k - k (m2 +n2) = 0 ,要使多项式方程不受P点位置影响，需使该多项式方程各项的系数为0 ,列方程求参数即可判断N的存在性.( 1 )当斜率不存在时，显然x = l 与圆°： / + )' = 1 相切；当斜率存在时，设切线为y = & ( x - l ) + 4,由圆心到切线的距离为1 ,| 4 一 2 | 1 1 5 1 5.，.2r== = l , 解 得 & =k，则 y = ? ( x -l ) + 4,整理得 1 5x -8 y + l 7 = O .y/ \ + k 8 8综上，切线方程为x = l 和1 5x -8 y + 1 7 = O .⑵设 CU p % ), 。
孙 丫 2), E ( x ， %) ,由 C E J _ C O , 则 ％( X | -% ) + % ( % —% ) = 0 ,即 * 一西/ + ＞； - 乂 % = 0 ,又 x ： + y ： = l , 故X d o + y% = 1 , 同理当与 + 丫 2% = 1 , ，直线 C£)为/x + % y = l , 又 A f 在C£＞上， ...% + 4 % = 1 ,故E恒在直线x + 4 y = l匕( 3 )由题设，若尸( x ， ＞ )则( 》 - 2 / + ( k 8 ) 2 + / + )， 2 = 1 0 6 , 整理可得＞ + y 2 =2x + 8 y + 1 9 ,p n 2若存在 使—— 7 二人为定值，而 二炉+ y 2 , PN? = (x- m)2 + (y- 〃)2,PN~x2 + y2 - i = k (x- m)2 +k (y- n )2,整理得( 1 一 4 )( f + y ? ) = k (m2 + H2) -2mk x- 2n k y + 1 ,( 1 — k )(2x + 8 y + 1 9 ) = k (n i2 + ) — 2mk x — 2n k y + 1 ,整理得( 2 — 2& + 2 加 Q x + ( 8 — 8 & + 2心))， + 1 8 — 1 9 后 一打加2 + / ) = o ,要使P康B1 为 定值,1 一 k + mk = 0则 v 4 — 4 1 + n k = 01 9 1 + 后( 疗+ ") = 1 8,解得〈 〃=一二或综 上 , 存 在 N ( -万| ， 下4 ) 或 N (TT) ,使P部R2为 定值.【 题型八】面积与最值【 典例分析】( 2021 .四川省遂宁市第二中学校高二期中( 理) ) 已知圆C ： x2 + y2- 2x- 2y + l = 0,直线/分别交无轴，轴于A , 8两点，。
为坐标原点，O A = a , O 8 = 〃( ＞2力＞ 2), 且圆心C 到直线/的距离为1 .( 1 )求证：( 4 -2)3 _ 2) = 2 ；( 2)设N( 3 , l ), 直线， 〃 过线段C N 的中点M 且分别交x 轴与y 轴的正半轴于点/ ＞ 、Q,为坐标原点，求4 P O Q 面积最小时直线， ”的方程；( 3 )求4 A B C 面积的最小值.【 答案】⑴证明见解析⑵* +2 - 4 = 0 ⑶ 3 + 2正【 分析】( 1 ) 求出圆心和半径，表示出直线方程，由点到直线的距离公式可得； v x } 2 ]( 2 ) 直线心的方程为：- + 4 = 1 (c > 0 ,d > 0 ),可得上 + = = 1 , 代入△ 尸 面积利用基本c a c a不等式求解；( 3 ) 利用基本不等式求出必范围，即可求出面积最值.⑴证明：圆C为：(X-1尸+ ( y - i > = i , 圆心C(1, 1 ) , 半径为1 ,设直线/为：二+ 旨=1(4>2,6>2)即灰+ 殴 - " = 0, 圆心C到直线/的距离为1,a h\b + a- ab \J / 十 及 '平方整理得：(油- 2b - 2a+ 2)ab = U,即( 。
- 2)(匕-2) = 2；— • + - = 1 (c > 0, d > 0)⑵设直线团的方程为：c d ,2 1 c又宜线机过点M (2, 1 ) , 所以一+ 二 =1 , 即1 = -- (c>2),c a c - 2则4 P0Q 的面积 S = 」cd =，--^— =1[(c+2) + ^ - ] = ，[ _ 2) + ^ - + 4 ] 之'( 2 4 + 4) = 4,2 2 c - 2 2 c-2 2 c - 2 24当 且 仅 当 2 二 ——即c = 4, d = 2时等号成立.c - 2所以，直线/的方程为：；+ 友=1，即x+ 2y-4 = 0；ab + 2 = 2(a+b '),(a>2,b >2) ： . ab + 2> 2x 2\fab 设r = , .产 -4r + 22 0 ,f 4 2 - r 2 2 + >/2 ,V a>2,b >2 ： . ab >4 ,y[ab >2, ： . t > 2 ,只能取9 2 + 立 ，.•.疝 22 + 夜, 4626 + 4 & ,，5 4叱 =； 62 3+2夜 ，，4 43。
面积的最小值为3 + 2 & .【 提分秘籍】基本规律直线和圆的面积最值，多有以下几种方法1 . 可以借助均值不等式求最值2 .分式型，多可以通过构造来求最值，如下几种常见的分式型：以下几种求最值的基本方法反比例函数型: 吗士，可以分离常数，利用“ 左加右减上加下减”画图(1) P x + q(2) mx+" 与"■T+Zn + o型 , 可 以 设 mx+『t , 换元，简化一次项，然后构造均ax +b x + c mx + 〃值或者对勾函数求解ax1 +b x + c(3) 如？+ "x + e 型，判别式法，或者分离常数，然后转化分子为一次，再换元求解 一元二次型：注意自变量取值范围【 变式训练】(2022•全国•高二课时练 习 ) 已知圆C :(x -a y + (y -b )2 = 4 ,圆心C 在直线N = x 上，且被直线〃? :犬+ 丫 = 2截得弦长为2夜.( 1)求圆C 的方程；( 2 ) 若“ 4 0 ,点 4 (0 ,1 ),过 A 作两条直线/ , / , , 且 满 足 直 线 / 交 圆 C 于 M, N 两点，直线《 交圆C 于尸，两点，求四边形PMQV面积的最大值.【 答案】( 1)x2 + / = 4 ^ ( x - 2 )2+ (y -2 )2= 4 ： (2) 7.【 分析】( 1 ) 由已知可得a = b , 利用圆的弦长公式可求解；( 2 ) 分类讨论直线斜率是否存在，利用圆的弦长公式求得IPQI，|M N |,再利用基本不等式求得四边形PMQN面积的最大值.【 详解】( 1 ) 由圆C ： a - 0 ) 2 + (y - b ) 2 = 4 ,圆心C 在直线y = x 上，♦•.a=8故圆 C :(x -a)2 + (y -4 ) 2 = 4 , 圆心半径 r = 2设圆心到直线x +y = 2的距离 为 " ， 则J = ,2 2 - ( 到 『 =四 即d = ?晨=血 ， 解得： 。
0或2所以圆C 的方程为炉+ 丁 = 4 或(x — 2 y + (y -2 ) 2 = 4 ；( 2 ) 由〃 V 0 ,可知圆C 的方程为/ + y2 = 4 当直线/ 斜率不存在时，此时|M N |=4,|PQ |=2”-12 =2 上此时 S,“@ v = ； I PQI • I MN |= g x4x 2石 =4百当直线/ 斜率存在，设为h则直线/ 方程为' = 丘 + 1 , 圆心到直线/ 的距离设为d ,则 公 W?则 河 =2k = 20合同理可得为 7.【 题型九】直线与圆的应用题【 典例分析】(2022•江苏•高二 ) 在 ① 直 线 / 与 3 、 ( 均相切，②直线/ 截 A 、 B 、 C 所得的弦长均相等，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解该问题.问题：2020年是中国传统的农历“ 鼠年” ，现用3 个圆构成“ 卡通鼠” 的头像. 如图，A( 0,-2) 是A的圆心， 且 1 A过原点； 点 B 、C 在x 轴上， 8 、 C 的半径均为1, B 、 C 均与外 切 .直 线 /过 原 点 .若 ,求 直 线 / 截 A所得的弦长. 【 答案】选①，直线， 截0 A所得的弦长为生叵；选②，宜线/ 截0 A所得的弦长为【 分析】写出圆A的方程，根据圆5、圆C与圆A外切，可求得圆B、圆C的方程.选①, 分析可知宜线/ 的斜率存在， 设宜线/ 的方程为y =入 ， 根据直线/ 与圆8相切可求得％,再计算出圆心A到直线/ 的距离，利用勾股定理可求得结果；选②，分析可知直线/ 的斜率存在，设直线/ 的方程为y =丘 ，根据已知条件结合点到直线的距离公式、勾股定理可得出关于％的等式，求出％的值，即可求得直线/ 截圆A所得的弦长.【 详解】解：由题意可知，圆A的半径为2,则圆A的方程为x 2 + ( y + 2 ) 2 = 4 ,设点 5 (仇 0 ) ( 6 < 0 ) ,因为半径为1的圆B与圆A外切，可得| A B | = 3,即 炉 工 =3 ， * < 0 ,可得。
