二次函数与相似三角形综合.docx

第10讲：二次函数中因动点产生的相似三角形问题l 二次函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径：① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析三角形的边和角的特点，进而得出三角形是否为特殊三角形根据未知三角形中边与三角形的可能对应边分类讨论② 或利用三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角比、对称、旋转等知识来推导边的大小 ③ 假设两个三角形的各边均未给出，那么应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解例题1：抛物线的顶点为A〔2，1〕，且经过原点O，与x轴的另一个交点为B〔1〕求抛物线的解析式；〔用顶点式求得抛物线的解析式为〕〔2〕连接OA、AB，如图2，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？假设存在，求出P点的坐标；假设不存在，说明理由例1题图图1图2解：如图2，由抛物线的对称性可知:AO＝AB,∠AOB＝∠ABO.图2假设△BOP与△AOB相似,必须有∠POB＝∠BOA＝∠BPO 设OP交抛物线的对称轴于A′点,显然A′(2,－1)∴直线OP的解析式为由,得.∴P(6,－3)过P作PE⊥x轴,在Rt△BEP中,BE＝2,PE＝3,∴PB＝≠4.∴PB≠OB,∴∠BOP≠∠BPO,∴△PBO与△BAO不相似, 同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点.所以在该抛物线上不存在点P,使得△BOP与△AOB相似. 例题2：如下图，抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C．〔1〕求A、B、C三点的坐标．〔2〕过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．CBAPy〔3〕在轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似．假设存在，请求出M点的坐标；否那么，请说明理由．解：〔1〕令，得 解得令，得∴ A B C〔2〕∵OA=OB=OC= ∴BAC=ACO=BCO=∵AP∥CB， ∴PAB=过点P作PE轴于E，那么APE为等腰直角三角形令OE=，那么PE= ∴P∵点P在抛物线上 ∴解得，〔不合题意，舍去〕∴PE=∴四边形ACBP的面积=AB•OC+AB•PE=(3)． 假设存在∵PAB=BAC = ∴PAACGM图2CByPA∵MG轴于点G， ∴MGA=PAC =在Rt△AOC中，OA=OC= ∴AC=在Rt△PAE中，AE=PE= ∴AP= 设M点的横坐标为，那么M ①点M在轴左侧时，那么(ⅰ) 当AMG PCA时，有=GM图3CByPA∵AG=，MG=即解得〔舍去〕〔舍去〕(ⅱ) 当MAG PCA时有=即 解得：〔舍去〕∴M② 点M在轴右侧时，那么(ⅰ) 当AMG PCA时有=∵AG=，MG=∴ 解得〔舍去〕 ∴M(ⅱ) 当MAGPCA时有=即 解得：〔舍去〕∴M∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似M点的坐标为，，练习：如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C， D为OC的中点，直线AD交抛物线于点E〔2，6〕，且△ABE与△ABC的面积之比为3∶2．〔1〕求直线AD和抛物线的解析式；〔2〕抛物线的对称轴与轴相交于点F，点Q为直线AD上一点，且△ABQ与△ADF相似，求出点Q点的坐标．【随堂练】 ：_______班级：_________1．抛物线的顶点在y轴上，那么m的值等于．2.如图，二次函数y=的图象与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC． (1)点A的坐标为_______ ，点C的坐标为_______ ； (2)线段AC上是否存在点E，使得△EDC与△AOC相似?假设存在，求出所有符合条件的点E的坐标；假设不存在，请说明理由；3.抛物线的图象如下图，该抛物线与轴交于、两点，顶点为C (1,4)，〔1〕根据图象所给信息，求出抛物线的解析式；〔2〕求直线与轴交点的坐标；〔3〕点是直线上的一点，且与相似，求点的坐标. / 。