1987-1996年全国硕士研究生招生考试试题及答案解析（数学 试卷三）.pdf

1987年全国硕士研究生招生考试试题（试卷N)一、判断题（本题共5小题，每小题2分，满分10分）(I)lim e= oo .x-+O (2) JIT x4sin xdx = 0. -7T (3)若级数Lan与Ib几均发散，则 级数三(an+ b几）必发散n=l n=l n=l (4)假设D是矩阵A的r阶子式，且D0,但含D的一切r + 1阶子式都等于0,那么矩阵A的一切r + 1阶子式都等于0.(5) 连续型随机变量取任何给定实数值的概率均为零二、选择题（本大题共5小题，每小题2分，满分10分）(1)下列函数在其定义域内连续的是（） (B)f (x) = sin x , x0 ,r+l, x 0. 1 c) J x) = xo1 , : : od_ o) J(x) = 厂，X, 0, 0, X = 0. (2)若f(x)在(a,b)内可导且 a X1 X2 b, 则至少存在一点(,使得（(A) J(b) -J(a) = f() (b -a) (a ( b) .(A) J(x) = ln x + sin x.(8)f (b) -/(X 1) = f 1 () (b -X 1) (X 1 b) (C)f(xz) -f(x1)=J()(x2 -x1) (x1 x2). (D)f(X2) -f(a) = f() (X2 -a) (a X2).(3)下列广义积分收敛的是（） (A)OO尸dx.(B)001 dx. +ooX e 1 dx.e xln Xcc)Je x(ln X) (4)设n阶方阵A的秩r(A)= r 0, y =:; 0, 十二、（本题满分8分）假设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱内装30件，其中18件一等品，现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取两个零件（取出的零件均不放回）试求：(1)先取出的零件是一等品的概率p;(2)在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品的条件概率q.（试卷V)一、判断题（本题共5小题，每小题2分，满分10分）(1)【同试卷W第一、(1)题】(2)【同试卷W第一、(2)题】(3)若函数 f(x)在区间(a,b)上严格单增，则对区间(a,b)内任何一点x有f(x) 0. (4)若A为n阶方阵，k 为常数，且IAI和IkA I为A和kA的行列式，则lkAl=klAI .(5)【同试卷W第一、(5)题】二、选择题（本题共5小题，每小题2分，满分10分）(1)【同试卷W第二、(1)题】(2)【同试卷W第二、(2)题】(3)【同试卷N第二、(3)题】(4)【同试卷W第二、(4)题】(5)对千任意两个事件A 和B, 有P(A - B) = () (A)P(A) - P(B).(C) P(A) - P(AB). (B) P (A) - P (B) + P (AB) . (D) P (A) - P (B) - P (A B).3三、计算下列各题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）ln (1 + _!_ (I)求极限lim. X) x-+00 arccot X (2)【同试卷W第三、(2)题】(3)【同试卷W第三、(3)题】(4)计算定积分f产尽气lx.(5)求不定积分fxdx x4 + 2x2 + s四、（本题满分10分）考虑函数y= X2 , 0Xl. 问：(l)t取何值时，右图中阴影部分的面积S1与S2之和S= S1 + S2最小？(2) t取何值时，面积s= s1 + s2最大？五、（本题满分5分）【同试卷W第六题】六、（本题满分8分）。