= - 指 ，所以，圆8的方程为1+石 丁+ 丁 =1 ,同理可知圆C的方程为1- 石丁+ 丁 =1 ,选①，若直线/ 的斜率不存在，则直线/ 与y轴重合，此时直线/ 与圆8、圆C相离，不合乎题意，所以，直线/ 的斜率存在，设直线/ 的方程为丫 =履 ，由题意\4 5 k\ 1可 得 匕= L = 1 ,解得2 = ± 匕 所以，直线/ 的方程为x - 2 y = 0或x + 2 y = 0 ,圆心A到直线/ 的距离为•/ 4 - = 干4后,V l2 + 22 5此时，直线/ 截圆A所得弦长为212?竽)=#选②，若直线/ 的斜率不存在，则直线/ 与y轴重合,题意，所以，宜线/ 的斜率存在，设直线/ 的方程为y =丘 ，此时直线/ 与圆8、圆C相离，不合乎【 变式训练】圆心A到直线/ 的距离为4 = - f=T=圆心c到直线/ 的距离为4 = -^1由题意可得2 / 4 -』 一= 2』 -第V k2 + \ V r +此时，直线/ 截圆A所得弦长为2 /=,圆心8到直线/ 的距离为4=加 」=,且久 =4 3，1-，整理可得4 r = 1 - 4 / ，可得公="1 8- + 1 3 , 1 （ 2 0 2 2 ・ 全国•高二课时练习）赵州桥位于我国河北省，是我国现存最早、 保存最好的巨大石拱桥. 如图所示，它是一座空腹式的圆弧形石拱桥.（ 1 ） 利用解析几何的方法，用赵州桥的跨度a 和圆拱高。
表示出赵州桥圆弧所在圆的半径r ；⑵已知a = 37 . 0 2 米，6 = 7 . 2 3米，计算半径r 的值. （ 结果保留2位小数）【 答案】（ l ） r = 2 + £ （ 2 ） 2 7 . 312 8b【 分析】 （ 1 ） 如图，A B 为赵州桥所对的圆弧， 设A B 所在圆的圆心为坐标原点 C 为弦A3与了轴的交点，为A B 与 >轴的交点，在R 0 8 C 中，利用勾股定理即可得解；（ 2 ）根 据 （ 1 ） ,将a = 37 . 0 2 米，b = 7 . 2 3米，代入即可得解.（ 1 ） 解：如图，4B 为赵州桥所对的圆弧，设A B 所在圆的圆心为坐标原点C 为弦A B 与y轴的交点，为A 8与y轴的交点,1 0 !| | AB| = a , |BC| = ~,\OB\ = \OD\ = r,\CD\ = b,\OC\ = r - b ,在用 OBC 中 ,\OBf =\BCf+\OCf , 即，=(j 『+ 图，解得r =2 8bb a2 7 . 2 3 37 . 0 22_ _ r — —I = - - - - - 1- - - - - - - p 2 7 . 31（ 2 ） 解：由 （ 1 ）得，当。
=37 . 0 2 米，力 = 7 . 2 3 米时， 2 8 2 8 x 7 . 2 3 米 .2 . （ 2 0 2 2 . 福建省永春第一中学高二期末）“ 跳台滑雪” 是冬奥会中的一个比赛项目，俗称“ 勇敢者的游戏” ，观赏性和挑战性极强. 如图：一个运动员从起滑门点A 出发，沿着助滑道曲线 〃 x ） = 一扬 人的值，从而求出曲线AB的长度；( 2 ) 由 ( 1 ) 可得g (x )的解析式，依题意可得出 = - 1 2 0 ,代入解析式中解出x , 即可求出C 点坐标，根据两点间的距离公式计算可得；(1)解：f(x) = - \lb2- x2 (-/? 如 ? + (-40+ 120)2 = 40石 « = 89，即该运动员K行距离约为89米； M分阶培优练培优第一阶基础过关练1. (2020•黑龙江•双鸭山一中高二阶段练习(理) ) 由动点尸向圆f+ 卡 = 1引两条切线必 、网切点分别为A 、B , 若 /4P B = 120 ，则动点P 的轨迹方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .【 答案】/ + 9 : 3【 详解】ZAPB = nO0. 2BAP =--------------= 30° , ZOAB = 900-30° = 60° ,■： OA = OB = r = \, .QAB是等边三角形，OP =— = = 也为定值,cos300 3・・・2 点轨迹方程为/ + 丁 = ［ 手) = 2 .2. (2021.全国•高二期末)在平面直角坐标系X )， 中，点 为圆M： (x -l> + (y -l)2 = l上一动点， 过圆M 外一点P 向圆M 引- 条切线， 切点为A ,若I以|=F | , 则IPQI的最小值为( )A. 72-1B. a + 1C. -V 2-14D. -V 2 + 14【 答案】C【 分析】利用| % | = | 尸。 | ，两点间距离公式, 以及勾股定理得出A/X： + y： = J(x( > T )- + (% T )- - 1，可得点尸在直线2x + 2 y -1 = 0 上， 将| PQI的最小值转化为圆心到直线的距离减去半径求解.【 详解】设 6 % ， % )，则有也： + * = ， 5 -1 )2 + ( % - 球 - 1,所以2% + 2% = 1 , 设圆心到直线2r+2尸1 的距离为/ J = 2 X 1^2 X 1~1= —,V4 + 4 4则有/ 3小=逑-1.故选：C3. (2021•江苏省响水中学高二阶段练习)已知圆C 过点P(l, 1),且与圆M： (x + 2)2 + (y + 2)2— r~ (r>0)关于直线x + y + 2 = 0 对称.( 1 ) 求圆C 的方程；( 2 ) 设 为圆C 上的一个动点，求 PQ-MQ取得最小值时点的坐标；(3 )过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于A, B ,且直线以和直线P 8 的倾斜角互补，0 为坐标原点，试判断直线 尸和AB是否平行？请说明理由.【 答案】(1) x2 + y2= 2； ( 2 ) (- 1,-1)； ( 3 ) 平行，理由见解析.【 分析】(1) 利用对称性，求出圆心坐标，即可求出圆C 的方程；( 2 ) 用坐标表示两个向量的数量积，化简后再利用三角函数知识即可求出向量的最小值，进而求得点。 的坐标；(3 ) 设出直 线 必 和 号 的 方程，将它们分别与圆C 的方程联立，得到A 点和B点的坐标，得到原B，再与心, 进行对比，即可得出结论.【 详解】⑴ 设 圆 心 C3 / 0 , 由题意 得 一2 2 ~ ，解得l…a = 0则圆C 的方程为x2 + / =r , 将点P(L1)代入方程得：户=2 .•.圆C 的方程为f + V = 2( 2 ) 设 (x，y ),则 V + y2 = 2 PQ-MQ = (x -if y-l)-(x + 2, y + 2) = x2 + y2+ x+ y-4 = x + y -2令 x = & co sy= \/2sin0 PQ-MQ = >/2cos0+\/2 sin 0 -2 = 2s\n(0-i-^ ) - 2. , .当 + 5 = 2%灯- ] , % €2 时，2sin(9 + ? ) = - 2 , 即 PQ•何取得最小值Tx ——l, y = - 1 Q(-1>-1)( 3 ) 由题意，直线 丛 和 PB的斜率存在且互为相反数故可设R 4： y - l = 4 x -l), P B： y - l = -A (x -l)由। 2 '‘； " 得|x- + V = 2(1 + k2 )x2 + 2*(1 - k)x+ (1 - *)2 - 2 = 0点P 的横坐标一定是该方程的解■ XA =公- 2 JX + k1kz + 2 k -\\ + k2,同理出 =. =% 一 % =-A(乙 一 1)一 4(七 「 1) = 2I (4 + x,1AB XB -XA XB -XA XB -XAk(> p = 1 卜样=k0p 直线AB和OP 一定平行.4. (2022.全国•高二课时练 习 )如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆G ： *+1尸+ V = 1,圆G ： (x-3)2+ (y-4)2= l.设动 圆 C 同时平分圆G 、 圆C2的周长 .(1)求证：动圆圆心C 在一条定直线上运动.