直线与圆典型例题(教案).doc

类型一：圆的方程【例1】求过两点、且圆心在直线上的圆的标准方程并判断点与圆的关系．【解】（待定系数法）设圆的标准方程为．∵圆心在上，故．∴圆的方程为．又∵该圆过、两点．∴ 解之得：，．所以所求圆的方程为．又点到圆心的距离为．∴点在圆外．【变式】求经过两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为4的圆的方程.【解】设所求圆的方程为. 当时，，则； 当时，，则.则， 解得. ∴ 圆的方程为.类型二：距离问题【例2】 圆上到直线的距离为1的点有几个？【解】圆的圆心为，半径．设圆心到直线的距离为，则．如图，在圆心同侧，与直线平行且距离为1的直线与圆有两个交点又．∴与直线平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意．∴符合题意的点共有3个．【例2】已知点和,圆,当圆与线段没有公共点时,求的取值范围【解】∵过点的直线方程为在作垂直于点，连结由图象得：或时，线段与圆无交点（1）当时，由点到直线的距离公式得：.（2）当时, 或 综上知，和或，且【变式1】圆上到直线的距离为的点共有（ C ）．（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个【解】把化为，圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，所以在圆上共有三个点到直线的距离等于。

变式2】已知圆：与直线：1）圆上到直线的距离为1的点有4个，求的取值范围；（2）圆上到直线的距离为1的点有2个，求的取值范围；（3）圆上到直线的距离为1的点有0个，求的取值范围变式3】过点作直线，当斜率为何值时，直线与圆有公共点解】设直线的方程为，即根据，有 整理得，解得．类型三：切线问题【例3】已知圆，求过点与圆相切的切线．【解】（1）直线斜率不存在时，易求另一条切线为（2）直线斜率存在时∵点不在圆上 ∴切线的直线方程可设为根据，有 解得：所以即 综上，所求直线为或GOBNMyAx图3CA’【例4】自点发出的光线射到轴上，被轴反射，反射光线所在的直线与圆相切（1）求光线和反射光线所在的直线方程．（2）光线自到切点所经过的路程．【解】点的对称点的坐标为，设过的圆的切线方程为根据，即求出圆的切线的斜率为或反射光线方程为或入射光线方程为或光路的距离为，可由勾股定理求得．【变式1】 求半径为4，与圆相切，且和直线相切的圆的方程．【解】设所求圆的方程为圆．圆与直线相切，且半径为4，则圆心的坐标为或．又已知圆的圆心的坐标为，半径为3．若两圆相切，则或．（1）当时，，或（无解），故可得∴所求圆方程为，或．（2）当时，，或（无解），故∴所求圆的方程为，或．【变式2】求经过点，且与直线和都相切的圆的方程．【解】∵圆和直线与相切 ∴圆心在这两条直线的交角平分线上又圆心到两直线和的距离相等 ．∴两直线交角的平分线方程是或．又∵圆过点 ∴圆心只能在直线上．设圆心，∵到直线的距离等于 ∴．化简整理得． 解得：或∴圆心是，半径为或圆心是，半径为．∴所求圆的方程为或．类型四：综合问题【例5】 已知圆与直线相交于、两点，为原点，且，求实数的值．【解】设点、的坐标为、．由，得，即，也即：．　　　①又、是方程组的实数解即、是方程　　②的两个根．∴，．　③又、在直线上，∴．将③代入，得．　　④将③、④代入①，解得，代入方程②，检验成立，∴．【变式】 已知圆的方程为，圆内有定点，圆周上有两个动点、，使，求矩形的顶点的轨迹方程．【解法一】如图，在矩形中，连结，交于显然，在直角三角形中，若设，则．由，即，也即这就是所求的轨迹方程．【解法二】设、、，则，．又，即 ①又与的中点重合，故，，即　②①＋②，有．这就是所求的轨迹方程．【解法三】设、、由于为矩形，故与的中点重合，即有，　　　①，　　　②又由有　　③联立①、②、③消去、，即可得点的轨迹方程为．【例6】已知圆：，设点是直线：上的两点，它们的横坐标分别是，点段上，过点作圆的切线，切点为．（1）若，，求直线的方程；（2）经过三点的圆的圆心是，求线段长的最小值．【解】（1）设 解得或（舍去）． 由题意知切线的斜率存在，设斜率为 所以直的方程为，即 直线与圆相切，，解得或 直线的方程是或（2）设 与圆相切于点 经过三点的圆的圆心是线段的中点．的坐标是设当，即时，当，即时，当，即时则【变式】在坐标系中，已知圆和圆.（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；（2）设为平面上的点，满足：存在过点的无穷多对互相垂的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标【解】（1）由于直线与圆不相交，所以直线l的斜率存在,设直线的方程为, 圆心到直线的距离为直线被圆截得的弦长为, 所以 , 即 ∴或 所求直线的方程为或（2）设点，直线，圆、圆的半径相等，且分别被直线、截得的弦长相等圆心到直线的距离与圆心到直线的距离相等，则 , 或 比较系数得 或 解得 或 ∴或。