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[研究生入学考试题库]考研数学一分类模拟题195(一)选择题问题:1. 设2n阶行列式D的某一列元素及其余子式都等于a，则D=______A.0B.a2C.-a2D.na2答案:A[解析] 按这一列展开，D=a1jA1j+a2jA2j+…+a2njA2nj=aA1j+aA2j+…+aA2nj，并注意到这一列元素的代数余子式中有n个为a，n个为-a，从而行列式的值为零，故选A问题:2. 四阶行列式 的值等于______ A.a1a2a3a4-b1b2b3b4B.a1a3a3a4+b1b2b3b4C.(a1a2-b1b2)(a3a1-b3b4)D.(a2a3-b2b3)(a1a4-b1b4)答案:D[解析] 方法一：将此行列式按第一行展开， 故选D 方法二：交换该行列式的第二行与第四行，再将第二列与第四列互换，即 由拉普拉斯展开定理可知，原式=(a1a4-b1b4)(a2a3-b2b3)，故选D 本题要计算四阶行列式，通过观察行列式中元素的特点可以发现行列式中零比较多，所以本题有两种求解方法：第一种是利用行列式按行(列)展开定理；第二种是利用拉普拉斯展开定理。

问题:3. 设，且|A|=m，则|B|=______A.mB.-8mC.2mD.-2m答案:D[解析] 方法一： 故选D 方法二：将行列式|A|的第一列加到第二列上，再将第二、三列互换，之后第一列乘以2就可以得到行列式|B|由行列式的性质知|B|=-2|A|=-2m，故选D 问题:4. α1，α2，α3，β1，β2均为四维列向量，A=(α1，α2，α3，β1)=B=(α3，α1，α2，β2)，且|A|=1，|B|=2，则|A+B|=______A.9B.6C.3D.1答案:B[解析] 方法一：由矩阵加法公式，得A+B=(α1+α3，α2+α1，α3+α2，β1+β2)，结合行列式的性质有 |A+B|=|α1+α3，α2+α1，α3+α2，β1+β2| =|2(α1+α2+α3)，α2+α1，α3+α2，β1+β2| =2|α1+α2+α3，α2+α1，α3+α2，β1+β2| =2|α1+α2+α3，-α3，-α1，β1+β2| =2|α2，-α3，-α1，β1+β2| =2|α1，α2，α3，β1+β2| =2(|A|+|B|)=6。

方法二： 问题:5. 设矩阵，矩阵B满足AB+B+A+2E=O，则|B+E|=______ A．96 B．6 C． D． 答案:C[考点] 本题考查矩阵方程的求解及行列式的计算[解析] 化简矩阵方程，构造B+E，用因式分解法，则有 A(B+E)+(B+E)=-E，即(A+E)(B+E)=-E 两边取行列式，由行列式乘法公式得 |A+E|·|B+E|=1， 可对题干给出的矩阵方程进行化简，使其最终化简为关于B+E的等式，然后再由行列式的性质得出最终结果 问题:6. 设A，B是n阶矩阵，则下列结论正确的是______ A． B． C． D． 答案:C[解析] 取，则AB=O，但A≠O，B≠O，A项不成立 取，B项不成立 取，D项不成立 |AB|=|A||B|=0，故有|A|=0或|B|=0，反之亦成立，故选C 问题:7. 设A和B都是n阶矩阵，则必有______A.|A+B|=|A|+|B|B.AB=BAC.|AB|=|BA|D.(A+B)-1=A-1+B-1答案:C[解析] 因为|AB|=|A||B|=|B||A|=|BA|，所以C项正确。

取B=-A，则|A+B|=0，而|A|+|B|不一定为零，故A项错误 由矩阵乘法不满足交换律知，B项不正确 因(A+B)(A-1+B-1)≠E，故D项也不正确 故选C 问题:8. 设A=E-2ξξT，其中ξ=(x1，x2，…，xn)T，且有ξTξ=1，则 ①A是对称矩阵； ②A2是单位矩阵； ③A是正交矩阵； ④A是可逆矩阵 上述结论中，正确的个数是______ A.1B.2C.3D.4答案:D[解析] AT=(E-2ξξT)T-(2ξξT)T=E-2ξξT=A，①成立 A2=(E-2ξξT)(E-2ξξT)=E-4ξξT+4ξξTξξT=E-4ξξT+4ξ(ξTξ)T=E，②成立 由①、②，得A2=AAT=E，故A是正交矩阵，③成立 由③知正交矩阵是可逆矩阵，且A-1=AT，④成立 故选D (二)填空题问题:1. 设三阶行列式D3的第二行元素分别为1，-2，3，对应的代数余子式分别为-3，2，1，则D2=______答案:-4[解析] 根据行列式的求解方法：行列式的值等于它的任一行元素与其相应的代数余子式乘积之和，故 D3=a21A21+a22A22+a23A23+=1×(-3)+(-2)×2+3×1=-4。