(2)动圆C 是否经过定点•若经过，求出定点的坐标; 若不经过，请说明理由.f, 3凡1----------" 一2【 答案】(1)证明见解析(2)过定点，定点的坐标为I[+逑,2 +和I 2【 分析】(1 ) 由题意，圆心c 到C>G两点的距离相等，由此结合两点间的距离公式建立关系式，化简整理得x + y - 3 = o ,即为所求定直线方程；( 2 ) 根据题意设c (九3 - 加) ，得到圆C 方程关于参数力的一般方程形式，利用恒过点，即可得到动圆c 经过的定点坐标.( 1 ) 解：设圆心C (x ,y ),由题意，得|CCj = |C G |，即 J(x+ l)， + y2 = J ( x-3)2+(y-4)2 ,化简得x + y -3 = 0 , 即动圆圆心C 在定直线x + y -3 = 0 上运动.(2 )解： 圆 C 过定点， 设C(， " ,3 -" z ),则动圆C 的半径为Jl + CC； = / + ( / + + (3- ⑼2 ,于是动圆 C 的方程为(x-m)2 + (y -3 + ， 〃 ) 2 = l + ( ， " + l)2 + (3 -〃 ? )2 ,整理得x2 + y2 -6 y -2 -2 /w (x -y + l) = 0. 联立方程组x -y + l= O公+匕6— =。 解得E+还2或y = 2 +逑2 . 3 &=I - - - - -2) 3 夜2， 所以动圆C过定点, 定点的坐标为1考, 2考 )和1喙+ 明5 . ( 2 0 2 1 ・ 广东―广州四十七中高二期中) 在平面直角坐标系xOy中， 已知直线/ : x + y + 2 = 0 和圆 / + 丁 = 1 , P是直线/ 上一点，过点尸作圆C的两条切线，切点分别为A , B.(1)若 P A L P B ,求点P的坐标；( 2 ) 设线段4 8的中点为Q,是否存在点T , 使得线段7 长为定值？若有在，求出点” 若不存在，请说明理由.【 答案】⑴ ㈠ , — 1 ) ( 2 ) 存在使得线段T Q 长为定值.【 分析】( 1 ) 求得| 0 日，由此求得P的坐标.( 2 ) 求得点坐标，判断出点的轨迹，由此求得T点坐标.⑴ 圆 的圆心为半径为「 = 1 . 当E4J •尸 3时，是等腰直角三角形，且Z P A O = -2 ,所以= = 0 . 而原点0 ( 0 , 0 ) 到直线/ ： x + y + 2 = 0 的距离〃= 也.直线/ 的斜率为T,所以出线。 尸的斜率为1 , 直线OP的方程为丫 =》，由p = x n P ( T - l ) .[ x+ y + 2 = 0 、 '⑵ 设 「 ( 5-2),对丁. 直线O P , ' 二-F M ' ' ° ) = ( ' + 2 )X+” = ° , » = 0 上式也符合.所以直线OP的方程为( + 2 ) x+ ( y = 0 . | 网 h o产 - 俨 = 2 产+ 4f+ 3 ,所以以尸为圆心，| P A | 为半径的圆的方程为( x_ ry + ( y + f + 2 ) 2 = 2 产+ 4f + 3,化简得x2 + y2 - 2 rx+ 2 ( r + 2 ) y + l = 0,由’ ：；； 二 ； ：；2 ( “ 2 ) ) ' + 1 = ° , 两式相减并化简得直线A8的方程为比- “+2)k1 = 0 ,“ x- ( f + 2 ) y - l = 0 ( t -t-2 )1 1 1 [ ( r + 2 ) x+ ry = o n 气 2 r2 + 4r + 4' 2 产+ 4r + 4 1 由十( 2 产+ 4r + 4 4) ( 2 / + 4r + 4 4) 8所以。 点的轨迹方程为( x+ ； j + ( y + ； J=",即Q点在以1 - ；， - ； ) 为圆心，半径为g = ； =坐 的 圆 上 .丫 8 2 应 4所以存在使| 42 | 为定值乎 .6. ( 2 0 1 3 , 湖南长沙♦ 一 模 ( 理 ) ) 已知A & , 0 ) , 点 8是y 轴上的动点，过 B作 A B的垂线/ 交x 轴于点Q,若UUU UUU1 L1UUA P + A 0 = 2 46, M( 4, O ) . （ 2 ）是否存在定直线x = a,以PM为直径的圆与直线x = ” 的相交弦长为定值，若存在，求出定直线方程；若不存在，请说明理由.【 答案】（ l ） y 2 = x（ 2 ）存在定宜线x == ，以PM为直径的圆与直线x = ?的相交弦长为定 值 巫4 4 2【 分析】（ 1 ）设5（ 0 / ） ,根据直角三角形中的关系可得 T / , 0 ） ,再设P（ x, y ） ,根据ULU UUU UL1U .A P + A Q = 2列式可得x = 4产 ,y = 〃，进而得到方程即可；（ 2 ）设P（ / , p ） ,求得以PM为直径的圆的方程，再代入x = “ 可得弦长的表达式2 - « （ a - 4 ） ,再令p* 2的系数为0求解即可【 详解】 ⑴ 设8 （ 0 1 ） ,。 皿0 ） ,根据直角三角形中的关系有产 = ；同， 因为旌0故加,故 - 4/ , 0 ） ,设尸（ x, y ） ,贝 1 "「= 卜 - " 司 ，A e = l - 4f2- - , 0 l , 2 A B = l - - , 2 rl ,LlLttl ULUU UL1U （ cA P + A Q = 2AB> 故卜一“ ） ] + [ - 4r = J ,故 x = 4* , = = 2 f ,故点尸的轨迹方程为y2 =x（ 2 ）由（ 1 ） ,点P的轨迹方程是V = x ；设P （ / A p ） ,因为M （ 4, 0 ） ,则以2例为直径的圆的方程为（ y - p ） y + （ x- p 2 ） （ x - 4 ） = o,当X = a时，y 2 _ p y + （ a _ p 2 ） （ q _ 4 ） = 0 ,设以 PM为直径的圆与直线x = 的交点为（ 0 , y j , （ 0 , % ） ，则以P例为直径的圆与直线x =的相交弦长为E - % | = ^ p2- 4 （ 6Z - p2） （ 6Z - 4） = 弓 ） 〃2 一 ” （ a - 4 ） ,故当 a = 。 时相交弦长为定值4匡但^| =姮•故存在定直线以PM为直径的圆与直线* = 与 的相交弦长为V 4 4 ） 2 4 4定 值 正27 . （ 20 22・ 全 国 •高二单元测试）已知圆C过坐标原点和点26） ，且圆心C在x轴上.⑴ 求 圆C的方程：⑵ 设点用（ T O , ） .①过点M的直线/ 与圆C相交于P,两点，求当△ P C Q的面积最大时直线/ 的方程；②若点T是圆C上任意一点，试问：在平面上是否存在点N,使得1 7 M l = 4 7 7 V | .若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由. 【 答案】( l) ( x- 4 ) 2 + y 2 = 1 6； ( 2) ①x + 半y + 1 0 = 0 或x-冬y + 1 0 = 0：②不存在，理由见解析. ______________【 分析】( 1 ) 设圆心C( a , O ) , 则J( a - 6) 2+ 修 厨 = 〃 T,求出“，进而得到圆的方程；( 2) ①利用三角形的面积结合基本不等式，可知△ P CQ 的面积最大时，圆心到直线的距离为d,设直线/ 方程，利用点到线的距离公式求解即可；②假设存在N ( m, n) ，由| 7 " | = 1 7 7 V | , 结合点7 ( x, y ) 在圆上，可得到方程( 1 8 / n + 4 0 ) x+ 1 8 « y - 9 m2 -9M2 + 4 0 0 = 0 ,利用待定系数法求解而 〃 , 即可判断.( I ) 因为圆C 过坐标原点。 ° ' ° ) 和点人仅， 2道 ) ,且圆心c在 x 轴上，设圆心C( a , 0 ) , 则J( a - 6) 2+ ( 2@ 2 = 后，解得4 所以圆心C( 4 , 0 ) ,半径厂= 4故圆C 的方程为(X-4)2 + /= 1 6( 2) ①设圆心到直线的距离为"，则 闸 = 24一 、 = 2 ， 1 6一小:. S P C Q^ - \ P ^ - d = y] \6- d2 - yfd1 < 1 6- ^ + d~ = 8 ,当且仅当 16 - / = 屋 ，即4 = 2& 时等号成立，设直线/ 的方程为x = my - 1 0 ,则圆心到直线的距离d = j； + ] = 2夜 ，解得， " =± 写所以直线/ 的方程为x = ± [ ^ y - 1 0 ，即彳 + ^^) ' + 1 0 = 0 或 * - ^ ^ > + 1 0 = 0②假设存在 T ( x, y ) , 由 1 7 M l = | | 7 W | , 知 1 7 M l2= ；| 7 W 「o _ _代入得( x+ 1 0 )2 +/ = - [ ( x- / n)2+ ( y - n)2]1 简整理得 5 f + 5 y 2 - ( 1 8 根 + 8 0 ) x - 1 8 〃y + 9 机2 + 9 r - 4 0 0 = 0乂点T在 圆 匕 . - . x2- 8 A- + y=0,则( 1 8 ， 〃 + 4 O ) x + 1 8 / y - 9 m2- 9 " 2+ 4 0 o = ( )1 8 / n + 4 0 = 0所 以 1 8 ” = 0 解得〃 =0,但加无解，所以不存在点M使得| 砌 = 习 到- 9 / n2- 9 / J2+ 4 0 0 = 08 . ( 20 21 . 