X 1 100 设某产品的总成本函数为C(x) = 400 + 3x +x2而需求函数为p=其中x为产最（假定等千2扛需求董），p为价格，试求：(1)边际成本；(2)边际收益；(3)边际利润；(4)收益的价格弹性七、（本题满分8分）【同试卷W第八题】八、（本题满分7分）【同试卷W第九题】九、（本题满分6分）【同试卷W第十题】十、（本题满分8分）已知随机变址X的概率分布为PjX =If = 0.2, P凶=2 f = 0. 3 , P j X = 3 f = 0. 5 , 试写出X的分布函数F(x),并求X的数学期望与方差十一、（本题满分8分）【同试卷W第十二题】4 1988年全国硕士研究生招生考试试题（试卷N)一、填空题（本题共4小题，每小题3分，满分12分）(I)设瓜）6占t2dt , -00 X 0和b 0 为常数；价格p是时间t的函数且满足方程dp dt =kD(p) -S(p)(k为正的 常数）假设当t= 0时价格为1, 试求：(I)需求量等于供给量时的均衡价格Pe;(2)价格 函数p(t);(3)极限lim p(t).t一+oo六、（本题满分8分）在曲线y= X2 (X ;:,: 0)上某点A处作一切线，使之与曲线以及x轴所围图形的面积为试求：12 (1)切点A的坐标；(2)过切点A的切线方程；(3)由上述所围平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积七、（本题满分8分）x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 1,巳知线性方程组户+ 3x2 + 6x3 + x4 = 3, 问kl和k2各取何值时，方程组无解？有唯一解？有3x1 - x2 - k1x3 + 15x4 = 3, x1 - 5x2 - 10 x3 + 12x4 = k2. 无穷多解？ 在方程组有无穷多解的情况下，试求出一般解八、（本题满分7分）已知向量组lr1, 正，as(s;:=:2)线性无关设/31=al+正，P2=a2 +正，P. -1=as-l +a.,/J., = a. + a1. 试讨论向阰组 /31,化，且的线性相关性九、（本题满分6分）设A是 3阶方阵，A*是 A的伴随矩阵，A的 行列式I AI=，求行列式I (3A) -l -2A * I的值2 十、（本题满分7分）玻璃杯成箱出售，每箱 20只假设各箱含0,1,2只残次品的概率相应为0.8,0.1和0.1.一顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看4只 ：若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回试求：(1)顾客买下该箱的概率a;(2)在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率3.十一、（本题满分6分）某保险公司多年统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20%, 以X表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数6(1)写出X的概率分布；(2)利用棣莫佛一拉普拉斯定理，求出被盗索赔户不少千14户且不多于30户的概率的近似值附表中(x)是标准正态分布函数X 中(x)50o 0.5 1 1.5 2 2.5 0.692 0.841 0.933 0.977 0.994 3 0.999 十二、（本题满分6分）假设随机变量X在区间(1,2)上服从均匀分布试求随机变量Y=产的概率密度八y).（试卷V)一、（本题满分12分）【同试卷W第一题】二、（本题满分10分）【同试卷W第二题】三、（本题共4小题，每小题4分，满分16分）(I) 求极限lim(1 - x2) tanx. IT (2) 已知u =er, 求aux-+1 2应y(3)【同试卷W第三、(3)题】(4)【同试卷W第三、(4)题】四、（本题满分6分）确定常数a和b,使函数f(x) = 勹+b,x I, 处处可导X X :S; 1 五、（本题满分8分）将长为a的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段围成圆形问这两段铁丝各长为多少时，正方形与圆形的面积之和为最小？六、（本题满分8分）【同试卷W第六题】八、（本题满分6分）巳知n阶方阵A满足矩阵方程A2 -3A - 2 E = 0, 其中A给定，E是单位矩阵证明：A可逆，并求出其逆矩阵A气九、（本题满分7分）【同试卷W第八题】七、（本题满分8分）【同试卷W第七题】十、（本题满分7分）【同试卷W第十题】十一、（本题满分7分）假设有十 只同种电器元件，其中有两只废品装配仪器时，从这批元件中任取一只，如是废品，则扔掉重新任取一只试求在取到正品之前，已取出的废品只数的概率分布、数学期望和方差十二、（本题满分5分）【同试卷W第十二题】71989年全国硕士研究生招生考试试题（试卷N)一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）(1)曲线y= x + sin气在点（巠1 +巠2 2)处的切线方程是 (2)幕级数三的收敛域是n=O尸(3)若齐次线性方程组厂入：: : :X1 + X2 + x3 = 0 只有零解，则入应满足的条件是(4)设随机变量X的分布函数为0, X 2则A= ,P IX I IT 飞(5)设随机变量X的数学期望E(X)=,方差D(X)=矿，则由切比雪夫(Chebyshev)不等式 ，有P1 IX-I3矿:;二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）(I)设f(x)= 2x +3无-2, 则当x一0时（） (A)f(x)是x的等价尤穷小量(C)f(x)是比x较高阶的尤穷小量(2)在下列等式中，正确的结果是（）(A) ff(x) dx = f (x) . (B) f d f (x) = f (x) . (C)点ff(x) dx = f (x) . (D) d J f (x) dx = f (x) .(B)f(x)与x是同阶但非等价无穷小量(D)f(x)是比x较低阶的尤穷小量(3)设A为n阶方阵且IAI= 0, 则（）(A)A中必有两行（列）的元素对应成比例(B)A中任意一行（列）向鼠是其余各行（列）向鼠的线性组合(C)A中必有一行（列）向最是其余各行（列）向鼠的线性组合(D)A中至少有一行（列）的元素全为0.(4)设A和B都是nXn矩阵，则必有（）(A) I A + B I = I A I + I B I .(B) AB = BA.(C) I AB I = I BA I .(D) (A + B) -l = A -l + B-1.(5)以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销，则其对立事件i为（）(A)甲种产品滞销，乙种产品畅销.(B)甲、乙两种产品均畅销8 (C)甲种产品滞销.(D)甲种产品滞销或乙种产品畅销.三、计算题（本题共3小题，每小题5分，满分15分）1 (1)求极限阳(sin-;-+ cos -;-) . I X (2)已知z = f(u,v)矿zU = X + y, V = XJ, 且f(u,v)的二阶偏导数都连续求如时(3)求微分方程y+ 5y+ 6y = 2尸的通解四、（本题满分9分）设某厂家打算生产一批商品投放市场已知该商品的需求函数为p = p(x) = IOe号，且最大需求量为6,其中x表示需求量，p表示价格(1)求该商品的收益函数 和边际收益函数； (2分）(2)求使收益最大时的产量，最大收益和相应的价格； (4分）(3)画出收益函数的图形. (3分）五、（本题满分9分）已知函数f(x) =厂2 - x,计算下列各题：(1)5。

ff (x) e -x dx ; (4分）2) 51 = f J(x - 2) e -x dx ; (2分）2 (3) Sn =厂厂-2n) e -x dx (n = 2 , 3 , ）； (1分）2n 0:; X:; 1, 1 X:; 2, 00 (4)5 = L Sn. (2分）n=O 六、（本题满分6分）假设函数f(x) 在a,b上连续，在(a,b)内可导，且f(x) :; 0. 记I X F (X) = f J(t) dt X - a a 证明在(a,b)内，F(x) :; 0. 七、（本题满分5分）已知X =AX+ B, 其中A=:i勹B=丿勹求矩阵X.9 八、（本题满分6分）设 a1= (1,1,1) ,a2 = (1,2,3) ,a3 = (1,3,t ). 问：(1)当t为何值时，向量组a1,a2 ,a3线性尤关? (3分）(2)当t为何值时，向鼠组a1,a2 ,a3线性相关? (1分）(3)当向量组a1,a2 ,a3线性相关时，将a3表示为al和a2的线性组合.(2分）九、（本题满分5分）设A=l一：I =2=2(1) 试求矩阵A的特征值；(2分）(2)利用(1)。