基本不等式与其应用知识梳理与典型练习试题包括.docx

基本不等式及其应用1．基本不等式a＋b若 a>0,，b>0，则2≥ab，当且仅当时取“＝”．这必定理表达为：两个正数的算术均匀数它们的几何均匀数．注：运用均值不等式求最值时，一定注意以下三点：(1) 各项或各因式均正；（一正）(2) 和或积为定值；（二定）(3)等号建立的条件存在：含变数的各项均相等，获得最值．（三相等）2．常用不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)ababa,b02和ab≥ab它们建立的条件不一样，前者只需求注：不等式a2＋b2≥、2ab2ab都是实数，尔后者要求a、b都是正数.其等价变形：ab≤（ab）2.2(3)ab≤ab2(a，b∈R)．2ba(4) a＋b≥2(a，b同号且不为0)．222(5)aba＋b(a，b∈R).22（6）a2b2ab222ab11a,b0ab(7)abc≤;a,b,c0(8)≥；a,b,c03．利用基本不等式求最大、最小值问题(1) 求最小值：a>0，b>0，当ab为定值时，a＋b，a2＋b2有，即a＋b≥，a2＋ b2≥.(2) 求最大值：a＞0，b＞0，当a＋b为定值时，ab有最大值，即；或a2＋b2为定值时，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即.word范文.a，b∈，且a＋b＝，则a＋b的最小值是设R322( )A.6B.42C.22D.26解：因为2a＞0，2b＞0，由基本不等式得2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝42，3当且仅当a＝b＝2时取等号，应选B.若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为( )1A.2B.1C.2D.42ab，即ab≤1.当且仅当a解：∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥221＝1，b＝2时等号建立.应选A.a和ba＜b，其全程的均匀时速小王从甲地到乙地来回的时速分别为( )为v，则( )A.a＜v＜abB.v＝aba＋ba＋bC.ab＜v＜2D.v＝2解：设甲、乙两地之间的距离为s.sab＜ab∵a＜b，∴v＝＝＝ab.ssa＋b2ab＋abab－a2a2－a22ab又v－a＝a＋b－a＝a＋b＞a＋b＝0，∴v＞a.应选A.(2014·上海)若实数x，y知足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________.解：由xy＝2＋y222，当且仅当x＝±4故得x＝x＋2≥2时等号建立.12x22.填22m，n在直线x＋y＝位于第一象限内的图象上运动，则2m＋2n点()1loglog的最大值是________.m＞，n＞，m＋n＝，解：由条件知，001m＋n21所以mn≤2＝4，1当且仅当m＝n＝2时取等号，word范文.1∴ log2m＋log2n＝log2mn≤log24＝－2，故填－2.种类一利用基本不等式求最值(1) 求函数y＝(x＞－1)的值域.解：∵x＞－1，∴x＋1＞0，令m＝x＋1，则m＞0，且y＝＝m＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当m＝2时取等号，故ymin＝9.又当m→＋∞或m→0时，y→＋∞，故原函数的值域是[9，＋∞).(2)以下不等式必定建立的是( )A.lg>lgx(x>0)B.sinx＋≥2(x≠kπ，k∈Z)C.x2＋1≥2|x|(x∈R)D.12>1(x∈R)1x＋11212解：A中，x＋≥x(x＞0)，当x＝时，x＋＝x.4241B 中，sinx＋sinx≥2(sinx∈(0，1])；1sinx＋sinx≤－2(sinx∈[－1，0)).C中，x2－2|x|＋1＝(|x|－1)2≥0(x∈R).1D中，x2＋1∈(0，1](x∈R).故C必定建立，应选C.点拨：这里(1)是形如f(x)＝ax2＋bx＋cx＋d＞0，都能够x＋d的最值问题，只需分母e将 f(x)转变为f(x)＝a(x＋d)＋x＋d＋h(这里ae＞0；若ae＜0，能够直接利用单一性等方法求最值)，再利用基本不等式求其最值.(2) 切记基本不等式使用条件——一正、二定、三相等，特别注意等号建立条件要存在.t2－4t＋1(1)已知t＞0，则函数f(t)＝的最小值为.tword范文.t＞，∴ft＝t2－4t＋11＝t＋－≥－，解：∵0( )ttt42t＝时，fmin＝－，故填－.当且仅当1()22(2) 已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：(Ⅰ)xy的最小值；(Ⅱ)x＋y的最小值.解：(Ⅰ)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，又x＞0，y＞0，则1＝＋≥2＝，得xy≥64，当且仅当x＝4y，即x＝16，y＝4时等号建立.(Ⅱ)解法一：由2x＋8y－xy＝0，得x＝，∵x＞0，∴y＞2，则 x＋y＝y＋＝(y－2)＋＋10≥18，当且仅当y－2＝，即y＝6，x＝12时等号建立.解法二：由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，则x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当y＝6，x＝12时等号成立 .种类二利用基本不等式求相关参数范围若对于x的不等式(1＋k2)x≤k4＋4的解集是M，则对随意实常数k，总有( )A.2∈M，0∈MB.2?M，0?MC.2∈M，0?MD.2?M，0∈M解法一：求出不等式的解集：(1＋k2)x≤k4＋4?x≤＝(k2＋1)＋－2?x≤＝2－2(当且仅当k2＝－1时取等号).解法二(代入法)：将x＝2，x＝0分别代入不等式中，判断对于k的不等式解集能否为R.应选A.点拨：一般地，对含参的不等式求范围问题往常采纳分别变量转变为恒建立问题，对于“恒建立”的不等式，一般的解题方法是先分别而后求函数的最值.此外，要记着几个常有的相关不等式恒建立的等价命题：(1) a＞f(x)恒建立?a＞f(x)max；(2)a＜f(x)恒建立?a＜f(x)min；(3) a＞f(x)有解?a＞f(x)min；(4)a＜f(x)有解?a＜f(x)max.已知函数f(x)＝ex＋e－x，此中e是自然对数的底数.若对于x的不等式word范文.－ xmf(x)≤e＋m－1在(0，＋∞)上恒建立，务实数m的取值范围.t＝exx＞，则t＞，且m≤－2t－1＝－1对随意t＞令(0)1t－t＋111t－1＋t－1＋1建立.t－）·1∵t－＋1＋≥2（＋＝，11113t－1t－1∴－111，≥－3t －1＋t－1＋1当且仅当t＝2，即x＝ln2时等号建立.1故实数m的取值范围是－∞，－3.种类三利用基本不等式解决实质问题围建一个面积为360m2的矩形场所，要求矩形场所的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其余三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的出入口，如下图，已知旧墙的维修花费为45元/m，新墙的造价为180元 /m，设利用的旧墙的长度为x(单位：元)，修筑此矩形场所围墙的总花费为y(单位：元).(1) 将y表示为x的函数；(2) 试确立x，使修筑此矩形场所围墙的总花费最小，并求出最小总花费.解：(1)如图，设矩形的另一边长为am，则 y＝45x＋180(x－2)＋180·2a＝225x＋360a－360.由已知xa＝，得a＝360，360x所以y＝x＋3602－x≥.225x360(2)x≥，∴x＋3602≥×2＝，(2)∵0225x2225360108003602∴ y＝225x＋x－360≥10440，当且仅当x＝3602，即x＝时等号建立.225x24答：当x＝24m时，修筑围墙的总花费最小，最小总花费是10440元.word范文.如图，为办理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2m的无盖长方体的积淀箱，污水从A孔流入，经积淀后从B孔排出，设箱体的长度为am，高度为bm，已知排出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比.现有制。