江苏. 高二专题练 习 ) 圆 C ： f + ( y _3 ) 2= i , 点P & 0 ) 为x 轴上一动点, 过点尸引圆C 的两条切线，切点分别为" ，N.( 1 ) 若， = 1 , 求切线方程；( 2 ) 若两条切线P AZ, PN与直线y = l分别交于A, 8两点，求 A B C 面积的最小值.【 答案】( 1 ) 4 x+ 3 y - 4 = 0 或x = l ； ( 2 ) ① .2【 分析】( 1 ) 设切线方程，利用圆心到切线距离等于半径求得斜率即可得解；( 2) 利 用 ( 1 ) 的方法，当切线斜率都存在时，设出直线方程，利用点到直线的距离公式可得到4的二次方程，结合根与系数关系，用含& 的式子去表示H B| , 可得最值，当切线斜率有一个不存在是，也可求出依阴，综合可得忸剧的最小值，进而可得AABC面积的最小值.【 详解】解：( 1 ) 当切线斜率存在时，可 设 切 线 方 程 为 ( x- l) , 即辰- ) / = 0 ,则圆心c到切线的距离“=以 生 =1,解得k = - 2 ,收 +1 3当切线斜率不存在时，直线x = l也符合题意 4故所求切线方程为y = -；(x—i)或x = i ,即4x+3y-4 = 0或x = l ；( 2 ) 当两条切线斜率都存在，即『 工 土 1时，设切线方程为y = & (xT),& # 0 ,即心r-h = O , PM, P N 的斜率为人, 七，故圆心C 到切线的距离〃 = 得( 『- 1)公+6位+ 8 = (),1—+ t（ 匕）故 网 卡 -止在切线方程中令)= 1 可得x = ： + f,K_________________________ f6t y ~s-_， ( + 玲 ) 2 4桃 2 _ 忆E Q ,kik 8 4.-.|AB| .此时r = o , 当两条切线斜率有一条不存在，即/ = ±1时，I Imin 2不妨拿f = l 来计算， 由(1)得切线方程为即4 x+3y-4 = 0或x = l , 令) ，= 1 可得,雷达， 其监测范围是半径为25 km 的圆形区域， 一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km 的A处出发，径直驶向位于海监船正北30 km 的 B 处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？( 要求用坐标法)【 答案】0.5 h【 详解】试题分析：建立直角坐标系，问题转化为圆与直线是否相交，只需用点到直线的距离公式即可判断，监测时间为直线与圆相交的弦长除以轮船的速度.试题解析：如图，以 。 为原点，东西方向为x 轴建立直角坐标系，则 4 40,0), 8(0,30),圆 方程/+^ = 2 52. x y直线 A 3 方程：4 < ) + W = l , B | J 3 x + 4 ) - - 1 2 0 = 0 .IT20I设 到 A B 距离为d,则 4 = < = 2 4 < 2 5 ,所以外籍轮船能被海监船步整到.2V25?-24： I设监测时间为r , 则 r = ? « = 5 ( h )答：外籍轮船能被海监船监测到，时间是0 . 5 h .培优第二阶——能力提升练1 . ( 2 0 2 1 •山东•薛城区教育局教学研究室高二期中) 已知圆C : ( x - 2 y + ( y - 5 ) 2 = 4 , T为圆C外的动点，过点T作圆C的两条切线，切点分别为M 、N,使力 0 . 可 取得最小值的点T称为圆C的萌点，则圆C的萌点的 轨 迹 方 程 为 .【 答案】( x - 2 )2+ ( y - 5 )2= 4 V 2 .【 分析】根据圆外一点引圆的两条切线，切线长相等可得7 M - 7 7 V = | 7 M 「 c o s / M 7 7 V , 再利用切线长公式、同角三角函数基本关系、结合基本不等式，即可得到答案；[ 详解] T M T N ^ \TM\" c o sZ MTN = ( [ ^2 - | M C |2 ) ( 1 - 2 s i n2 Z MTC)= ( 时 - 4 ) 1 1 - 耨卜(时 - 4 ) [ l - "时 + *1 22 2 ) 因卜裔- 1 ； = 8 夜 - 1 2当且仅当| T C 「= 40时等号成立.由T在圆C外知| T C | 的取值范围是( 2 , 内 ) ,所以| T C f = 40能成立，故7 M . T N 的最小值为8 近 - 1 2 .由| T C 「=40知，萌点T的轨迹为圆, 方程为( x - 2 ) 2 + ( y - 5 ) 2 = 4 技故答案为：( x - 2 )2+ ( y - 5 )2=4^2 . ( 2 0 1 7 . 重庆一中一模( 理) ) 过x 轴下方的一动点尸作抛物线C:f=2 y的两切线，切点分别为A , B , 若直线4 8 到圆V + y 2= i相切，则点尸的轨迹方程为2A . / - x2 = l ( y < 0) B . (J + 2)2+X2 = 1 C . x2+ -^ -= l ( y < 0) D . x2 =- y- 14【 答案】A【 分析】先利用导数求出直线R 4 和 P B , 得到直线AB的方程：/ % - 丫 - % = 0 ,由直线A B与圆/ + 丫 2 = 。 相切，得到点尸的轨迹方程.【 详解】设4( 不凹) , 8( 看, %) .y'= x,. - . kP A=x],可得 ,化 为 中 - y - y = 0 .同理P 8 方程为：x2x - y - y2=0 .设 「 ( %, %) ( 为 < 0) ,则有百 与 一% - y = 0, x2x0-.y0-.y2 = 0,说明A ( X | , y ) , 3( 电， 力) 都在直线飞》 -) ， - % =0 匕 即A 8 方程：V- y- yo = O , 乂 A B 与 圆V + y 2 = o 相切,，可化为乂 -片 = 1( %< O ) , ，P点轨迹方程为丁一金= 1&< 0) .故选：A .3. ( 2021•新疆维吾尔自治区喀什第六中学高二阶段练习) 已知直线/： x + y + 3= 0及圆C ：( x -a y + ( y + 3) 2 =9,令圆C在无轴同侧移动且与x 轴相切，( 1 ) 圆心在何处时，圆在直线/上截得的弦最长；( 2) C在何处时，/与y 轴的交点把弦分成1： 3；( 3 ) 当圆C移动过程中与直线/交于A , B两点时，求的取值范围.【 答案】 ( 1) ( 0, -3) ； ( 2) 圆 心 为 -^ ^ , -3 或 -士 ^ ^ , -3 : ( 3) -- < OA OB < 18 + 9 ^ 2 .I 5 J I 5 ) 4【 分析】( 1 ) 当圆心在直线/上时，圆在直线/上截得的弦最长，令 y = - 3 即可求解圆心；( 2 ) 因为直线/与y 轴的交点为( 0, -3) , 所以圆C在 X 轴下方，故设圆心为( 4-3) , 结合弦长公式即可求解；( 3 ) 设圆C ： ( x -a 『+ ( y + 3) 2= 9 , 将直线方程代入圆方程，利用韦达定理和数量积公式即可求解.【 详解】( 1 ) 当圆心在直线/ 11时，圆在直线/上截得的弦最长为6,故令y = -3得x = 0 ,所以圆心为( 0, — 3) ；( 2 ) 直线/与) ， 轴的交点为( 0, -3) , 故设弦长为| A 却，圆心为( 。 , -3) , 圆心到直线/的距离为“咽| 4 _ 3 石友 一 『因为/与y 轴的交点把弦分成1： 3 ,所以| A B | = 4d = 2j9 - 相 解得d =苧,则得” 土 题5疝所以当C的圆心为5、, - 3 时，/与y 轴的交点把弦分成1： 3.7x + y + 3 = 0.