问题:2. 已知三阶行列式 答案:[解析] 结合行列式的性质：行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面，即 所以 问题:3. 行列式 答案:-2(x3+y3)[解析] 将后两列加到第一列上 问题:4. 设n阶矩阵，则|A|=______答案:-2(n-2)[解析] 把第二行所有元素乘以-1加到其他各行所对应的元素上，再将第一行所有元素乘以2加到第二行相应的元素上，可得 问题:5. 行列式 答案:120[解析] 将行列式第四行的各元素加到第一行相应元素上后，提出公因子10，然互将第四行逐行换至第二行，即 问题:6. 在xOy平面上，平面曲线方程，则平面曲线与x轴的交点坐标是______答案:(2，0)，(3，0)[解析] 曲线与x轴(即y=0)的交点为方程组的解，行列式为范德蒙德行列式，即有 解得x=2或3，故曲线与x轴的交点坐标为(2，0)，(3，0) 问题:7. 设A=(α1，α2，α3)是三阶矩阵，且|A|=4若B=(α1-3α2+2α3，α2-2α3，2α2+α3)，则|B|=______。

答案:20[解析] 方法一：利用行列式的性质 |B|=|α1-3α2+2α3，α2-2α3，5α3|=5|α1-3α2+2α3，α2-2α3，α3| =5|α1-3α2，α2，α3|=5|α1，α2，α3|=5|A|=20 方法二：，所以 ①如果题目中的矩阵是按列分块的，计算其行列式时一般要用到的是行列式的性质，常用的性质包括；将行列式的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上，行列式的值不变；将行列式的某一行(列)乘以一个常数k后，行列式的值变为原来的k倍；将行列式的任意两行(列)互换位置后，行列式改变符号 ②本题的方法二中用到的矩阵按列分块的运算性质很常用设A=(α1，α2，…，αn)，假设B=(bij)为n×m矩阵，则 =(b11α1+b21α2+…+bn1αn，b12α1+b22α2+…+bn2αn，…，b1mα1+b2mα2+…+bnmαn) 对上述等式要从两个角度去把握：一方面，要会做这样的运算；另一方面，看到形如(b11α1+b21α2+…+bn1αn，b12α1+b22α2+…+bn2αn，…，b1mα1+b2mα2+…+bnmαn)的矩阵，也要想到用该公式进行变形。

问题:8. 已知A，B，C都是行列式值为2的三阶矩阵，则 答案:[解析] 根据拉普拉斯展开式，得 问题:9. 设A为奇数阶矩阵，且AAT=ATA=E若|A|＞0，则|A-E|=______答案:0[解析] |A-E|=|A-AAT|=|A(E-AT)|=|A|·|E-AT|=|A|·|E-A| 由AAT=ATA=E可知|A|2=1，因为|A|＞0，所以|A|=1，即|A-E|=|E-A| 又A为奇数阶矩阵，所以|E-A|=|-(A-E)|=-|A-E|=-|E-A|，故|A-E|=0 问题:10. 设A，B是三阶矩阵，满足AB=A-B，其中，则|A+E|=______答案:[解析] 由题设，AB=A-B，则(A+E)(E-B)=E，因此 问题:11. 已知A为三阶方阵，A2-A-2E=O，且0＜|A|＜5，|A+2E|=______答案:4[解析] 设A的特征值λi对应的特征向量是xi(xi≠0，i=1，2，3)，则Axi=λxi 由A2-A-2E=O可知，特征向量xi满足(A2-A-2E)xi=0，从而有λi2-λi-2=0，解得λi=-1或λi=2。

再根据|A|=λ1λ2λ3及0＜|A|＜5可得，λ1=λ2=-1，λ3=2 由Axi=λxi可得(A+2E)xi=(λi+2)xi，即A+2E的特征值μi(i=1，2，3)满足μi=λi+2，所以μ1=μ2=1，μ3=4，故|A+2E|=1×1×4=4 问题:12. 设三阶方阵A与B相似，且|2E+A|=0已知λ1=1，λ2=-1是方阵B的两个特征值，则|A+2AB|=______答案:18[解析] 由|2E+A|=0可得|-2E-A|=0，即λ=-2是A的一个特征值 因为A与B相似，且由相似矩阵具有相同的特征值可知，λ1=1，λ2=-1也是A的特征值，所以A，B的特征值均为λ1=1，λ2=1，λ3=-2，则E+2B的三个特征值分别为3，-1，-3从而可得|A|=λ1λ2λ3=2，|E+2B|=3×(-1)×(-3)=9，故 |A+2AB|=|A(E+2B)|=|A|·|E+2B|=18 (三)解答题问题:1. 设n阶矩阵 证明：行列式|A|=(n+1)an 答案:解：方法一：数学归纳法 以下用数学归纳法证明Dn=(n+1)an 兰n=1时，D1=2a，结论成立。

当n=2时，，结论成立 假设结论对小于n的情况成立，将Dn按第一行展开，则有 故|A|=(n+1)an 方法二：消元法 问题:2. 证明： 答案:解：本题可利用递推法证明 显然D1=an，根据上面的结论有 左边=xDn+a0=x(xDn-1+a1)+a0=x2Dn-1+xa1+a0=… =xnD1+an-1xn-1+…+a1x+a0=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=右边， 所以命题成立 问题:3. 计算n阶行列式 答案:解： 则将该行列式按第一行展开得 再将上式中后面的n-1阶行列式按照第一列展开得Dn=(α+β)Dn-1-αβDn-2，则 Dn-αDn-1=β(Dn-1-αDn-2)=β2(Dn-。