( x -a ) 2 + ( y + 3『= 9( 3 ) 若圆 C ： ( x -a ) + ( y + 3 ) = 9 , 设 A ( %，M) , 3( X 2， > 2)由，2工2一 2以 + 2-9 = ( )A = 4 a2 -8( a2 -9 ) = 72- 4 a2 > 0 , < 18Q--9 / 、 c i ~ -9x}x2 = -- -+x2 =a, yxy2 = X jX2 + 3( ^ + 々) + 9 = - -— + 3〃 + 9由 OA - OB = + yty2 ^O A OB = 2 xa + 3 a + 9 = a2 + 3< 2 = ^ « + -| ^ 一'o _ __. 广因 为 / < 18 = - 3 0 <” 3 & 所以-4 <。 4 ・ 8< 18 + 9& ；4. ( 2022•全国•高二课时练习) 已知两个定点A ( -4, 0) , B ( -1, 0 ) , 动点P满足照| = 2| P 用 .设动点尸的轨迹为曲线E ,直线/： y=k x- A.( 1) 求曲线E 的方程；( 2 ) 若直线/与曲线E 交于不同的C,两点，且N C O Z ) = 9 0 O 为坐标原点) ，求直线/的斜率；( 3 ) 若后Q是直线/上的动点，过 作曲线E 的两条切线Q M , QN , 切点为M, N,探究：直线MN是否过定点. 【 答案】( 1) x2+y2=4 ； ( 2) ± 5/7 ： ( 3) 过定点.【 分析】( 1 ) 设点P坐 标 为 ( x , y ) , 运用两点的距离公式，化简整理，即可得到所求轨迹的方程；( 2 ) 由N C O £ ) = 9 0" ，则点到CD边的距离为 狡 ，由点到线的距离公式得直线/的斜率;( 3 ) 由题意可知：O, Q , M, N四点共圆且在以为直径的圆上，设 卜， ；4 ),则圆尸的圆心为( ：， 雪 )运用直径式圆的方程， 得直线MN的方程为a + ( ：-4) y -4= 0, 结合直线系方程，即可得到所求定点.【 详解】 解析( 1) 设点P的坐标为( 尤, y ) , 则由照| = 2俨用， 得J( x + 4> + y 2 = 2 7( x + l )2 + y2，平方可得/ + 卢 8x + 16= 4 k x2+y2+lx+1) , 整理得，曲线E 的方程为x2+y2^ .( 2 ) 直线/的方程为尸员-4, 依题意可得△ C8 为等腰直角三角形，| - 4 | [则圆心到直线/的距离d = / | 2 = - \CD\= 5/2 . ： . k =+4 1 .\Jk ' + 1 2( 3 ) 由题意可知，。 Q , M, N四点共圆且在以为直径的圆上，设 A --4, 以 0 Qx( x-r ) + y y为直径的圆的方程为 I+ 4 =0), 即x2-t x+y2-l —-4l y = 0乂 M, N在曲线 E ： /+丁= 4 上,...用汽的方程为田+( 《" 4) 广4 = 0 , 即( ) 叶I ) = ( ) ,由/ + 5 = ° ' 得,” 一7兽 2 [y + l = 0 [y = - \，直线MN过定点5.( 2 02 2 .四川.盐亭中学高二开学考试) ①圆心C在直线/： 2 x-7y +8 = 0 上， 圆 C过点8( 1,5) ；② 圆 C过直线/： 3 x+5y -8 = 0 和 圆 / + 丫 2 +6 ) ,_ 16 = 0 的交点；在①②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中进行求解.已知圆C经过点A ( 6 , 0) ,且—.( 1) 求圆C的标准方程；( 2 ) 过点P ( 0, 1) 的直线/与圆C交于M , N两点①求弦MN中点Q的轨迹方程；②求证aM为定值.注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【 答案】( l ) ( x-3 ) 2 + ( y -2 ) 2 = 13 ⑵ ① x2 + y 2 -3 x-3 y + 2 = 0 ；②证明见解析【 分析】( 1) 选①，待定系数法可解；选②，利用过直线和圆交点的直线系方程可得；( 2 ) ①利用CQL PQ, 数量积为。 直接求轨迹方程；②利用韦达定理代换后化简可证，注意讨论斜率不存在的情况.( 1)选①条件：设所求圆的方程为( x-4 + ( y -4 = ，，' ( 6 - 4) 2 +( 0 — 6 ) 2 = 产由题意得“1-4) 2 +( 5-力2 = / 解 得 a = 3 , b = 2 ,户= 13 ,2 a-7b + 8 = 0所以所求圆的方程是( x-3 f +( y -2 ) 2 = 13选②条件：因为圆C过直线3 x+5y -8 = 0 和圆f+ / + 6〉 一 ] 6 = 0 的交点，所以设圆C的方程为 x? + + 6 y —16 + A ( 3 x + 5y — 8) = 0 ,因为圆C过点4 ( 6 , 0 ) , 将点A的坐标代入方程，解得； 1 = -2 , 所以圆 C 的方程是/ + y2-6x-4y = 0 , 即( x -3 ) 2 + (y -2 ) ? = 13(2)①设0 x ,y ) ,圆心C (3, 2)由题意可知：C e /,e = U -3 ,j-2 )-(x ,j-l) = 0 ^ x2 + y2-3 x -3 y + 2 = 0②当直线/的斜率不存在时，直线/：苫= 0 交圆( ： 得知( 0,4),"(0,0), PM PN = T当直线/的斜率存在时，设直线/： > = 丘 + 1 , 设 M( 外 ,乂 ) ”区,、 2)J(x-3)2+ (y -2 )2 = 13则S ,y = 04-1消元得(1 + 公卜2_2(3 + &)*-3 = 0 , 其中△ = (6 + 2k)2_4x(_3)(l + r ) >0n,6 + 2% -3则用 + 々 =^^，x,x, = -j—p - -:. PM - PN = (Jr,,y, - 1)• (x2,y2 - 1) = xtx2 +(y, -l)(y2 -1) = -kx2 =(1 + ^2)A*IX2 = -3综上所述：PM PN = - 3：. PM P N为超值.6. （ 2021♦ 安徽•高二阶段练习）已知圆C 过原点， 圆心C 是直线y = x + 2 与直线y = -2 x + 2 的交点.（ 1） 求圆C 的标准方程；⑵ 若 圆 C 与y 轴交于A、 B 两 点 （ A 在 B 上方） ，直线/： y = 丘 +1与圆C 交于M N 两点，直线 AM, 8N 相交于T.请问点T是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由 .【 答案】（ l） d + （ y -2 ） 2= 4⑵ 存在，y = -2【 分析】（ 1）首先求出两直线的交点坐标，即可得到圆心坐标，再根据圆过原点求出半径,即可得到圆的方程；（ 2）设知（ 对乂） ，N （ w ， %） , 联立直线与圆的方程，消元列出韦达定理，由直线AAZ的方程为y = X ^ x + 4 , 宜线BN的方程为丫 = 及 工 ， 即可得到 1 = 3 ,从而求出定直线方程；占七y（y = x+2 （x = 0⑴解：由1y = - 2 x + 2 ,得［ y = 2 , 所以圆心C（ 0,2）又因为圆c 过原点，所以T ° q = 2,所以圆C 的标准方程为：x2+ （ y -2 ）2=4.⑵ 解：设M （ 2） , （ 孙 必 ） ，由 （ 1）可知，A（ 0,4） , 8 （ 0,0） ,联立方程组， ;= 4 , 消去丫并化简得仅2 + ［ 卜2 -2 履一 3 = 0 , 所以演 + 々 = 悬31= ——0——・2 Jt2+1直线AW的方程为y =、'x+ 4① 直线8 N 的方程为^ = & 》 ②x2y -4 v. -4 x, x2 （kxt -3 ） kx.x^ -3x, t2 + i -.由①②知—=- ——1 = \ \ -=—— J --------- = 3V 占 % 为（ 也 + 1） 履用+ 占 卜一 3 （ 2k\2 + 1 U2 + l由上 心 = 3 , 化简得y = - 2 , 故点T在定直线y = -2 上 .y7. （ 202卜江西省铜鼓中学高二期中（ 文） ）已知点尸（ 2,0） 及圆C ： x2 + /-6x+43> + 9 = 0.（ 1）若直线/ 过点尸且与圆C 相切，求直线/ 的方程；（ 2） 设过P 直线4 与圆C 交于M、 N 两点，当|MN| = 26时， 求以“ V为直径的圆的方程; ( 3 ) 设直线以- ) ， + 1 = 0 与圆C 交于A, 8两点，是否存在实数“，使得过点尸( 2 ,0 ) 的直线4 垂直平分弦48?若存在，求出实数。 的值.【 答案】 ( 1 ) 4 x- 3 y - 8 = 0 或 y = 0 ； ( 2 ) ( x- 2 )2+ ( y + 2 )2 = 3 s g ( x- y )2+ ( y + |)2 = 3 ； ( 3 )不存在.【 分析】( 1 ) 设直线/ 的斜率为3用点到直线的距离公式得伙： ： - 2 & I = 2 , 即求;( 2 ) 设 MN的中点为Q ( a,b) ,由题可得,7 ( « - 3 )2+0 + 2 )2 = 1(a- 2 ) ( a- 3 ) + 0- 0 ) 3 + 2 ) = 0即得;( 3 ) 假设存在，则圆心C( 3 , - 2 ) 必在4匕 由 4的斜率M c = - 2 , « = 1, 再由直线与圆的位置关系可得" = 年 岁 1 ＜ 2 ,即可得出结果.Jc T +1【 详解】( 1 ) 由f + y 2 - 6 x + 4 y + 9 = 0 得( x- 3 y + ( y + 2 ) 2 = 4 设直线/ 的斜率为3则方程为 y - 0 = A( x- 2 ) .又圆C 的圆心为( 3 ,— 2 ) , 半径「 = 2, 由伙 产2 4:2, 解得上= 告或％= 0 .V F + 1 34所以直线方程为y = 'x — 2 ) 或 尸 0 , 即直线/ 的方程为4 x— 3 y — 8 = o或 y = 0 .( 2 ) 设 MN的中点为。 ( a力) ，则四=/_(苧P= 1 ，又 PQ LC Q , 所以PQ C Q = ( ) ,[=1 8. . . 上 一 3 ) 2 + ( 6 + 2 ) 2 = 1 , , 『 =2 或 "不(a- 2)(a- 3 ) + (b -0 ) 0 + 2 ) = 0 ' [b = - 2^ L _ 6 '. . . 以 MN 为直径的圆的方程为( x- 2 y + ( y + 2 ) 2 = 3 或( x- 1 ) 2 + ( y + §2 = 3 .( 3 ) 由直线以—y + l = 0 与圆C 交于AB 两点，则圆心C 到直线的距离”=单 翼 ＜2 ,设符合条件的实数 存在，由于《 垂直平分弦A B , 故圆心C( 3 , - 2 ) 必在乙上.所以4的斜率即c= - 2 , 而& 他= 〃= 一，一，所以a = (由 于 不 满 足 d =斗 翼 ＜2 ,kpc 2 2 y/a―1故不存在实数a , 使得过点P ( 2 , ° ) 的直线4垂直平分弦AB.8 . ( 2 0 2 卜江苏・ 高二专题练习) 如图，已知圆O： x2 + y2= 4,过点E( l , 0 ) 的直线/ 与圆相交于4 , 8两点. （ 1 ）当|A3 |= Ji 5时，求直线/ 的方程；（ 2 ）已知。 在圆上，CQ , 0 ） , 且 A 8 _ L C D , 求四边形A C B O 面积的最大值.【 答案】（ 1 ） y = ± g（ 2 ） 4也【 分析】（ 1 ）分别考虑斜率存在与不存在时，利用弦心距表示出48即可. ，（ 2 ）当直线A B 与x 轴垂直时，AB = 2 4 ，C D = 4,四边形A C B D 的面积，当直线A 8 与x轴不垂直时，设百线A B 方程为质一丁- 4=0, 则直线8 方程为* + @- 2 = 0, 求出点到直线A B 的距离， 从而得到弦长A B 和 C由 此 利 用 配 方 法 能 求 出 四 边 形 面 枳 的 最大值.【 详解】解：（ 1 ） 1 " 当直线/ 的斜率不存在时，直线方程为x = l , 此时A5 = 2 ^ / F彳 = 2 6 ,不符合题意；2 当直线/ 的斜率存在时，设斜率为&, 则直线/ 的方程为y = "（ X - 1 ） ,所以圆心到直线/ 的距离d = - ;星，因为4 5 =拒，所以正心卯一 其 , 解得W+ 1 V 公+ 1k = 土 —,3所以直线/ 的方程为y = ± 4 （ x- l ） .（ 2 ） 当直线A B 与x 轴垂直时，AB = 2 6 8 = 4 , • ,. 四边形A C B O 的面积S = ； A8 CD = 4 6 ,当直线A B 与x 轴不垂直时，设直线4 B 方程为y = % （ x- l ） , 即 履 —y-k = 0 ,则直线C D 方程为y = - ：（ x- 2 ） , 即x + B - 2 = 0, 点。 到直线A B 的距离为K1 口4 2 +1，点到直线C的距离- 7 ： ^\] k - + \:. AB = 2 % _（ .产 । / = 2 , CD = 2 〃- （ / 2 .=4 ,V W7 T V 代+ i v WT T u2+\则四边形A C B D面积s = 1 AB,CD =?符•岳= 4愕票，令公+ 1 = f> l （ 当k = 0 时，四边形A C B D不存在） ，S = 4小⑶ + ； ”）= 4卜； +1 ） 2 e （ o,4 9 ,四边形A 8 C面积S 的 最 大 值 为 .9 . （ 2 0 2 2 •全国♦高二课时练习）河北省赵县的赵州桥是世界上著名的单孔石拱桥，它的跨度是 37 . 0 2m ,圆拱高约为7 . 2m ,自建坐标系，求这座圆拱桥的拱所在圆的标准方程. （ 精确到0 . 0 1 m )【 答案】x2+ （ y + 20 . 1 9）2 = 7 50 . 21 .【 分析】建系表示点8, C的坐标，利用待定系数的方法设圆的标准方程，代入求解.【 详解】如图所示AB是拱桥的简图，以4 8 为x 轴，4 8 的中垂线为y 轴建系，由题可知8 （ 1 8. 51 ,0 ） , C（ 0 ,7 . 2） , 设圆心坐标为（ 0 为） ，圆的方程为犬+ （ y -b） 2 =产1 8. 5『+/='将 点 8, C代入可得02( 7 . 2— 3 ~ = /，解得6 名-20 . 1 9r2 « 7 50 . 21 因此圆拱桥的拱所在的圆的标准方程为：X2 +（ y + 20.19）2 =750.21.培优第三阶——培优拔尖练1. （ 2021•江苏•高二专题练习）已知圆O: £ + 丫 2= 9与x 轴交于点A、B ,过圆上动点〃（ M不与A 、B重合） 作圆。 的切线/ ,过点A 、8 分别作x 轴的垂线， 与切线/ 分别交于点C,直线C 8与 AD交于点Q, 关于M 的对称点为尸，则点P 的轨迹方程为【 答案］更= i（ 0）9 81【 分析】相关点法求轨迹方程：设尸（ x,y） , 先根据条件，求出C, 两点的坐标，再联立直 线 和 8C 求出交点根据产，两点关于M 对称，确定用x , ＞表示点M 的坐标,再由点” 在圆上，列方程整理即可.依题意作图,有A（ T O ） , 8 （ 3,0） , 设〃（ 气,几卜为 HO） , P （ x,y） .过 点 " （ % 几） 的圆f + V = 9 的切线/ 的方程为x0x + yoy = 9,9 - 3 % 0y -0 = ———69 + 3x0所以联立"V + %2=9《 周•又点P （ x y ） , Q、 ， 矍） 关于点材（ 匹， 儿） 对称，所以，(x+3),0 卜 = % ，-( 尸 3) ,解得卜= 当 ，所以点X = %, % = X,3 ，即《 2 ,y=2y0 又点材( % ,几) 在圆V + y 2 = 9 上，所以/ 2+ % 2 = 9 ,% ) 二苍 2 2把1 2代入整理得， .+宅 =1 ,又 y = ? % # 0 , 所以点尸的轨迹方程] +芸 =1 ( " 0 ) .% = § > 9 81 2 9 81故答案为：q_+ £ j_= i( y 二0 ) ，2. ( 20 21 •广东•湛江市第四中学高二期 中 ) 过 点 P ( x ,y ) 作圆弓： / + 丁 = 1 与圆。 2心 - 2) 2+ ( 丫-2) 2 = 1 的切线,切点分别为人、 8,若| 科= 帜8],则1 2 +、 2的 最 小 值 为 ( )A . - Jl B . 2 C . 2& D . 8【 答案】B【 解析】首先根据| 阳 = | 阳 ，圆G与G 的半径相等， 「 AG，P B G为直角三角形，得到| p c J = | P G | ，进而得到点P段GG的垂直平分线上；然后求出此平分线表达式，得到点产的只含有x的坐标，代入f + y, 得到二次函数，求其最小值即可.【 详解】解：如图所示，由圆的切线的性质得GA，PA，G B_L/W,在 氏P A G，放 以 叫 中有归4『= | P C 『T | P 网2 = | P G 「 - 1 ,由题知| 网 = | 因 . . -. | P CI| = | P C2| ， 所以点尸段c ,c2的垂直平分线上；由题知G ( 0.0) ， G ( 2 ,2 ) ,所以C1与c ?的中点Q的坐标为( I /) ，G与G 所在直线的斜率为,2 -0 ,K . =----= 1 ,'2 -0p ， Q所在直线4 的斜率为& = F = -1, • ••直线4 的方程为y = T X( X- 1) + 1,即y = -X+ 2 ,点尸( x ,y ) 在 y = - x + 2 , 所以点p的坐标满足y = - x + 2 , 所以X? + 丁 = x2 +( -% + 2 )2 = 2x2 -4x +4 = 2 ( x -l )2 + 2 > 2 ,故选：B .3. ( 2 02 1•北京铁路二中高二期中) 已知圆C 的圆心坐标为C( 3 ,0) ,且该圆经过点40,4) .( 1) 求圆C 的标准方程；( 2 ) 若点B也在圆C 上，且弦A 8 长为8 , 求直线4 5 的方程；( 3 ) 直线/交圆C 于 M , N 两点，若直线40,四 的斜率之和为0 , 求直线/的斜率. 【 答案】⑴ " 一 3) 2 + 9 = 2 57 3⑵ 当攵不存在时，直线AB的方程为x = 0 ；当女存在时，y = -7 Tx+ 4(3)-二24 4【 分析】( 1 ) 根据圆C 的圆心坐标设圆的方程并将经过的点A代入求出半径即可；( 2 ) 根据已知的A 点坐标设AB方程，直线方程与圆方程联立求解，再根据韦达定理和弦长公式求解；( 3 ) 根据已知的A 点坐标设AM方程，联立4 0 方程和圆方程，再根据韦达定理求出“ 点的坐标，根据题干中AM,4N的斜率关系和A 点坐标设AN方程，和求M 点坐标一样求出N坐标，最后根据斜率定义求出.⑴因为圆C 的圆心坐标为C(3,0), 设圆C 为( X- 3)一 + V = / ，又因为该圆经过点A(0,4 ) , 将点A代入，则( 0-3)2+4?= / ，解得r= 5.所以圆C 的标准方程为(x -3 ) 2+ V =25.⑵ 当 无不存在时，根据题意， 此时％ = 0 , 代入圆c 方程，( ° -3)2+ r =2 5, 解得尸±4,则A 3两点坐标为A( °， 4) , W O T ) ,显 然 陷 =8故此时直线A B 的方程为x = 0 .当A:存在时，根据题意，弦AB过点A , 设直线A 3的方程为丫 =依 +4,将 AB的方程和圆C 的方程联立求解，得(1 + k-)?x2 (8k- 6)x=06- 8Z 八 6- 8k则与 + 4 = 市 三 ， 4 = ° , xB= -^ -p -所以弦长|= \l(xA- xB^ + (yA- yB)-= " 4 - 4 ) ， + 9 ? 4 4)- ( &4) ,=~J1+ 廿 就 xfi|= 5/1+ k2 2yl(xA_ xBy - 4xAxfi1 8 k 2= J1+ 4 ? ,02 = 8 = (l+ A?)'• 菁 岑 2 8解得上=-4.则直线AB的方程为产 - 1x+4.24综上所述：当及不存在时，直线AB的方程为x = 0 ；当" 存在时，＞ = - 或7》 + 4.(3)设直线AM 的方程为丫 =履 +4 , 将 AM 的方程和圆C 的方程联立求解，得(1+ 公) ?d (8k- 6)x= 06- 8& A ni, 6- 8k , 6- 8k , - 4公 +6%+42 0 ' 则再, % = / 4= i+ y则〃的坐标为6-8% -4%2+6& + 4、X + k1 ' \ + k2 ,；直线4 / 4V 的斜率之和为0 , 则直线A N 的斜率为-k , 设 AN 为y = ・ kx+ 4将 A N 的方程和圆C 的方程联立求解，得(1+ k ) x2 彼 + 6)x= 06+ 8k n 6+8A , 6+ Sk , - 4k2- 6k+ 434 = 由'4 = ° ' 则4 = 国'” …碎4= . A八 ， ， - 、 ， ( 6 + 8% - 4k?-6k + 4 ). , yM - yN 3 3N 的坐标为-~~-y,----------2- - - - •卜 \网 ~ = ~~，同线/的斜率为一二.11 + K 1 + % - ) xM - xN 4 44. (2022•全国•高二课时练习) 知圆O :Y + y 2 = 4 ,点 p 是直线/ ： x = 4 上的动点.( 1)若从点尸到圆。 的切线长为2 6 ，求点P 的坐标以及两条切线所夹的劣弧长; ( 2 )若点A(— 2,0), 8 (2 ,0 ),直线R4, PB与圆的另一交点分别为M , N , 求证：直线M N经过定点1,0).47r【 答案】(1 )点尸的坐标为(4,0), y : ( 2 )证明见解析.【 分析】(1 )设两切点分别为C, D , 由归0)2= |02+|尸叶可求；(2 )表示直线 抬 的 方程，与圆方程联立，表示出M坐标，同理可得N的坐标，即可求出.【 详解】(1 )依题意，设P(4 , f ) .设两切点分别为C ,则O CLPC, O D L P D .由题意可知 =|OC「 +|PC「 ，即4 '+产 =22 +(2岔y ,解得f = 0 ,所以点P的坐标为(4,0).在RtZkPOC中，可求得NPOC = 60 ，所以NDOC = 120 ，所以所求两条切线所夹的劣弧长( 2 )设N & M，尸(4 " ) .依题意，可得直线 % 的 方程为y = ；(x + 2),由.) , = %" + 2),得( 产 + 36)/ + 4A+ 4 / —144 = 0 .因为直线必 经过点 A(-2,0), M (%, y ) ,x2 + y2 = 4所以一2, 4是上述方程的两个根，则以为 [4[/ 一 144 ，即%=7军7 ―工?/2，/+ 3 6 产+36tt ( 12- I t1 \ 24r代入百.线方程y = ：( x + 2 ) ,得^- — + 2 = 「7：同理，可得直线班的方程为6o I f + 36 t + 3o由.y = ] ( x - 2),得(* + 4卜2—4 /X+45-16 = 0 . 因为直线必经过点B(2,0), N(x2M ,x2 + y2 =4-所以2 ,々是上述方程的两个根，贝112々 = 支 卷 ，即吃 = 竺 ? ，f f (2产 _Q 、 _Qf代入直线方程y = ] ( x - 2),得力 = ； 尢；一2 = 谓. 若丹 =1，则产= 1 2 ,此时2 r-8 ,工2 = - 2 T = 1，'r+ 4显然M , N在直线x = l上，所以直线M7V经过定点Q(l, 0 ) .若x尸1 ,则尸/1 2，々 *1,由匕y - 0 —+36x -1 72— 2f2 ? -1 27 7 3 ?- 1所以M，Q , N三点共线， 即 直 线 经 过 定 点 。 1,0).综上所述， 直线M N经过定点1,0). 5. (2021・ 全国•高二专题练习) 已知点4 4 ,0 )和B (4 ,4 ),圆C与圆( x - lp + () ，+ 2)? = 4关于直线 2x-4y-5 = 0 对称.⑴求圆C的方程；⑵点尸是圆C上任意一点， 在x轴上求出一点M ( 异于点A )使得点尸到点A与例的距离之比I铸PAI 为 定值，并求.| 尸8|. +步1尸. .川的最小值.【 答案】⑴f+ V = 4 (2 )M为(1 ,0 ),最小值为5【 分析】(1)设圆C的圆心为C(a ,b ),由题意可得关于“，b的方程组，解得“，的值，则圆C的方程可求：, ■ > I PA I J -8% + 20(2)设点M " ，0)(w*4), P(x0, %), 则有 + % - = 4 ,由两77= / 2 为定值，可I 产 M | J -2 叫) + 4 + "_o 20 1 ।得 丁 二 ^ ~7 ,解出阳， 得到M坐标， 再由IPBI+率PA|=|P8| + |PM|.」M 5|， 可得| 尸例+大尸川- 2t n 4 + " 2 2的最小值.论+ 2 1 1”1 2⑴设圆C的 圆 心 为 ㈤ ，由题意可得，［22 , 解得a=b = °. ，圆C的方程为一 + 丁 = 4 ； __________\PA\ _ {(J - 4)2 + _ 正8 / - 2。 2)设点，0 )0 " 4), P(xQ , % ) ， 则 V + 为2 = 4 । 0 ” । 7(xo - , n)2 + V J-2叫 +4 + ",I必I। PM ।为定值，二-8x( )+ 2()是-2/ 叫) + 4 + 〃/ 的倍数关系，且对任意的X€ f-2 , 2］成立，••・ 三片石？, 解 得 加=1或加= 4 (舍去…MQ, ) ，此 时 茜=2为定值,A | PB\+^ \PA\=\ PB\ + \PM\. . \MB\ ,当且仅当8、M、尸三点共线时，I P8|+g|尸川的最小值为 | MB |= 7(4-1)2+(4-0)2 = 5 . 6. (2021・ 四川省绵阳南山中学高二阶段练习) 已知圆0 ： d + y2= 4与x 轴的负半轴交于点P ,过点1,0) 且不与坐标轴重合的直线与圆交于A , 8 两点.( 1 ) 设直线小, 1r a 的斜率分别是占，k2,试问尢•& 是否为定值？若是定值， 求出该定值，若不是定值，请说明理由.( 2 ) 延长尸A , 与直线X = 4相交于点R , 证明：△PBR的外接圆必过除P 点之外的另一个定点，并求出该点坐标.【 答案】( 1)是定值，定值为- g ; ( 2 ) 证明见解析，定 点 ( 4, 0 ) .【 分析】( 1 ) 设 出 直 线 将 其 代 入 圆 的 方 程 并 化 简 ，进而结合根与系数的关系和坐标公式求得答案；( 2 )根据题意， 设出直线用的方程， 进而求出点R 及线段 网 的 中垂线方程， 再求出线段PB的中垂线方程，然后求出-PQR的外接圆圆心，写出圆的方程，进而解得答案.【 详解】 ( 1 )设直线AB： x = my + l,将其代入方程/ +产 = 4 有：(W + l)y?+ 2加 y — 3 = 0 ,显然△> ( ) .设«(x,,y2) , 由根与系数的关系：乂 + 必 = 二 ^ 7，%必=^^m +1 t n ~ +1所以4 •葭二— ——退一二7- - - -等 - - - - -； =—- - - - - - 笠 - - - - -； —,- 玉+ 2 x2 +2 (m y+3)(“ ％+3) " X % +3机( X + 必) + 9— 3所以心 心 = - - - - - -a . ——'化简即得：占 出 = - 2 恒为定值.疗 . 0+ 3力学+ 9 - 3n r +1 m +1( 2 ) 设直线P 4 ： y = K (x + 2 ),它与直线x=4的交点为R( 4,6%J.可求得线 段 网 的中垂线方程为：y = - ；(x -i) + 3K.K\乂线段PB的中垂线斜率为一且必经过圆心。 故其中垂线方程为：=k2 k2y = _ ；(x T ) + 3 勺由 八 - g x ，解得， PQR的外接圆圆心为(1,3人 ) .P Q R的外接圆方程为(x-+ (y - 3匕/= 然； + 9 . 即V + V _ 2x_ 6勺 y — 8 = 0 .令 y = 0 得x = -2 或x = 4 , 即知该圆必过定点( 4, 0 ) .7. (2020•江苏・ 苏州大学附属中学高二开学考试) 已知圆O :V + y 2 = l ,圆 O i : ( x - 2 ) 2 + ( y — 3 ) 2 = l过 | 作圆的切线, 切点为T ( T在第二象限) .( 2 )已知点P ( 4〃 ) ，过P点分别作两圆切线，若切线长相等，求 力关系;( 3 )是 否 存 在 定 点 使 过 点M有无数对相互垂直的直线4 , 4满足《且它们分别被圆0、圆 ， 所截得的弦长相等？若存在，求 出 所 有 的 点 若 不 存 在 ，请说明理由.【 答案】⑴ ( 2 ) 4 4 + 6 5- 1 3 = 0 ： ( 3 ) M存在且其坐标为佟?| 或者1 3 1 2 2)【 分析】( 1 )连接。 利用放A o a r可求N O ？的正弦值.( 2 )利用直线与圆相切求出过产且与两圆相切的切线长，整理后可得所求的a力关系式.( 3 )设4的斜率为左且AKO ,利用4、6分别被圆0、圆 ।所截得的弦长相等且两圆半径相等得到| 〃- 而 | = | 2- 机+ ( 3- 〃冈对无穷多个人 恒成立，整理后可得关于犯〃的方程组，从而可求M的坐标.【 详解】( 1 )连接相切于T,故「，印 \ 又| 《| = 疹 丁 = 岳，在mAO Q J 中，| 4= 1 ,故s i n / o q r = 7 ^ = *.( 2 )因为过P ( a , b )作两圆的切线且切线长相等，故耳 -2 ) 2 + e - 3) 2一1 = " ， + /- 1 ,整理得到4 〃+ 2 - 13 = 0,故〃力的关系为4 a + & >— 13 = 0.( 3)设 4 的斜率为左 且 AHO ,则 4 :丘一y + "- h 〃 = O , l2:x+k y- k n - m = O,因为它们分别被圆 | 所截得的弦长相等且两圆半径相等，所以到直线4的距离等于।到直线4的距离，故4穹 = 邑 岑 = 二 网 即I"-珈 | = | 2- 机+ ( 3-〃冈对无穷多个女恒成立, 所以一 （3 -九 ）2卜2 -2 [m〃 +（2 -m ）（3 -〃 ） ] % + 〃2 -（2- 加『= 0对无穷多个女恒成立.nrmn-（3 -« ）2=0+（2 -〃 。 （3 -〃 ） = 0 ,解得《5m = ;2或者，n = —21m = ——75 .故M存在且其坐标为n = —25212或者8. （ 2020•安徽省太和第一中学高二期中）已知圆M的圆心历在x轴上，半径为1 ,直线/：故，rr -(2-?n)' = 04 1y = § x - 5被圆M所截的弦长为G，且圆心M在直线/的下方.（1）求圆M的方程;（ 2）设A（ 0 /） ,B（ 0,r + 6） （ -5VrV-2） ,若圆M是AABC的内切圆，求△ABC的面积S的范围.27 1 5【 答案】(1) (x -l)2 + / =l； (2) [ y , —].【 分析】（1）设圆心M（ a, 0） ,利用弦长可求出即得圆的方程;（ 2）设直线AC的方程为丫=h计, , 直线8 c的方程为产小什什6 ,联立方程可求出C的横坐标’根据条件可求出匕2l-(z + 6)22(/+ 6),则可将AABC的面枳用， 表示，即可求出范围 .【 详解】（1）设圆心M（ a, 0） ,由已知得M到直线/： 8x-6y-3=0的距离为，2_（曰 ）=1|8 一3| 1「 • , 8口/ = / ,又 在 直 线 ） 的卜方,・ ・ ・8〃-3>0,・ ・ ・8〃-3=5, 〃 二 】 , 故圆的方程为（ 元 -1） 2+32=1.（2）设AC的 斜 率 为 如5 c的斜率为匕 则直线AC的方程为广勿x + f,直线8C的方程为产 女2工+ 什6,由方程组y = k.x + t 6\ . 久，得C点的横坐标为左 二1一二，・ ・ ・|4阴 二 什6"=6,y — k?x+ f + 6 K、— K?：.s = -6.6 =3「\k.+i\由于圆M与AC相切，所以1 = 力^.1 - t24 =亍,同理网1- 0 + 6)22Q + 6)3(尸 + & + 1)- - - - - - - - - -， .♦ Q -产+6f + 1— 5 W r W — 2, — 2 W 1 + 3 < 1 ,/ +6127 15，一8领产+6，+ 1 — 4, /. sE [—y- ] .9. （ 2022.全国.高二课时练习）如图，某海面上有O, A, B三个小岛（ 面积大小忽略不计） , A岛在。 岛的北偏东4 5 方向距0 岛4 07 2 千米处，8岛在岛的正东方向距岛 2 0千米处 . 以 为坐标原点，O的正东方向为x 轴的正方向，1 千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系.圆C经过A , B三点.⑴ 求 圆 C的方程；⑵ 若 圆 C区域内有未知暗礁， 现有一船岛的南偏西30 方向距岛 4 0千米处， 正沿着北偏东4 5 方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？【 答案】⑴ / + 丁 - 20 氏-6 0 ) ， = 0 ；( 2) 该船有触礁的危险.【 分析】( 1 ) 根据给定条件，求出点A , 8的坐标，设出圆C的一般方程，利用待定系数法求解作答.( 2 ) 求出船的航线所在直线的方程，再利用点到直线距离公式计算判断作答.( 1 )依题意，因 A岛在岛的北偏东4 5 方向距岛4 0 底 千 米处，则点A ( 4 0 ,4 0 ) ,乂 8岛在岛的正东方向距岛 20 千米处，则8 ( 20 ,0 ) ,设过A , B三点的圆C的方程为* 2 + / + 6+ 6+ 尸= 0 ,F = 0 ］ -20贝 I卜 4 02 + 4 02 + 4 0 D + 4 0 £ + F = 0, 解得， E = -6 0 ,202 + 2 0 D + F = 0 ［F = 0所以圆C的方程为x 2+y 2-20 x -6 0 y = 0 .( 2)因船。 在 岛的南偏西3 0 方向距岛 4 0 千米处，则0 ( -20 -20 7 3 ) ,而船沿着北偏东4 5 方向行驶，则船O的航线所在直线/ 的斜率为1 , 直线/ 的方程为x - ) ， + 20 - 2 0 6 = 0 ,由 ( 1 ) 知，圆 C的圆心为C ( 1 0 ,3 0 ) ,半径r = 1 0 厢，,入 _ 1 1 0 -3 0 +20 -20 ^ 1 「 ,则圆心C 到直线/ 的距离［=I----------------1 = 1 0 6 ，则“ < " ，&所以该船有触礁的危险.结束 。
